Helmholtzova věta o rozkladu

Helmholtzova věta o rozkladu je tvrzení o rozkladu libovolného diferencovatelného vektorového pole na dvě složky:

Pokud jsou divergence a zvlnění vektorového pole definovány v každém bodě konečné otevřené oblasti V prostoru, pak všude ve V lze funkci reprezentovat jako součet irotačního pole a solenoidového pole : ${\mathbf {F}} ({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})$

{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})+{\mathbf {F}}_{2}( {\mathbf {r)))

kde

\operatorname {rot}\;{\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})=0,

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})=0

pro všechny body regionu V. $\mathbf {r}$

V populárnější formulaci pro celý prostor Helmholtzův teorém říká:

Jakékoli vektorové pole , jednohodnotové, spojité a ohraničené prostorem, lze rozložit na součet potenciálních a solenoidových vektorových polí a reprezentovat jako: $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}

kde $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

Skalární funkce se nazývá skalární potenciál, vektorová funkce se nazývá vektorový potenciál. [1] . $\Phi$ $\mathbf {A}$

Prohlášení věty

Nechť F je vektorové pole v R ³ a nechť je dvakrát spojitě derivovatelné a klesající v nekonečnu rychleji než 1/ r v případě neomezené oblasti. [2] Potom lze pole F reprezentovat jako součet irotačního pole (jehož rotor je nulový) a solenoidového pole (jehož divergence je nulová).

Jednou z možných reprezentací vektorového pole F v této podobě je součet gradientu a zvlnění dvou explicitně vyčíslitelných funkcí, jak je napsáno níže:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})))+\nabla \times ({\mathcal {G}}( \ nabla \times {\mathbf {F))))

kde je newtonovský operátor (pokud působí na vektorové pole jako ∇ × F , působí na každou jeho složku). ${\mathcal {G}}$

Jestliže F má nulovou divergenci , ∇ F = 0, pak F je solenoidální nebo bez divergence a Helmholtzova expanze pole F se zmenší na

{\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathcal {G}} (\nabla \times {\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {A}}.

V případě takové reprezentace pole A se nazývá vektorový potenciál pole F . Pro solenoidální pole (tedy pole s nulovou divergencí) je vždy možné sestrojit vektorovou funkci (vektorový potenciál), jejímž rotorem je toto pole. Vektorový potenciál pro dané solenoidové pole je určen s významnou mírou volnosti. Bez ztráty obecnosti na něj lze uložit zejména Coulombovu (neboli normalizační) podmínku ∇· A = 0 (zvláštní případ vektorového potenciálu bez divergence; viz také problém obnovy vektorové funkce z kudrlinky a divergence níže). K vektorovému potenciálu můžete libovolně přidávat gradient libovolné skalární funkce – tím se nemění jeho zvlnění, tedy jím definované solenoidové pole (a pokud naznačená skalární funkce splňuje Laplaceovu rovnici, pak podmínka Coulombovy kalibrace také se nemění, když jej vektorový potenciál splňuje) .

Jestliže F má nulový rotor, ∇× F = 0, pak F se nazývá irotační nebo lokálně potenciální pole a rozklad F má tvar

{\mathbf {F}}=-\nabla \,{\mathcal {G}} (\nabla \cdot {\mathbf {F}})=-\nabla \phi .

V případě takového znázornění pole φ se nazývá skalární potenciál pole F . Pro irotační pole (tedy pole s nulovým rotorem) je vždy možné sestrojit skalární funkci (skalární potenciál), jejímž gradientem je toto pole. Skalární potenciál pro dané irotační pole je určen až do aditivní konstanty.

V obecném případě může být F reprezentováno součtem

{\mathbf {F}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\mathbf {A}}

kde negativní gradient skalárního potenciálu je irotační složka pole a rotor vektorového potenciálu je solenoidální složka. Reprezentace F jako součtu irotačního pole a solenoidového pole není jedinečná, protože k φ lze vždy přidat libovolnou funkci ψ, která splňuje Laplaceovu rovnici, a k A , vektorovou funkci H konzistentní s ψ , což je výsledek řešení problému obnovení vektorové funkce z rotoru a divergence (viz níže) podle rovnic ∇· H = 0, ∇× H = ∇ψ. Taková substituce nejen změní skalární a vektorový potenciál zapojený do Helmholtzovy expanze, ale také výrazně změní irotační pole -∇(φ+ψ) a solenoidové pole ∇× (A+H) , do jejichž součtu pole F se rozkládá .

Pole definovaná zvlněním a divergenci

S Helmholtzovou větou úzce souvisí problém rekonstrukce vektorového pole z divergence a zvlnění, který se někdy nazývá Helmholtzův problém .

Nechť je dáno skalární pole a vektorové pole , které jsou dostatečně hladké a jsou buď uvedeny v ohraničené oblasti, nebo klesají rychleji než 1/ r ² v nekonečnu. Je nutné najít takové vektorové pole ${\mathbf {d}} (x,y,z)$ ${\mathbf {C}} (x,y,z)$ ${\mathbf {F}} (x,y,z)$

\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\mathbf {d}}

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Při analýze existence a jedinečnosti řešení problému je třeba rozlišovat mezi:

vnitřní problém (rotor, divergence a samotná vektorová funkce jsou uvažovány uvnitř ohraničené oblasti s dostatečně hladkou hranicí),
externí problém (rotor, divergence a samotná vektorová funkce jsou uvažovány pro prostor R ³ s vyříznutou „dírou“, která má poměrně hladkou hranici),
problém pro celý prostor R ³.

Vnitřní problém (za předpokladu, že je řešitelný) má jedinečné řešení, pokud je normální projekce pro vektorovou funkci dána podél hranice oblasti . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$

Externí problém (za podmínky své řešitelnosti) má jednoznačné řešení, pokud je normálová projekce pro vektorovou funkci dána podél hranice oblasti a na vektorovou funkci je kladen požadavek , aby v nekonečnu klesala alespoň jako . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

Úloha pro celý prostor R ³ (za podmínky své řešitelnosti) má jednoznačné řešení, pokud je na vektorovou funkci kladen požadavek, aby v nekonečnu klesala alespoň jako . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

Ve všech těchto případech je řešení Helmholtzovy úlohy jedinečné , pokud pro daná vstupní data existuje.

Nezbytné podmínky pro existenci řešení

Problém má řešení ne pro všechny a : ${\mathbf {d}} (x,y,z)$ ${\mathbf {C}} (x,y,z)$ ${\mathbf {g(S)))$

Z identity vyplývá, že podmínka musí být splněna , tedy divergence vektoru musí být rovna nule. $\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=0$ ${\mathbf {C}} (x,y,z)$
Pro vnitřní problém vyplývá z identity , že integrál okrajové podmínky přes ohraničující plochu se musí rovnat integrálu funkce přes objem oblasti. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV=\iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}} ) )\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ${\mathbf {g(S)))$ $\mathbf {S}$ ${\mathbf {d}} (x,y,z)$
Pro externí problém a pro problém daný pro celý prostor R ³ musí funkce a směřovat k nule v nekonečnu poměrně rychle spolu s funkcí samotnou. $\mathbf{d}$ ${\mathbf {C}}$

Dostatečné podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení

A. Interní úkol : pokud

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ a
$\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ,

pak řešení problému obnovy pole ze zvlnění , divergence a okrajových podmínek existuje a je jedinečné.

{\mathbf {F}} (x,y,z)

{\mathbf {C}} (x,y,z)

{\mathbf {d}} (x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

B. Externí úkol : pokud

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ a
integrály a konvergují při integraci nad nekonečným objemem a klesají v nekonečnu po dobu alespoň , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}} \to \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

pak řešení problému obnovy pole z rotoru , divergence , okrajové podmínky a podmínky, která padá do nekonečna alespoň jako , existuje a je jedinečná.

{\mathbf {F}} (x,y,z)

{\mathbf {C}} (x,y,z)

{\mathbf {d}} (x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

{\mathbf {F}} (x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

B. Úloha pro celý prostor R ³ : jestliže

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ a
integrály a konvergují při integraci nad nekonečným objemem a klesají v nekonečnu po dobu alespoň , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}} \to \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

pak řešení problému obnovy pole ze zvlnění , divergence a stavu, který padá do nekonečna alespoň jako , existuje a je jedinečný.

{\mathbf {F}} (x,y,z)

{\mathbf {C}} (x,y,z)

{\mathbf {d}} (x,y,z)

{\mathbf {F}} (x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

Řešitelnost a jednoznačnost řešení Helmholtzovy úlohy úzce souvisí s řešitelností a jednoznačností řešení Neumannovy úlohy pro Laplaceovu rovnici ve stejném oboru (viz níže algoritmus pro konstrukci řešení Helmholtzovy úlohy).

Rozklad vektorového pole na součet irotačního pole a solenoidového pole

Pomocí problému obnovy vektorové funkce ze zvlnění a divergence lze expanzi vektorového pole na součet irotačního pole a solenoidového pole provést následovně: ${\mathbf {F}} (x,y,z)$

Pro danou vektorovou funkci se počítají: funkce funkce , okrajová podmínka , pokud je vektorová funkce dána pro podoblast prostoru s hranicí . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {C}}=\nabla \times {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {d}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$
Pokud jde o interní úlohu, pak z identity vyplývá podmínka kompatibility . Jsou tedy splněny všechny podmínky pro kompatibilitu vstupních dat pro úlohu a s okrajovou podmínkou , úloha je řešitelná a má jedinečné řešení. Výsledná vektorová funkce je irotační pole. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV\equiv \iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F} })\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d}}(x,y,z)\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ $\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}={\mathbf {d}}$ $\nabla \times {\mathbf {F_{1))}=0$ ${\mathbf {g}} ({\mathbf {S}})$ ${\mathbf {F_{1))}$
Vzhledem k tomu , že jsou splněny podmínky kompatibility pro vstupní data pro problém a s nulovou okrajovou podmínkou, je problém řešitelný a má jedinečné řešení. Výsledná vektorová funkce je solenoidové pole. $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$ $\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {F_{2))}$
Zvažte problém s okrajovou podmínkou . Podmínky kompatibility vstupních dat jsou splněny, problém je řešitelný a má unikátní řešení. V tomto případě je na jedné straně řešením tohoto problému samotná funkce a na druhé straně řešením stejného problému je funkce . Proto bylo zkonstruováno požadované zobrazení pole jako součet irotačního pole a solenoidového pole. $\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$ $\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {g}} ({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ $\mathbf {F}$

Sestrojená reprezentace vektorového pole jako součet dvou polí není jedinečná. Existují vektorová pole, která jsou jak irotační (rotor je nulový), tak solenoidální (rozbíhavost je nulová). Tato pole jsou gradienty skalárních funkcí splňujících Laplaceovu rovnici (a pouze ony). Přidáním libovolného takového pole k prvnímu členu a jeho odečtením od druhého členu získáme nové rozdělení vektorového pole na součet irotačního a solenoidového pole.

Obnova vektorové funkce z rotoru a divergence

Řešení problému obnovení funkce ze zvlnění, divergence a okrajové podmínky lze zkonstruovat následovně:

1) Pro danou funkci se vypočítá funkce , kde se skalární potenciál vypočítá podle vzorce

{\mathbf {d}} (x,y,z)

{\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {U}}

{\mathbf {U}} (x,y,z)

{\mathbf {U}}(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Výsledkem je funkce , pro kterou a ;

{\mathbf {F_{1))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)={\mathbf {d}}(x,y,z)

\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=0

2) Pro danou funkci se vypočítá funkce , kde se vektorový potenciál vypočítá podle vzorce

{\mathbf {C}} (x,y,z)

{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=\nabla \times {\mathbf {A}}

{\mathbf {A}} (x,y,z)

{\mathbf {A}}(x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Výsledkem je funkce , pro kterou a ;

{\mathbf {F_{2))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)={\mathbf {C}}(x,y,z)

3) Hledáme funkci , pro kterou je , , a normálová projekce na hranici oblasti zvolena tak, aby splňovala okrajovou podmínku .

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{3))}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F_{3}}})|_{{S}}

{\mathbf {F}}={\mathbf {F_{1}}}+{\mathbf {F_{2}}}+{\mathbf {F_{3}}}

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})

K nalezení takové funkce se provede substituce , kde skalární potenciál musí splňovat Laplaceovu rovnici . Pro funkci je získána Neumannova okrajová podmínka a je snadné ověřit, že bude splněno kritérium řešitelnosti Neumannovy úlohy . Funkce tedy vždy existuje, je jednoznačně definována pro externí úlohu a až do aditivní konstanty pro interní úlohu. Výsledkem je, že funkce, kterou potřebujeme , vždy existuje a je jedinečná.

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {H}}

{\mathbf {H}} (x,y,z)

\Delta {\mathbf {H}}=0

{\mathbf {H}} (x,y,z)

\left.{\frac {\partial {\mathbf {H}}}{\partial {\mathbf {n}}}}\right|_{{S}}={\mathbf {g(S)))- ({\mathbf {n}}\cdot ({\mathbf {F_{1}+F_{2}}}))

{\mathbf {H}} (x,y,z)

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

Funkce je řešením úkolu a to jediné. Pokud okrajová podmínka není specifikována, řešením problému jsou všechny možné funkce tvaru , kde , je gradient libovolné funkce, která splňuje Laplaceovu rovnici. Pokud je problém položen v celém prostoru R ³, (jedinečným) řešením bude funkce , která má požadované chování v nekonečnu. ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F_{3))}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$

Alternativní formulace Helmholtzovy věty

V důsledku toho lze Helmholtzův teorém přeformulovat do následujících podmínek. Nechť C je solenoidální vektorové pole ( div C=0 ) a d skalární pole v R ³, které jsou dostatečně hladké a jsou buď dané v ohraničené oblasti, nebo klesají rychleji než 1/ r ² v nekonečnu. Pak existuje vektorové pole F takové, že

\nabla \cdot {\mathbf {F}}=d

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Pokud je navíc vektorové pole F uvažováno v celém prostoru R ³ a zmizí jako r → ∞, pak je F jedinečné. [2] V obecném případě je řešení určeno až po aditivní aditivum - gradient libovolné funkce, která splňuje Laplaceovu rovnici.

Jinými slovy, za určitých podmínek lze vektorové pole zkonstruovat z jeho zkroucení a divergence, a když je problém definován v celém prostoru R ³, řešení je jedinečné (za apriorního předpokladu, že pole v nekonečnu docela zmizí). rychle). Tato věta má velký význam v elektrostatice ; například Maxwellovy rovnice ve statickém případě popisují pole právě tohoto typu [2] . Jak již bylo zmíněno výše, jedno z možných řešení:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}({\mathbf {C}})).

Viz také

Poznámky

↑ Lee, 1965 , str. padesáti.
↑ 1 2 3 David J. Griffiths, Úvod do elektrodynamiky , Prentice-Hall, 1989, str. 56.

Literatura

Kochin N. E. — Vektorový počet a počátky tenzorové analýzy
Korn G. A., Korn T. M. Příručka matematiky pro vědce a inženýry . - M .: " Nauka ", 1974. - S. 177.
Li Tsung-dao . Matematické metody ve fyzice. - M .: Mir, 1965. - 296 s.