Stínový kalkul

Stínový kalkul (z anglického Umbral calculus , dále z latinského umbra - „stín“) je matematická metoda pro získání některých algebraických identit. Až do 70. let 20. století tento termín odkazoval na podobnost určitých zdánlivě nesouvisejících algebraických identit , stejně jako na techniky používané k prokázání těchto identit. Tyto techniky navrhl John Blissard [1] a jsou někdy označovány jako Blissardova symbolická metoda . Oni jsou často přičítáni Edwardu Lucasovi (nebo James Joseph Sylvester ), kdo používal je značně [2] .

Ve 30. a 40. letech se Eric Temple Bell pokusil postavit stínový kalkul na přísný základ.

V 70. letech 20. století Stephen Roman, Gian-Carlo Rota a další vyvinuli stínový kalkul ve smyslu lineárních funkcionálů na prostoru polynomů. V současné době se stínový počet týká studia Schaefferových sekvencí , včetně sekvencí polynomů binomického typu a Appelových sekvencí , ale může zahrnovat techniky výpočtu konečných rozdílů .

Stínový kalkul v 19. století

Metoda je postup zápisu používaný pro výsledné identity zahrnující indexované sekvence čísel za předpokladu, že indexy jsou mocniny . Doslovné použití je absurdní, ale funguje úspěšně - identity získané pomocí stínového kalkulu lze správně získat pomocí složitějších metod, které lze použít doslova bez logických obtíží.

Příklad používá Bernoulliho polynomy . Uvažujme například obvyklou binomickou expanzi (která obsahuje binomické koeficienty ):

{\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{nk}x^{k))

a pozoruhodně podobně vypadající vztah pro Bernoulliho polynomy :

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \vyberte k}B_{nk}(y)x^{k}.

Porovnáme také první derivaci

{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

s velmi podobným vztahem pro Bernoulliho polynomy:

{\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Tyto podobnosti umožňují konstrukci stínových důkazů, které na první pohled nemusí být pravdivé, ale přesto fungují. Pokud tedy například uvážíme, že index je stupeň: $nk$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{nk}x^{k}=(b+x)^{n},

po diferenciaci dostaneme požadovaný výsledek:

B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

Ve vzorcích výše je "umbra" (latinské slovo pro "stín"). $b$

Viz také Faulhaberův vzorec .

Taylorovy stínové pozice

Podobná spojení byla také pozorována v teorii konečných rozdílů . Stínová verze Taylorovy řady je dána podobnými výrazy používajícími pravostranné rozdíly polynomu , $k$ $\Delta ^{k}[f]$ $F$

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!))(x)_{k}

kde

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

je Pochhammerův symbol , který zde představuje klesající faktoriál. Podobný vztah platí pro levostranné rozdíly a rostoucí faktoriály.

Tyto řady jsou také známé jako Newtonova řada nebo Newtonova pravostranná expanze . Analoga Taylorova rozvoje se používá v počtu konečných rozdílů .

Bell a Riordan

Ve třicátých a čtyřicátých letech se Eric Temple Bell neúspěšně pokusil tento druh argumentace učinit logicky rigorózním. John Riordan, který pracoval v oblasti kombinatoriky , tuto techniku hojně používal ve své knize Combinatorial Identities (Combinatorial Identities), vydané v 60. letech 20. století.

Moderní stínový kalkul

Další vědec v oboru kombinatoriky, Gian-Carlo Rota, poukázal na to, že záhada zmizí, pokud vezmeme v úvahu lineární funkcionál nad polynomy z , definovaný jako $L$ $z$

L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.

Potom pomocí definice Bernoulliho polynomů a definice linearity lze psát $L$

B_{n}(x)=\součet _{k=0}^{n}{n \vyberte k}B_{nk}x^{k}=\součet _{k=0}^{n }{n \vyberte k}L\vlevo(z^{nk}\vpravo)x^{k}=L\vlevo(\sum _{k=0}^{n}{n \vyberte k}z^{ nk}x^{k}\right)=L\left((z+x)^{n}\right).

To vám umožní nahradit položku , to znamená přejít z nižšího indexu na horní (klíčová operace stínového počtu). Například to nyní můžeme dokázat $B_{n}(x)$ $L((z+x)^{n})$ $n$

{\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k))

rozšířením pravé strany

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{nk}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \vybrat k}(z+y )^{nk}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).

Rota později tvrdil, že většina zmatků pramení z neschopnosti rozlišit mezi třemi vztahy ekvivalence , které v této oblasti vznikají.

V článku z roku 1964 Rota použil stínové metody k vytvoření rekurzního vzorce , který je splněn Bellovými čísly , která počítají počet oddílů konečných množin.

V článku Romana a Roty [3] je stínový kalkul popsán jako studium stínové algebry (umbrální algebry) definované jako algebra lineárních funkcionálů nad vektorovým prostorem polynomů ze součinu lineárních funkcionálů definovaných jako $X$ ${\displaystyle L_{1}L_{2))$

\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x ^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{nk}\rangle .

Pokud posloupnost polynomů nahradí posloupnost čísel jako obrázky pod lineárním mapováním , zdá se, že stínová metoda je nezbytnou součástí Rothovy obecné teorie speciálních polynomů a tato teorie je podle některých modernějších definic tohoto pojmu stínový počet [4 ] . Malou ukázku této teorie lze nalézt v článku o posloupnosti polynomů binomického typu . Dalším článkem je Schaeffer Sequence . ${\displaystyle y^{n))$ $L$

Rota později široce použil stínový kalkul ve společném článku se Shenem ke studiu různých kombinatorických vlastností semi-invariantů [5] .

Poznámky

↑ Blissard, 1861 .
↑ Bell, 1938 , str. 414–421.
↑ Roman, Rota, 1978 , str. 95–188.
↑ Rota, Kahaner, Odlyzko, 1973 , str. 684.
↑ Rota, Shen, 2000 , str. 283–304.

Literatura

Bell ET Historie Blissardovy symbolické metody s náčrtem života jejího vynálezce // The American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America , 1938. - V. 45 , no. 7 . — S. 414–421 . — ISSN 0002-9890 . — .
John Blissard. Teorie generických rovnic // Čtvrtletní časopis čisté a aplikované matematiky. - 1861. - T. 4 . — S. 279–305 .
Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. Umbální kalkul // Pokroky v matematice. - 1978. - T. 27 , no. 2 . — S. 95–188 . — ISSN 0001-8708 . - doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 .
Rota GC, Kahaner D., Odlyzko A. O základech kombinatorické teorie. VIII. Počet konečných operátorů // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. - 1973. - Červen ( díl 42 , číslo 3 ). - S. 684 . - doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Přetištěno v knize se stejným názvem, Academic Press, New York, 1975.

Steve Roman. Pupeční kalkul . — Londýn: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. - svazek 111. - (Čistá a aplikovaná matematika). — ISBN 978-0-12-594380-2 . . Přetištěno v Doveru, 2005.
Roman S. Umbral kalkul // Encyklopedie matematiky / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Rota G.-C. , Shen J. On the Combinatorics of Cumulants // Journal of Combinatorial Theory. - 2000. - T. 91 . — S. 283–304 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
A. Di Bucchianico, D. Loeb. A Selected Survey of Umbral Calculus // Electronic Journal of Combinatorics . - 2000. - T. DS3 . Archivováno z originálu 24. února 2012.
Roman, S. (1982), Teorie umbrálního počtu, I