Forma s tečnou hodnotou
Formy s tečnou hodnotou jsou zobecněním diferenciálních forem , ve kterých množina hodnot formuláře je svazkem tečny k varietě .
Definice
Forma s hodnotou tečny na manifoldu je část tenzorového součinu tečny a vnějších mocnin svazků kotangens k manifoldu:
Operace
- Vnitřní diferenciace
- Vnější diferenciace
Derivace lži
Speciálním případem tangenciálně hodnocených forem jsou vektorová pole . Lieova derivace tenzorového pole vzhledem k vektorovému poli je definována standardním způsobem:
kde je fázový tok odpovídající vektorovému poli . Tato operace souvisí s vnitřním násobením diferenciální formy vektorovým polem a vnější diferenciací pomocí homotopického vzorce :
to znamená
![{\displaystyle L_{X}=[\imath _{X},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407fedff8778171516c1002ccaa2e854d3349c0d)
kde je komutátor v stupňované algebře derivací tangenciálně ohodnocených forem. Pro libovolnou formu s tangenciální hodnotou je Lieova derivace definována analogicky:
Vlastnosti![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle L_{K}=[\imath _{K},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f273204bfa118e369086c85b3d7b23da5313f9)
![{\displaystyle [L_{K},d]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce918fcbb7cf56bf8595dd8f6bc5cbbe7b4167b2)
Frölicher-Nijenhuis držák
Frölicher-Nijenhuisova závorka dvou tangenciálně hodnocených forem a je definována jako taková jedinečná tangenciálně hodnocená forma , pro kterou
![{\displaystyle [K,F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb154345346746d75727a1e6bcc0a81a138856)
![{\displaystyle [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d873bbb74d043572252b5bb59ab2f81c298e8e9)
Tato operace je odstupňovaná jako antikomutativní a vyhovuje odstupňované Jacobiho identitě . Pokud vnímáme téměř složitou strukturu jako tečnou 1-formu, její Nijenhuisův tenzor (tensor, který brání hledání složitých lokálních map) je vyjádřen pomocí Frölicher-Nijenhuisovy závorky jako . [1] Podmínka „integrability“ určité struktury jako zánik některých jejích závorek sama se sebou je běžná: například podmínku asociativnosti algebry lze definovat jako zánik Gerstenhaberovy závorky na prostoru kodifikace. volné koalgebry generované základním vektorovým prostorem algebry , umístěné ve známkování 1 (bilineární násobení jsou stejná jako klasifikační kodifikace 1) [2] .
![{\displaystyle [I,I]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0ed0802a46f94834a2074b4131f1e4744253ba)
Nijenhuis-Richardson držák
Nijenhuis-Richardsonova závorka (algebraické závorky) dvou tangenciálně hodnocených forem a je definována jako jediná tangenciálně hodnocená forma , pro kterou
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eab976fbfedc37e39a9b3bd94ef078b3a6998c)
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aad740f459fa6f9fb8326505bc450443e4f82f)
![{\displaystyle [\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4929659805d0900b1ae2a1923539797dc948f4)
Tato operace je odstupňovaná jako antikomutativní a vyhovuje odstupňované Jacobiho identitě . Explicitní tvar pro závorky dvou tvarů :
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c249d4fa65aa6af46525ad015c08b7b135ed9a9a)
Související definice
Forma se nazývá pájení , pokud leží v .
Poznámky
- ↑ Tucet definic Nijenhuisova tenzoru téměř složité struktury . . Datum přístupu: 31. ledna 2016. Archivováno z originálu 26. března 2015.
- ↑ Homologické metody v nekomutativní geometrii, přednáška 8. Archivováno 24. března 2017 na Wayback Machine , Lemma 8.2
Literatura
- GA Sardanashvili Moderní metody teorie pole. Svazek 1: Geometrie a klasická pole, - M. : URSS, 1996. - 224 s.
- Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Přirozené operace v diferenciální geometrii , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .