↔ ⇔ ≡
„ Pak a teprve potom “ je logickým spojením ekvivalence mezi výroky používanými v logice , matematice , filozofii . Aby byl spojovník ekvivalentní, musí být totožné se standardním materiálovým podmíněným [1] („jen tehdy“ je ekvivalentní „pokud ... pak“), spojené s jeho opakem, odtud název odkazu. V důsledku toho pravdivost jednoho tvrzení vyžaduje stejnou pravdu druhého, to znamená, že buď jsou pravdivé oba, nebo jsou oba nepravdivé. Lze polemizovat o tom, zda výraz ruského jazyka „když a jen tehdy“ vyjadřuje výše definovanou vazbu s již existujícím významem. Samozřejmě nám nic nebrání číst tento svazek přesně jako „kdyby a jen tehdy“, i když to někdy může vést ke zmatkům.
V písemném projevu se často používají spíše kontroverzní výrazy jako alternativa k „pak a teprve potom“, včetně: Q je nezbytné a dostatečné pro P ; P je ekvivalentní (nebo materiálně ekvivalentní) s Q ; R přesně pokud Q ; P přesně když Q ; P přesně v případě Q ; P přesně v případě Q .
V logických vzorcích se místo všech výše uvedených frází používají logické symboly.
Pravdivostní tabulka pro p ↔ q je následující: [2]
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| jeden | jeden | jeden |
| jeden | 0 | 0 |
| 0 | jeden | 0 |
| 0 | 0 | jeden |
Všimněte si, že ekvivalentní transformaci provádí standardní buňka XNOR a opačnou transformaci provádí standardní buňka XOR.
Logické symboly ↔, ⇔ a ≡ se používají k označení logického spojovacího výrazu „když a jedině tehdy“ ve vzorcích. V anglických textech se někdy k označení odkazu používá „iff“ (zkratka pro „if and only if“) a v ruských textech je analogicky zkratka „ttt“ [3] nebo „sogda“ [4] občas používané . Obvykle jsou všechny tyto symboly považovány za ekvivalentní. Některé texty matematické logiky (zejména o logice prvního řádu a v menší míře o výrokové logice ) je však rozlišují, přičemž první znak ↔ se používá jako symbol v logických vzorcích, zatímco znak ⇔ se používá v logických vzorcích. úvahy o těchto vzorcích (například v metalogics ). Łukasiewiczův zápis používá znak „E“ jako předponu. Negací tohoto spojovacího výrazu je „výlučné nebo“.
Ve většině logických systémů jsou tvrzení ve tvaru „P ↔ Q“ dokázána důkazem „jestliže P, pak Q“ a „pokud Q, pak P“ (nebo obráceně „ pokud ne-P, pak ne-Q“ a "pokud ne-Q, pak non-P"). Důkaz této dvojice tvrzení někdy vede k důslednějšímu důkazu, protože existují nejasné podmínky, z nichž lze ekvivalenci přímo odvodit. Alternativou je dokázat disjunkci „(P a Q) nebo (ne-P a ne-Q)“, kterou lze z disjunktů sám odvodit, tj. protože spojka ↔ je pravdivostní funkcí, vyplývá z toho, že „P ↔ Q" je pravdivé pouze v případě, že P a Q jsou pravdivé nebo obě nepravdivé.
Dostatek je opakem nutnosti. To znamená, že pokud je dáno P → Q (nebo pokud P , pak Q ), pak P bude postačující podmínkou pro Q a Q bude nezbytnou podmínkou pro P. Kromě toho, pokud je dáno P → Q , pak platí také ¬Q → ¬P (kde ¬ je operátor negace, tj. „ne“). To znamená, že vztah mezi P a Q stanovený operátorem P → Q lze vyjádřit následujícími ekvivalentními způsoby:
P je dostatečné pro Q (pokud je P pravdivé, pak Q je jisté) Q je nezbytné pro P (pokud je Q pravdivé, pak P je pravděpodobnostní) ¬Q je dostatečné pro ¬P (pokud je ¬Q pravda, pak ¬P je jisté) ¬P je nezbytné pro ¬Q (pokud je ¬P pravda, pak ¬Q je pravděpodobnostní)Vezměme si jako příklad výše uvedenou větu (1), která uvádí P → Q , kde P je „dotyčný pudink“ a Q je „Madison dotyčný pudink sní“ . Následující čtyři způsoby vyjádření vztahů jsou ekvivalentní:
Pokud je dotyčný pudink pudink, Madison ho sní. Pouze pokud Madison sní dotyčný pudink, bude to pravděpodobně pudink. Pokud Madison nesní dotyčný pudink, je to bez pudinku. Pouze pokud dotyčný pudink není bez pudinku, Madison ho možná nesní.Vidíme tedy, že výše uvedenou větu (2) lze přeformulovat, jako by ... pak například: "Pokud Madison sní dotyčný pudink, pak je to s pudinkem." Když to vezmeme ve spojení s (1), zjistíme, že (3) může být uvedeno následovně: "Pokud je dotyčný pudink pudink, pak ho Madison sní, a pokud Madison sní pudink, pak je to pudink."