Topologický vektorový prostor

Topologický vektorový prostor nebo topologický lineární prostor je vektorový prostor obdařený topologií , s ohledem na kterou jsou operace sčítání a násobení číslem spojité . Termín se používá především ve funkční analýze [1] .

Definice

Množina se nazývá topologický vektorový prostor , pokud [2] [1] $E$

$E$ je vektorový prostor nad polem reálných nebo komplexních čísel ;
$E$ je topologický prostor ;
Operace sčítání a násobení číslem jsou s ohledem na danou topologii spojité , tzn $E$
1. if , pak pro každé okolí bodu lze určit taková sousedství a body a , v tomto pořadí, že pro , ; $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ $U$ $z_{0}$ $PROTI$ $W$ $x_{0}$ $y_0$ $x+y\v U$ $x \in V$ $y\in W$
2. if , pak pro každé okolí bodu existuje okolí bodu a takové číslo , že for a . $z_{0}=\alpha _{0}x_{0}$ $U$ $z_{0}$ $PROTI$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\alpha x\v U$ $|\alpha -\alpha _{0}|<\varepsilon$ $x \in V$

Příklady

Typy lineárních topologických prostorů

V závislosti na konkrétních aplikacích jsou na lineární topologické prostory obvykle kladeny některé další podmínky. Některé typy lineárních topologických prostorů jsou uvedeny níže, uspořádané (s určitým stupněm konvence) podle přítomnosti „dobrých“ vlastností.

Lokálně konvexní topologické vektorové prostory (zkráceně „lokálně konvexní prostory“): v takových prostorech má každý bod lokální základnu sestávající z konvexních množin . Pomocí tzv. Minkowského funkcionálu lze ukázat, že topologický vektorový prostor je lokálně konvexní právě tehdy, když je jeho topologie definována pomocí rodiny seminorm . Podmínkou lokální konvexity je již dlouho přesně ten koncept, na jehož základě lze pouze vybudovat teorii bohatou na aplikace, protože prostory, které nejsou lokálně konvexní, mohou mít různé patologické vlastnosti a jejich geometrie může být pro aplikace příliš „nepřirozená“. . V současnosti se však teorie lokálně ohraničených prostorů (obecně nekonvexních) začala aktivně rozvíjet.
Barrelové prostory : lokálně konvexní prostory, kde platí princip jednotné ohraničenosti .
Stereotypní prostory : lokálně konvexní prostory, které splňují podmínku reflexivity , ve kterých je duální prostor vybaven topologií jednotné konvergence na totálně ohraničených množinách.
Montelovy prostory : sudovité prostory, které mají vlastnost Heine–Borel .
Bornologické prostory : lokálně konvexní prostory, ve kterých spojité lineární operátory s hodnotami v lokálně konvexních prostorech jsou přesně ohraničené lineární operátory.
LF-prostory : LF-prostor je indukční limit Fréchetových prostorů. ILH-prostory jsou projektivní limity Hilbertových prostorů.
F-prostory : kompletní topologické vektorové prostory s invariantní (pod posuny) metrikou. Zejména všechny prostory L p (p > 0) jsou takové.
Fréchetovy prostory : lokálně konvexní prostory, jejichž topologie je dána nějakou metrikou neměnnou s posunem nebo ekvivalentně spočetnou rodinou seminorm. Koncept Fréchetova prostoru je jedním z nejdůležitějších zobecnění konceptu Banachova prostoru. Mnoho funkčních prostorů zájmu jsou Fréchetovy prostory. Fréchetův prostor lze také definovat jako lokálně konvexní F-prostor.
Nuclear spaces : důležitý speciální případ Fréchetových prostorů; v jaderných prostorech je každé ohraničené mapování s hodnotami v libovolném Banachově prostoru jaderným operátorem . Jaderné prostory, spolu s Banachovými prostory, jsou Frechetovými prostory největšího zájmu. V tomto případě třídy nukleárních a Banachových prostorů v průsečíku tvoří třídu konečně-dimenzionálních prostorů.
Normované prostory : lokálně konvexní prostory, jejichž topologie je dána normou . Lineární operátory působící na normované prostory jsou spojité právě tehdy, když jsou ohraničené.
Banachovy prostory : kompletní normované prostory. Jsou předmětem studia klasické funkcionální analýzy; většina teorémů analýzy je formulována přesně pro Banachovy prostory.
Reflexivní Banachovy prostory : Banachovy prostory přirozeně izomorfní ke své druhé konjugaci .
Hilbertovy prostory : Banachovy prostory, jejichž norma je generována vnitřním součinem ; navzdory skutečnosti, že tyto prostory mohou být nekonečněrozměrné, jejich geometrické vlastnosti jsou velmi blízké vlastnostem konečněrozměrných prostorů.
Euklidovské prostory : konečnorozměrné Hilbertovy prostory. Každý lokálně kompaktní Hausdorffův topologický vektorový prostor je izomorfní (jako topologický vektorový prostor) k nějakému euklidovskému prostoru.

Poznámky

↑ 1 2 Topologický vektorový prostor // Matematický encyklopedický slovník / kap. vyd. Yu V. Prochorov . - M., Sovětská encyklopedie , 1988. - str. 582
↑ Kerin S. G. Funkční analýza. - M., Nauka , 1972. - str. 19-21

Literatura

Shefer H. Topologické vektorové prostory. — M.: Mir, 1971.
Bourbaki N. Topologické vektorové prostory. — M.: Ed. zahraniční, cizí lit., 1965.
Robertson A., Robertson V. Topologické vektorové prostory. — M.: Mir, 1967.
Smolyanov O. G. Analýza topologických lineárních prostorů a její aplikace : učebnice. příspěvek. - M .: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1979. - 86 s.