Kummerova teorie

V algebraické teorii čísel poskytuje Kummerova teorie popis některých typů rozšíření pole , spočívající v přidání k původnímu poli kořen n-tého stupně z jeho prvku. Teorii vyvinul Ernst Eduard Kummer kolem roku 1840 ve své práci na Fermatově teorému .

Za předpokladu, že charakteristika tělesa p je koprimá k n pro p > 0, hlavní tvrzení teorie nezávisí na povaze tělesa a patří tedy do obecné algebry.

Kummerova teorie má analogii pro případ n = p (Artin-Schreierova teorie). Roli skupiny (viz níže) v tomto případě hraje aditivní skupina jednoduchého podpole původního pole. $\mu _{n}$ $\mathbb {F} _{p}$

Existuje také zobecnění této teorie kvůli E. Wittovi pro případ , kdy pomocí Wittových vektorů . $n=p^{s}$ $s>1$

Kummerova teorie je základní například v teorii třídního pole a v chápání abelovských rozšíření . Prohlašuje, že vzhledem k dostatečnému množství kořenů jednoty lze cyklická rozšíření chápat jako extrakci kořenů.

Kummerova rozšíření

Kummerova extenze je rozšířením pole L/K (tj. vnořením pole K do pole L ) tak, že pro nějaké celé číslo n > 1 platí následující dvě podmínky:

K obsahuje n různých n-tých kořenů jednoty (tj. všechny kořeny rovnice x n − 1)
L / K obsahuje Abelovu Galoisovu grupu stupně n (tj. n je nejmenší společný násobek řádů prvků této grupy).

Například pro n = 2 platí první podmínka vždy, pokud je charakteristika K ≠ 2. Kummerova rozšíření v tomto případě zahrnují kvadratická rozšíření L = K (√ a ), kde a v K není čtverec. Při řešení kvadratických rovnic má každé rozšíření K stupně 2 tento tvar. Rozšíření Kummer v tomto případě zahrnuje také bikvadratická rozšíření a obecněji vícečtvercová rozšíření . S charakteristikou K rovnou 2 neexistují žádná taková rozšíření Kummer.

Pro n = 3 neexistují žádná Kummerova rozšíření stupně 3 v racionálním číselném poli Q , protože jsou potřeba tři odmocniny z 1, takže jsou potřeba komplexní čísla . Je -li L dělicí pole X 3 − a nad Q , kde a není třetí mocnina racionálního čísla, pak L obsahuje podpole K se třemi odmocninami krychle 1. To druhé vyplývá z toho, že jsou-li α a β kořeny kubického polynomu, musíme získat (α/β) 3 =1, což je separovatelný polynom . L/K je tedy rozšíření Kummer.

Obecněji, jestliže K obsahuje n zřetelných n-tých kořenů jednoty a charakteristika K nedělí n , přidá se ke K n-tá odmocnina libovolného prvku a z K tvoří Kummerovo rozšíření (mocniny m , která dělí n ).

Jako rozkladné pole polynomu X n − a je Kummerovo rozšíření nezbytné v Galoisově rozšíření cyklické Galoisovy grupy řádu m .

Kummerova teorie

Kummerova teorie říká, že daný primitivní kořen stupně n v K , jakékoli cyklické rozšíření K stupně n je vytvořeno přidáním kořene stupně n .

Jestliže K × je multiplikativní skupina nenulových prvků K , pak cyklická rozšíření K stupně n odpovídají jednoznačně cyklickým podgrupám

K^{\times }/(K^{\times })^{n},

tedy prvky K × modulo n-tých mocnin.

Korespondenci lze zapsat takto: nechť je dána cyklická podskupina

\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},

odpovídající rozšíření je dáno vzorcem

K(\Delta ^{1/n}),

tedy spojením n-tých kořenů prvků Δ ke K.

Naopak, jestliže L je Kummerova extenze pro K , pak Δ je dáno vztahem

\Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}.

V tomto případě jde o izomorfismus

\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n}),

daný vzorcem

a\mapsto {\biggl (}\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}{\biggr )},

kde α je libovolná n-tá odmocnina a v L .

Zobecnění

Dochází k mírnému zobecnění Kummerovy teorie na abelovská rozšíření Galoisovy grupy stupně n a podobné tvrzení je v tomto kontextu pravdivé. Konkrétně lze dokázat, že taková rozšíření jsou jednohodnotovým mapováním do podskupin

K^{\times }/(K^{\times })^{n}.

Pokud základní pole K neobsahuje n -té kořeny jednoty , někdy se používá izomorfismus

K^{\times }/(K^{\times })^{n}{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}H^{1}(G_{K},\mu _{n }).

Viz také

Kvadratické pole

Odkazy

Bryan Birch, "Cyklotomická pole a rozšíření Kummer", v JWS Cassels a A. Frohlich (edd), Algebraická teorie čísel , Academic Press , 1973. Kap.III, str.85-93.
Leng S., Algebra, přel. z angličtiny, M., 1068;
Algebraická teorie čísel, přel. z angličtiny, M., 1969;
Takahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, č. 1-2, s. 365