Teorie transcendentálních čísel

Teorie transcendentálních čísel je odvětvím teorie čísel, které studuje transcendentální čísla , tedy čísla ( reálná nebo komplexní ), která nemohou být kořeny žádného polynomu s celočíselnými koeficienty. Například takové důležité konstanty analýzy , jako je e , jsou transcendentální, ale nejsou, protože existuje kořen polynomu $\pi$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2.$

Jedním z hlavních problémů této teorie je zjistit, zda je dané číslo transcendentální nebo ne. Metody a výsledky teorie transcendentálních čísel jsou široce používány při studiu diofantických rovnic .

Transcendentální čísla

Podle Základní věty algebry má každý nenulový polynom s celočíselnými koeficienty komplexní kořen. Jinými slovy, pro jakýkoli polynom s celočíselnými koeficienty existuje komplexní číslo takové, že teorie transcendentálních čísel zvažuje převážně inverzní otázku: dané komplexní číslo ; určit, zda existuje polynom s celočíselnými koeficienty takovými, že Pokud se prokáže, že takový polynom neexistuje, pak je transcendence čísla dokázána . $P(x)$ $\alpha$ $P(\alpha )=0.$ $\alpha$ $P(x)$ $P(\alpha )=0.$ $\alpha$

Množina kořenů všech polynomů s celočíselnými koeficienty se nazývá množina algebraických čísel . Například každé racionální číslo je algebraické jako polynomický kořen , k algebraickým číslům patří také všechny možné konečné kombinace radikálů libovolného stupně z celých čísel. Všechna komplexní čísla jsou tedy rozdělena do dvou nepřekrývajících se tříd – algebraické a transcendentální. Jak se ukázalo, v jistém smyslu existuje mnohem více transcendentálních čísel než algebraických (viz níže). ${\displaystyle {m \over n))$ $nx-m;$

Na rozdíl od množiny algebraických čísel, což je pole , netvoří transcendentální čísla žádnou algebraickou strukturu s ohledem na aritmetické operace - výsledkem sčítání, odčítání, násobení a dělení transcendentálních čísel může být jak transcendentální číslo, tak algebraické číslo. Existuje však několik omezených způsobů, jak získat transcendentní číslo z jiného transcendentního čísla.

Jestliže t je transcendentální číslo, pak a jsou také transcendentální. $-t$ $1/t$
Jestliže a je algebraické číslo, které se nerovná nule, t je transcendentální, pak jsou transcendentální. $a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a$
Jestliže t je transcendentální číslo a je přirozené číslo , pak jsou transcendentální také. $n$ $t^{n}$ ${\sqrt[{n}]{t))$

Historie

Aproximace racionálními čísly: od Liouville po Roth

Koncept transcendentálních čísel , na rozdíl od algebraických, se datuje do 17. století, kdy Gottfried Leibniz dokázal, že sinus není algebraická funkce [1] . Tuto otázku podrobněji zkoumal ve 40. letech 18. století Euler [2] ; prohlásil [3] , že hodnota logaritmu pro racionální čísla není algebraická, kromě případu, kdy se pro některé racionální Eulerovo tvrzení ukázalo jako pravdivé, ale bylo prokázáno až ve 20. století. Euler vlastní termíny samotné: algebraické a transcendentální číslo (v práci z roku 1775) [4] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $b=a^{c}$ $c.$

První konkrétní příklady transcendentálních čísel ukázal Joseph Liouville ve 40. letech 19. století pomocí nepřetržitých zlomků . Později, v 50. letech 19. století, formuloval nezbytnou podmínku , aby číslo bylo algebraické; pokud je tedy tato podmínka porušena, pak je číslo zjevně transcendentální [5] . S pomocí takového kritéria popsal širokou třídu transcendentálních čísel, nazvaných „ Liouvilleova čísla “. Později bylo zjištěno, že Liouvilleova čísla tvoří všude hustou množinu na reálné reálné ose , která má mohutnost kontinua a zároveň nulovou Lebesgueovu míru [6] .

Liouvilleovo kritérium v podstatě znamená, že algebraická čísla nelze dobře aproximovat (aproximovat) racionálními čísly (viz Liouvilleův algebraický teorém o aproximaci čísel ). Pokud je tedy číslo dobře aproximováno racionálními čísly, pak musí být transcendentální. Přesný význam Liouvilleova konceptu „ dobře aproximovaného “ je následující: jestliže je algebraické číslo stupně a ε je libovolné kladné číslo, pak nerovnost $\alpha$ $d\geqslant 2$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}

může mít pouze konečný počet racionálních řešení . K prokázání transcendence se tedy musíme ujistit, že pro libovolné a existuje nekonečně mnoho řešení uvedené nerovnosti [7] . $p/q.$ $d$ $\varepsilon >0$

Ve 20. století práce Axela Thue [8] , Karla Siegela [9] a Klause Rotha [10] umožnily poněkud zjednodušit ověření Liouvillovy nerovnosti nahrazením výrazu nejprve a poté (1955) tímto výsledkem , známý jako Thue-Siegel-Roth teorém , jak se věřilo, již nebylo možné zlepšit, protože bylo ověřeno, že nahrazení pouze 2 dává chybné tvrzení. Serge Leng však navrhl vylepšení Rothovy verze; zejména navrhl, že by se dal nahradit menší výraz . $d+\varepsilon$ $d/2+\varepsilon +1,$ $2+\varepsilon .$ $2+\varepsilon$ ${\displaystyle q^{2+\varepsilon ))$ ${\displaystyle q^{2}\ln(q)^{1+\varepsilon ))$

Thue-Siegel-Rothova věta účinně dokončila práci započatou Liouvillem, umožnila matematikům prokázat transcendenci mnoha čísel - například Champernaunovy konstanty . Tato technika však není dostatečně silná, aby odhalila všechna transcendentální čísla; zejména se nevztahuje na čísla a [11] . $E$ $\pi$

Pomocné funkce: od Hermite k Bakerovi

K analýze takových čísel, jako v devatenáctém století, byly vyvinuty jiné metody. Je známo, že tyto dvě konstanty jsou příbuzné Eulerově identitě . Takzvané pomocné funkce , které mají ve zkoumaných bodech mnoho nul, se staly vhodným nástrojem pro analýzu . Zde mnoho nul může doslova znamenat velký počet nul, nebo jen jednu nulu, ale s vysokou násobností, nebo dokonce mnoho nul s vysokou násobností každá. $E$ $\pi,$

Charles Hermite v roce 1873, aby dokázal transcendenci , použil pomocné funkce aproximující funkci pro každé přirozené číslo [12] . V 80. letech 19. století použil Hermitovy výsledky Ferdinand von Lindemann [13] , aby dokázal, že pokud je nenulové algebraické číslo, pak je transcendentální. Konkrétně to znamená, že číslo je transcendentní, protože je to algebraické číslo (rovné -1). Tento objev uzavírá tak známý problém starověku , jako je " kvadrát kruhu ". Další třídou čísel, jejichž transcendence vyplývá z Lindemannovy věty, jsou logaritmy algebraických čísel [6] . $E,$ ${\displaystyle e^{kx))$ $k$ $\alpha$ $e^{\alpha }$ $\pi$ ${\displaystyle e^{i\pi ))$

Téma dále rozvinul Karl Weierstrass , který v roce 1885 publikoval Lindemann-Weierstrassův teorém [14] . Výrazně rozšířil třídu čísel s prokázanou transcendencí, včetně hodnot funkcí sinus a kosinus pro téměř všechny algebraické hodnoty argumentů [4] .

V roce 1900 David Hilbert ve své slavné zprávě na druhém mezinárodním kongresu matematiků vyjmenoval nejdůležitější matematické problémy . V sedmém z nich , jednom z nejobtížnějších (podle jeho vlastního hodnocení), byla vznesena otázka o transcendenci čísel ve tvaru , kde jsou algebraická čísla, nikoli nula a ne jednička, ale iracionálně . Ve 30. letech 20. století Alexander Gelfond [15] a Theodor Schneider [16] dokázali, že všechna taková čísla jsou skutečně transcendentální ( Gelfond–Schneiderova věta ). Autoři použili k důkazu implicitní pomocnou funkci, jejíž existenci garantuje Siegelovo lemma . Gelfond–Schneiderův teorém implikuje transcendenci takových čísel jako , a Gelfondova konstanta [6] . $a^{b},$ $a,b$ $A$ $b$ $e^{\pi }$ $2^{{{\sqrt {2))))$

Další důležitý výsledek v této oblasti přišel v 60. letech 20. století, kdy Alan Baker pokročil v problému předloženém Gelfondem ohledně lineárních forem nad logaritmy. Dříve se Gelfondovi podařilo najít netriviální spodní hranici pro výraz:

|\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,

kde všechny čtyři neznámé veličiny jsou algebraické a nejsou rovné nule nebo jedné, ale jsou iracionální . Gelfondovi se nepodařilo najít podobné dolní meze pro součet tří nebo více logaritmů. Důkaz Bakerovy věty obsahoval nalezení takových hranic a vyřešení problému počtu Gaussových tříd [ . Tato práce získala Baker v roce 1970 Fieldsovu cenu za použití při řešení diofantických rovnic . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2))$ $\beta _{1},\beta _{2}$

Z Bakerovy věty vyplývá, že pokud se algebraická čísla nerovnají nule nebo jedničce a jsou algebraická čísla taková, že jsou lineárně nezávislá na poli racionálních čísel , pak je číslo transcendentální [17] . ${\displaystyle \alpha _{1}\tečky \alpha _{n))$ ${\displaystyle \beta _{1}\tečky \beta _{n))$ ${\displaystyle 1,\beta _{1}\tečky \beta _{n))$ $\alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}$

Jiné metody: Kantor a Silber

V roce 1874 Georg Cantor , rozvíjející svou teorii množin , dokázal, že algebraická čísla lze dát do vzájemné korespondence s množinou přirozených čísel . Jinými slovy, množina algebraických čísel je spočetná a pak množina transcendentálních čísel musí být nejen nekonečná, ale také více než spočetná ( spojitá ) [18] . Později, v roce 1891, Cantor použil jednodušší a známější diagonální metodu [19] , aby to dokázal . Existují názory, že tyto Cantorovy výsledky jsou nevhodné pro konstrukci konkrétních transcendentálních čísel [20] , ale ve skutečnosti důkazy v obou výše uvedených dokumentech poskytují metody pro konstrukci transcendentálních čísel [21] . Cantor použil teorii množin, aby dokázal úplnost množiny transcendentálních čísel.

Jedním z nejnovějších trendů v řešení problémů v teorii transcendentálních čísel bylo použití teorie modelů . Problém je určit míru transcendence pole

K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1)),\ldots ,e^{x_{n)))

pro komplexní čísla , která jsou lineárně nezávislá na poli racionálních čísel. Stephen Schanuel navrhl , že odpověď je alespoň n , ale zatím pro to neexistují žádné důkazy. V roce 2004 však Boris Zilber publikoval článek, který pomocí modelově-teoretických metod vytváří strukturu, která se chová velmi podobně jako komplexní čísla, opatřená operacemi sčítání, násobení a umocňování. Navíc v této abstraktní struktuře platí Chenyulova domněnka [22] . Bohužel zatím není jisté, že tato struktura je skutečně totožná s komplexními čísly se jmenovanými operacemi. $x_{1},\ldots ,x_{n},$

Přístupy

Již bylo zmíněno výše, že množina algebraických čísel je pouze spočetná a v důsledku toho jsou „téměř všechna“ čísla transcendentální. Transcendence čísla je tedy typickým případem; obvykle však není snadné dokázat, že dané číslo je transcendentální. Z tohoto důvodu teorie transcendence často preferuje více kvantitativní přístup: dané komplexní číslo α; otázkou je, jak blízko je to k algebraickým číslům? Pokud lze například ukázat, že žádné zvýšení stupně polynomu nebo jeho koeficientů nemůže učinit α jeho kořenem, pak toto číslo musí být transcendentální.

Chcete-li tento nápad implementovat, můžete najít spodní okraj formuláře:

|P(\alpha )|>F(A,d),

kde pravá strana je nějaká kladná funkce závislá na nějaké míře koeficientů polynomu a jeho stupni . Případ odpovídá klasickému problému diofantických aproximací , tedy nalezení spodní hranice pro výraz: $A$ $d;$ $d=1$

|ax+b|

Metody teorie transcendence a diofantické aproximace mají mnoho společného: obě používají koncept pomocných funkcí.

Zobecnění

Definici transcendence lze zobecnit. Soubor čísel je řekl, aby byl algebraicky nezávislý přes pole jestliže tam je žádný nenulový polynom s koeficienty v takový to Pro pole racionálních čísel a soubor jednoho čísla, tato definice se shoduje s definicí transcendence daný nahoře . Byla vyvinuta i teorie transcendentálních p-adických čísel [6] . ${\displaystyle \alpha _{1}\tečky \alpha _{n))$ $K$ $P(x_{1}\tečky x_{n})$ $K$ $P(\alpha _{1}\tečky \alpha _{n})=0.$ $\alpha$ $\alpha$

Otevřené problémy

Výše zmíněná Gelfondova–Schneiderova věta otevřela velkou třídu transcendentálních čísel, ale tato třída je pouze spočetná a u mnoha důležitých konstant stále není známo, zda jsou transcendentální. Není vždy ani známo, zda jsou iracionální. Mezi nimi například různé kombinace a e , Aperiho konstanta , Euler-Mascheroniho konstanta [23] . $\pi$

Existující pokroky v teorii se týkají převážně čísel souvisejících s exponentem . To znamená, že jsou zapotřebí zcela nové metody. Hlavním problémem v teorii transcendence je dokázat, že určitá množina transcendentálních čísel je algebraicky nezávislá , což je silnější tvrzení než to, že jednotlivá čísla v množině jsou transcendentální. Víme, že a e jsou transcendentní, ale to neznamená, že jiné kombinace těchto čísel jsou transcendentní (s výjimkou Gelfondovy konstanty , která, jak již víme, je transcendentní). Chenyulova domněnka řeší problém , ale také platí pouze pro čísla související s exponentem. $\pi$ $\pi +e$ $e^{\pi },$ $\pi +e,$

Poznámky

↑ Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics, Springer (1994).
↑ Gelfond, 1952 , str. osm.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . — Lausanne, 1748.
↑ 1 2 Žukov A. .
↑ J. Liouville . Bez ohledu na třídy, které jsou kvantitativními objemy, nejsou hodnoty ani algebry ani měny redukovatelné pro iracionální algebry, Comptes Rendus Acad.
↑ 1 2 3 4 Matematická encyklopedie, 1985 , str. 426-427.
↑ Gelfond, 1952 , str. 9.
↑ Thue, A. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen (neopr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . - S. 284-305 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .
↑ Siegel, CL Approximation algebraischer Zahlen (anglicky) // Mathematische Zeitschrift : journal. - 1921. - Sv. 10 , č. 3-4 . - str. 172-213 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
↑ Roth, KF Racionální aproximace k algebraickým číslům (anglicky) // Mathematika : journal. - 1955. - Sv. 2 , ne. 1 . - str. 1-20 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
↑ Mahler, K. O aproximaci π (neurčité) // Proc. Akad. Wetensch. Ser. A. - 1953. - T. 56 . - S. 30-42 .
↑ Hermite, C. Sur la fonction exponencielle (neopr.) // ČR Acad. sci. Paříž . - 1873. - T. 77 .
↑ Lindemann, F. Ueber die Zahl π (neurčito) // Mathematische Annalen . - 1882. - T. 20 , č. 2 . - S. 213-225 . - doi : 10.1007/BF01446522 .
↑ Weierstrass, K. Zu Hrn. Lindemann's Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl' (německy) // Sitzungber. Konigl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin : obchod. - 1885. - Bd. 2 stránky=1067-1086 .
↑ Archivovaná kopie (odkaz není dostupný) . Získáno 9. srpna 2017. Archivováno z originálu 17. října 2011. (neurčitý) Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 9. srpna 2017. Archivováno z originálu 17. října 2011. (neurčitý) .
↑ Schneider, T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen (německy) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1935. - Bd. 172 . - S. 65-69 . - doi : 10.1515/crll.1935.172.65 .
↑ Baker A. Lineární formy v logaritmech algebraických čísel.
↑ Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen (německy) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1874. - Bd. 77 . - S. 258-262 . - doi : 10.1515/crll.1874.77.258 .
↑ Cantor, G. Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (německy) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung: časopis. - 1891. - Bd. 1 . - S. 75-78 . Archivováno 7. května 2021.
↑ Kac, M.; Stanislaw, U. Matematika a logika (nespecifikováno) . - Fredering A. Praeger, 1968. - S. 13.
↑ Gray, R. Georg Cantor a transcendentální čísla // Amer . Matematika. Měsíční : deník. - 1994. - Sv. 101 , č. 9 . - S. 819-832 . — . Archivováno z originálu 21. ledna 2022.
↑ Zilber, B. Pseudo-umocnění na algebraicky uzavřených polích charakteristické nuly // Annals of Pure and Applied Logic: journal. - 2005. - Sv. 132 , č.p. 1 . - str. 67-95 . - doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
↑ Hyun Seok, Lee .

Literatura

Gelfond A. O. Transcendentální a algebraická čísla. - M. : GITTL, 1952. - 224 s.
Transcendentální číslo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5.
Sedmý problém Feldmana N. I. Hilberta. - M. : Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1982. - 312 s.
Khinchin A. Ya. Pokračovací zlomky . — M .: GIFML, 1960.
Baker, Alan. Transcendentální teorie čísel. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert. Logaritmické formy a diofantická geometrie, nové matematické monografie 9 . - Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-88268-2 .
Lang, Serge. Úvod do transcendentálních čísel. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Odkazy

Žukov A. Algebraická a transcendentální čísla . Staženo: 9. srpna 2017. (neurčitý)
Feldman N. Algebraická a transcendentální čísla . Staženo: 9. srpna 2017. (neurčitý)
Filaseta Michael. Počátek transcendentálních čísel . (Angličtina)
Hyun Seok Lee. O teorii transcendence s malou historií, novými výsledky a otevřenými problémy . Staženo: 9. srpna 2017. (neurčitý)