Greenova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. listopadu 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Greenova věta vytváří spojení mezi křivočarým integrálem přes uzavřenou konturu a dvojitým integrálem nad jednoduše spojenou oblastí ohraničenou touto konturou. Ve skutečnosti je tato věta speciálním případem obecnější Stokesovy věty . Věta je pojmenována po anglickém matematikovi George Greenovi .

Formulace

Dovolit být  kladně orientovaný po částech hladká uzavřená křivka v rovině a nechť je  oblast ohraničená křivkou . Pokud jsou funkce , definovány v oboru a mají spojité parciální derivace , , pak

Na symbol integrálu je často nakreslen kruh, aby se zdůraznilo, že křivka je uzavřená.

Důkaz pro jednoduchý region

Nechť oblast  je křivočarý lichoběžník (oblast pravidelná ve směru ):

Pro křivku , která ohraničuje oblast, nastavte směr bypassu ve směru hodinových ručiček.

Pak:

Všimněte si, že oba získané integrály lze nahradit křivočarými integrály:

Integrál podél se bere se znaménkem mínus, protože podle orientace obrysu je směr obcházení této části od do .

Křivočaré integrály nad a budou rovny nule, protože :

Nahradíme integrály v (1) podle (2) a (3) a také přičteme (4) a (5), které se rovnají nule a nemají tedy vliv na hodnotu výrazu:

Protože obtok ve směru hodinových ručiček se správnou orientací roviny je záporný směr, pak součet integrálů na pravé straně je křivočarý integrál podél uzavřené křivky v záporném směru:

Vzorec je dokázán podobně:

vezmeme-li jako oblast oblast správně ve směru .

Sečtením (6) a (7) dostaneme:

Greenovy vzorce

Pokud jsme v elektrostatických problémech vždy jednali s diskrétním nebo spojitým rozložením náboje bez jakýchkoli hraničních ploch, pak obecné řešení pro skalární potenciál

by byla nejpohodlnější a nejpřímější forma pro řešení takových problémů a nebyla by potřeba ani Laplaceova ani Poissonova rovnice . Ve skutečnosti však v řadě, ne-li ve většině problémů elektrostatiky máme co do činění s konečnými oblastmi prostoru (obsahujícími či neobsahujícími náboj ), na jejichž hraničních plochách jsou specifikovány určité okrajové („okrajové“) podmínky. . Tyto okrajové podmínky lze nahradit nějakým vhodně zvoleným rozložením náboje mimo uvažovanou oblast (zejména v nekonečnu), ale výše uvedený vztah v tomto případě již není vhodný pro výpočet potenciálu, s výjimkou některých speciálních případů (např. obrazová metoda).

Pro zvážení problémů s okrajovými podmínkami je nutné rozšířit námi používaný matematický aparát, a to o odvození tzv. vzorců neboli Greenových vět (1824). Získávají se přímo z věty o divergenci

,

což platí pro libovolné vektorové pole A definované v objemu V ohraničeném uzavřenou plochou S. Nechť , kde a  jsou libovolné dvakrát spojitě diferencovatelné skalární funkce. Pak

a

,

kde  je normálová derivace na ploše S (ve směru vnější normály vzhledem k objemu V). Dosazením (1) a (2) do věty o divergenci se dostaneme k prvnímu Greenovu vzorci

.

Napíšeme stejný vzorec, swap a in it , a odečteme jej od (3). Potom se členy se součinem vyruší a dostaneme druhý Greenův vzorec , jinak nazývaný Greenův teorém :

.

Ve fyzice a matematice dává Greenova věta vztah mezi křivočarým integrálem jednoduché omezené křivky C a dvojitým integrálem na plochém povrchu D omezené křivky C. A v obecné formě je zapsán následovně

Ve fyzice se Greenova věta používá hlavně k řešení integrálů dvourozměrných toků , založených na předpokladu, že součet odcházejících toků v jakémkoli bodě v oblasti se rovná čistému toku sečtenému přes celý ohraničující povrch.

Třetí Greenův vzorec se získá z druhého tak, že se nahradí a poznamená, že v . Pokud je dvakrát rozlišitelné na U.

if (zde int označuje vnitřek sady ),

jestliže a v bodě k hraniční ploše existuje tečná rovina .

Viz také

Literatura