Greenova věta vytváří spojení mezi křivočarým integrálem přes uzavřenou konturu a dvojitým integrálem nad jednoduše spojenou oblastí ohraničenou touto konturou. Ve skutečnosti je tato věta speciálním případem obecnější Stokesovy věty . Věta je pojmenována po anglickém matematikovi George Greenovi .
Dovolit být kladně orientovaný po částech hladká uzavřená křivka v rovině a nechť je oblast ohraničená křivkou . Pokud jsou funkce , definovány v oboru a mají spojité parciální derivace , , pak
Na symbol integrálu je často nakreslen kruh, aby se zdůraznilo, že křivka je uzavřená.
Nechť oblast je křivočarý lichoběžník (oblast pravidelná ve směru ):
Pro křivku , která ohraničuje oblast, nastavte směr bypassu ve směru hodinových ručiček.
Pak:
Všimněte si, že oba získané integrály lze nahradit křivočarými integrály:
Integrál podél se bere se znaménkem mínus, protože podle orientace obrysu je směr obcházení této části od do .
Křivočaré integrály nad a budou rovny nule, protože :
Nahradíme integrály v (1) podle (2) a (3) a také přičteme (4) a (5), které se rovnají nule a nemají tedy vliv na hodnotu výrazu:
Protože obtok ve směru hodinových ručiček se správnou orientací roviny je záporný směr, pak součet integrálů na pravé straně je křivočarý integrál podél uzavřené křivky v záporném směru:
Vzorec je dokázán podobně:
vezmeme-li jako oblast oblast správně ve směru .
Sečtením (6) a (7) dostaneme:
Pokud jsme v elektrostatických problémech vždy jednali s diskrétním nebo spojitým rozložením náboje bez jakýchkoli hraničních ploch, pak obecné řešení pro skalární potenciál
by byla nejpohodlnější a nejpřímější forma pro řešení takových problémů a nebyla by potřeba ani Laplaceova ani Poissonova rovnice . Ve skutečnosti však v řadě, ne-li ve většině problémů elektrostatiky máme co do činění s konečnými oblastmi prostoru (obsahujícími či neobsahujícími náboj ), na jejichž hraničních plochách jsou specifikovány určité okrajové („okrajové“) podmínky. . Tyto okrajové podmínky lze nahradit nějakým vhodně zvoleným rozložením náboje mimo uvažovanou oblast (zejména v nekonečnu), ale výše uvedený vztah v tomto případě již není vhodný pro výpočet potenciálu, s výjimkou některých speciálních případů (např. obrazová metoda).
Pro zvážení problémů s okrajovými podmínkami je nutné rozšířit námi používaný matematický aparát, a to o odvození tzv. vzorců neboli Greenových vět (1824). Získávají se přímo z věty o divergenci
,což platí pro libovolné vektorové pole A definované v objemu V ohraničeném uzavřenou plochou S. Nechť , kde a jsou libovolné dvakrát spojitě diferencovatelné skalární funkce. Pak
a
,kde je normálová derivace na ploše S (ve směru vnější normály vzhledem k objemu V). Dosazením (1) a (2) do věty o divergenci se dostaneme k prvnímu Greenovu vzorci
.Napíšeme stejný vzorec, swap a in it , a odečteme jej od (3). Potom se členy se součinem vyruší a dostaneme druhý Greenův vzorec , jinak nazývaný Greenův teorém :
.Ve fyzice a matematice dává Greenova věta vztah mezi křivočarým integrálem jednoduché omezené křivky C a dvojitým integrálem na plochém povrchu D omezené křivky C. A v obecné formě je zapsán následovně
Ve fyzice se Greenova věta používá hlavně k řešení integrálů dvourozměrných toků , založených na předpokladu, že součet odcházejících toků v jakémkoli bodě v oblasti se rovná čistému toku sečtenému přes celý ohraničující povrch.
Třetí Greenův vzorec se získá z druhého tak, že se nahradí a poznamená, že v . Pokud je dvakrát rozlišitelné na U.
if (zde int označuje vnitřek sady ),
jestliže a v bodě k hraniční ploše existuje tečná rovina .