Timošenko teorie ohybu nosníku

Timošenkovu teorii ohýbání paprsku vyvinul Stepan Prokofjevič Timoshenko na počátku 20. století. [1] [2] Model bere v úvahu smykovou deformaci a rotační ohyb , díky čemuž je použitelný k popisu chování tlustých nosníků, sendvičových panelů a vysokofrekvenčních vibrací nosníků, když se vlnová délka těchto vibrací stane srovnatelnou s tloušťkou paprsek. Na rozdíl od Euler-Bernoulliho modelu ohybu nosníku vede Timošenko model k rovnici čtvrtého řádu, která také obsahuje parciální derivace druhého řádu. Fyzikální zohlednění deformačních mechanismů účinně snižuje tuhost nosníku a vede k většímu průhybu při statickém zatížení a k predikci nižších vlastních frekvencí pro danou sadu okrajových podmínek. Poslední důsledek je nejvíce patrný při vysokých frekvencích, kdy se vlnová délka kmitů zkracuje a vzdálenost mezi opačně směrovanými smykovými silami se zmenšuje.

Je-li smykový modul materiálu nosníku nastaven na nekonečno (a nosníku je tedy zakázáno prodělávat smykové deformace) a jsou-li zanedbány účinky setrvačnosti na rotaci, pak se Timošenko model redukuje na obvyklou teorii ohybu nosníku.

Timošenko kvazistatický paprsek

Ve statické teorii nosníku Timošenko bez osových účinků se předpokládá, že posunutí paprsku je dáno v následujícím tvaru: kde jsou uvedeny souřadnice bodu na nosníku, jsou složky vektoru posunutí ve třech směrech souřadnic , je úhel natočení normály vzhledem ke střední ploše paprsku a je posunutí střední plochy ve směru osy . $u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x ,y)=w(x)$ $(x,y,z)$ $u_{x},u_{y},u_{z}$ $\varphi$ $w$ $z$

Počáteční rovnice jsou následující dvojice sdružených obyčejných diferenciálních rovnic :

{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\vpravo).\end{aligned}}

Ve statickém limitu je Timošenkova teorie ohybu nosníku ekvivalentní Euler-Bernoulliho teorii ohybu nosníku v případě, kdy lze poslední člen zanedbat. Tato aproximace platí, když: kde ${\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$

$L$ - délka paprsku.
$A$ - průřezová plocha nosníku.
$E$ je modul pružnosti .
$G$ je smykový modul .
$já$ je druhý moment průřezové plochy.
$\kappa$ se nazývá Timošenko smykový koeficient a závisí na tvaru průřezu nosníku. Pro obdélníkový nosník . $\kappa =5/6$
$q(x)$ - rozložení zatížení (síla působící na jednotku délky).

Kombinací těchto dvou rovnic dostaneme v případě rovnoměrného nosníku konstantního průřezu: ${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2))))$

Ohybový moment a smyková síla v nosníku souvisí s posunutím a rotací . V případě lineárního pružného nosníku Timoshenko mají tato omezení následující tvar: ${\displaystyle M_{xx))$ ${\displaystyle Q_{x))$ $w$ $\varphi$

$M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x))\quad {\text{u))\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left( -\varphi +{\frac {\částečné w}{\částečné x}}\vpravo)\,.$

Okrajové (okrajové) podmínky

Dvě rovnice, které popisují deformaci Timošenko nosníku, musí být doplněny o okrajové (okrajové) podmínky . Správně položený problém vyžaduje nastavení čtyř okrajových podmínek. Obvykle jsou okrajové podmínky:

Dvojité podpěrné nosníky : Odsazeníje nastaveno na nulu na dvou podpěrných místech. Musíte také určit ohybový moment aplikovaný na nosník. Rotacea smyková sílanejsou specifikovány. $w$ ${\displaystyle M_{xx))$ $\varphi$ ${\displaystyle Q_{x))$
Pevně upnutý nosník (konzola) : Posuna rotacejsou nastaveny na nulu na sevřeném konci nosníku. Pokud je jeden z konců nosníku volný, pakje třeba pro tento konec nastavita ohybový moment . $w$ $\varphi$ ${\displaystyle Q_{x))$ ${\displaystyle M_{xx))$

Příklad: Pevně upnutý nosník

U pevně upnutého nosníku je jeden konec upnutý, zatímco druhý je volný. Použijeme pravotočivý souřadnicový systém , ve kterém je směr osy považován za kladný ve směru doprava a směr osy je kladný ve směru nahoru. Podle tradičních konvencí budeme předpokládat, že kladné síly směřují v kladném směru os a a kladné ohybové momenty působí ve směru hodinových ručiček. Předpokládáme také následující shodu ve znacích složek mechanického napětí ( a ): kladné ohybové momenty stlačují materiál nosníku ve spodní části (menší souřadnice ), kladné smykové síly otáčejí nosník proti směru hodinových ručiček. $X$ $z$ $X$ $z$ ${\displaystyle M_{xx))$ ${\displaystyle Q_{x))$ $z$

Předpokládejme, že sevřený konec paprsku má souřadnici a volný konec - . Pokud je na volný konec aplikováno bodové zatížení v kladném směru osy , pak rovnovážná podmínka pro systém konvergujících sil nosníku nám dává $x=L$ $x=0$ $P$ $z$

-Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px

P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.

Z výrazů pro ohybový moment a smykovou sílu tedy získáme

Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{u}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw} {dx}}\right)\,.

Integrací první rovnice a aplikací okrajové podmínky pro , dospějeme k $\varphi=0$ $x=L$

\varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.

Druhá rovnice může být přepsána jako

{\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{ 2})\,.

Integrace a aplikace okrajové podmínky při psaní $w=0$ $x=L$

w(x)={\frac {P(Lx)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x ^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.

Axiální napětí je pak dáno výrazem

\sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac { Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.

Dynamika paprsku Timoshenko

V Timošenkově teorii ohybu nosníku bez axiálních účinků se předpokládá, že průhyb nosníku je uveden ve tvaru

u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~ u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

kde jsou souřadnice bodu paprsku, jsou složky vektoru vychýlení ve třech směrech souřadnic, je úhel natočení normály vzhledem ke střední ploše paprsku a je odchylka střední plochy ve směru osy . $(x,y,z)$ $u_{x},u_{y},u_{z}$ $\varphi$ $w$ $z$

Za výše uvedeného předpokladu lze Timošenkovou teorii ohybu nosníku (s předpokladem oscilací) popsat dvojicí lineárních parciálních diferenciálních rovnic : [3]

\rho A{\frac {\částečné ^{2}w}{\částečné t^{2))}-q(x,t)={\frac {\částečné }{\částečné x))\ vlevo[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]

\rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}={\frac {\partial }{\partial x))\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)

kde jsou požadované veličiny (průhyb paprsku) a (úhlová výchylka). Všimněte si, že na rozdíl od teorie ohýbání Euler-Bernoulliho nosníku je úhlová výchylka samostatnou proměnnou a není aproximována sklonem výchylky. Kromě, $w(x,t)$ $\varphi (x,t)$

$\rho$ - hustota materiálu nosníku (nikoli lineární hustota ).
$A$ - průřezová plocha nosníku.
$E$ je modul pružnosti .
$G$ je smykový modul .
$já$ je druhý moment průřezové plochy .
$\kappa$ - se nazývá Timošenko smykový koeficient, který závisí na tvaru nosníku. Pro obdélníkový průřez nosníku . $\kappa =5/6$
$q(x,t)$ - rozložené zatížení (síla působící na jednotku délky).
$m:=\rho A$
$J:=\rho I$

Tyto parametry nemusí být nutně konstantní.

Pro lineární elastický izotropní homogenní nosník konstantního průřezu lze tyto dvě rovnice spojit do následující rovnice [4] [5]

EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2} }}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\částečné ^{4}w}{\částečné x^{2}~\částečné t^{2}}} +{\cfrac {mJ}{kAG}}~{\cfrac {\částečné ^{4}w}{\částečné t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG }}~{\cfrac {\částečné ^{2}q}{\částečné t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\částečné ^{2}q}{ \částečné x^{2}}}

Timoshenko rovnice předpovídá přítomnost kritické frekvence.Pro normální módy, Timoshenko rovnice může být řešena. Protože se jedná o rovnici čtvrtého řádu, má čtyři nezávislá řešení, dvě oscilační a dvě rychle se rozkládající při frekvencích pod . Pro frekvence výše jsou všechna řešení oscilační a v důsledku toho vzniká druhé spektrum. [6] $\omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I))}.$ $f_{c}$ $f_{c}$

Axiální efekty

Pokud je průhyb paprsku zadán jako

u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z ,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

tam , kde je dodatečná odchylka ve směru osy , pak má základní rovnice pro ohyb paprsku podle Timošenka tvar $u_{0}$ $X$

{\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2))}&={\frac {\partial }{\partial x))\left[ \kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\ varphi }{\částečné t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\částečné w}{\částečné x}}+{\frac {\částečné }{\částečné x}}\ vlevo(EI{\frac {\částečné \varphi }{\částečné x}}\vpravo)+\kappa AG\vlevo({\frac {\částečné w}{\částečné x}}-\varphi \vpravo)\end {zarovnaný}}

kde je externě působící axiální síla. Jakákoli vnější axiální síla je vyvážena deformačním napětím $J=\rho I$ $N(x,t)$

N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz

kde je axiální napětí. Tloušťka nosníku se zde považuje za stejnou . $\sigma_{xx}$ $2h$

Kombinovaná rovnice pro ohyb nosníku s uvážením osové síly má tvar

{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2} ))+m~{\frac {\částečné ^{2}w}{\částečné t^{2))}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG))\vpravo)~{\ cfrac {\částečné ^{4}w}{\částečné x^{2}\částečné t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\částečné ^{4 }w}{\částečné t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\částečné ^{2}q}{\částečné t^{2}}} -{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2))))

Tlumení (tlumení)

Pokud kromě zohlednění axiálních sil předpokládáme také přítomnost tlumicí síly, která je úměrná rychlosti ve tvaru

\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t))

pak se spřažené základní rovnice pro ohyb Timošenko paprsku rovnají

m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2))}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t))={\ frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t) ,

$J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}=N{\frac {\partial w}{\partial x))+{\frac {\partial } -\varphi\right),$ a kombinovaná rovnice má tvar

{\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{ \částečné x^{2))}+m~{\frac {\částečné ^{2}w}{\částečné t^{2))}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG} }\right)~{\cfrac {\částečné ^{4}w}{\částečné x^{2}\částečné t^{2))}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG))~{\ cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4))}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG))~{\cfrac {\partial ^{3}w }{\částečné t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}\ vlevo(\eta (x){\cfrac {\částečné w}{\částečné t))\vpravo)+\eta (x){\cfrac {\částečné w}{\částečné t))=q+{\cfrac { J}{\kappa AG}}~{\frac {\částečné ^{2}q}{\částečné t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\ částečné ^{2}q}{\částečné x^{2}}}\end{aligned}}

Takový ansatz pro tlumicí sílu (podobný viskózní síle) je poněkud nereálný, protože viskozita vede k frekvenčně nezávislé amplitudě závislé rychlosti tlumení vibrací paprsku, zatímco empirická měření ukazují, že tlumení je slabě závislé na frekvenci a silně v závislosti na amplitudě výchylky paprsku.

Smykový faktor

Stanovení koeficientu posunu není tak snadné a je také nejednoznačné (je více způsobů, jak jej určit). Obecně musí splňovat podmínku:

\int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi \,

Faktor posunu závisí na Poissonově poměru . Pokusy získat přesný výraz pro to bylo učiněno mnoha vědci, včetně Stepana Prokofjeviče Timošenka , [7] Raymonda D. Mindlina , [8] GR Cowpera, [9] NG Stephena, [10] JR Hutchinsona [11] a dalších. (viz také odvození Timošenkových rovnic ohybu nosníku pomocí teorie ohybu nosníku založené na variačně-asymptotické metodě v knize Khanh C. Le [12] , která vede k různým smykovým koeficientům ve statických a dynamických případech). V inženýrské praxi jsou Timošenkovy výrazy [13] ve většině případů zcela dostačující. V roce 1975 Kaneko [14] publikoval velmi dobrý přehled o smykovém faktoru. Nedávno nová experimentální data ukázala, že faktor posunu je podhodnocen. [15] [16]

Podle Cowperovy práce z roku 1966 pro plný obdélníkový nosník

\kappa ={\cfrac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}

a pro pevný kulatý nosník

\kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}

Viz také

Literatura

↑ Timoshenko, SP, 1921, O korekčním faktoru pro smyk diferenciální rovnice pro příčné kmitání tyčí jednotného průřezu , Filosofický časopis, str. 744.
↑ Timošenko, SP, 1922, O příčných kmitání tyčí jednotného průřezu , Filosofický časopis, str. 125.
↑ Timošenkovy paprskové rovnice . Získáno 5. ledna 2019. Archivováno z originálu 15. října 2007. (neurčitý)
↑ Thomson, WT, 1981, Theory of Vibration with Applications , druhé vydání. Prentice Hall, New Jersey.
↑ Rosinger, HE a Ritchie, IG, 1977, O Timošenkově korekci na smyk u vibrujících izotropních paprsků , J. Phys. D:Appl. Phys., sv. 10, str. 1461-1466.
↑ "Experimentální studie předpovědí Timoshenko beam theory", A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, RA Méndez-Sánchez, G. Monsivais a A. Morales, Journal of Sound and Vibration, Volume 331 , Číslo 26, 17. prosince 2012, pp. 5732-5744.
↑ Timošenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik , Julius Springer.
↑ Mindlin, R.D., Deresiewicz, H., 1953, Timoshenko's Shear Coefficient for Flexural Vibrations of Beams , Technical Report No. 10, ONR Project NR064-388, Department of Civil Engineering, Columbia University, New York, NY
↑ Cowper, GR, 1966, "Smykový koeficient v Timoshenko's Beam Theory", J. Appl. Mech., sv. 33, č. 2, str. 335-340.
↑ Stephen, NG, 1980. "Timošenkův koeficient smyku z nosníku vystaveného gravitačnímu zatížení", Journal of Applied Mechanics, sv. 47, č.p. 1, str. 121-127.
↑ Hutchinson, JR, 1981, "Příčné kmitání paprsků, přesná versus přibližná řešení", Journal of Applied Mechanics, sv. 48, č.p. 12, str. 923-928.
↑ Le, Khanh C., 1999, Vibrace skořápek a tyčí , Springer.
↑ Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mechanika materiálů. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. strany 207.
↑ Kaneko, T., 1975, "O Timošenkově korekci na smyk u vibrujících paprsků", J. Phys. D:Appl. Phys., sv. 8, str. 1927-1936.
↑ "Experimentální kontrola přesnosti Timošenkovy teorie svazku", RA Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508-512.
↑ „O přesnosti teorie Timošenko paprsku nad kritickou frekvencí: nejlepší smykový koeficient“, JA Franco-Villafañe a RA Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, leden 2016, str. 1-4. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.