Švarcovský trojúhelník

Schwartzův trojúhelník je sférický trojúhelník , který lze použít k mozaikování koule , případně se překrývající, tím, že odráží trojúhelník kolem jeho stran. Trojúhelníky jsou klasifikovány v práci německého matematika Karla Schwartze z roku 1873 [1] .

Schwartzovy trojúhelníky lze obecněji definovat jako obklady na kouli, euklidovské nebo hyperbolické rovině. Každý Schwartzův trojúhelník na kouli definuje konečnou grupu , zatímco na euklidovské rovině definují nekonečné grupy.

Schwartzův trojúhelník je reprezentován třemi racionálními čísly ( p q r ), z nichž každé definuje úhel ve vrcholu. Hodnota n/d znamená, že úhel ve vrcholu trojúhelníku je roven d / n přímého úhlu. 2 znamená pravoúhlý trojúhelník. Jsou-li tato čísla celá čísla, nazývá se trojúhelník Möbiův trojúhelník a odpovídá obkladu bez přesahů a grupa symetrie se nazývá trojúhelníková grupa . Na kouli jsou 3 Möbiovy trojúhelníky a ještě jedna jednoparametrová rodina. V rovině jsou tři Möbiovy trojúhelníky a v hyperbolickém prostoru je rodina Möbiových trojúhelníků se třemi parametry a bez výjimečných objektů .

Prostor řešení

Základní plocha ve tvaru trojúhelníku ( p q r ) může existovat v různých prostorech, v závislosti na součtu převrácených hodnot těchto celých čísel:

Koule Euklidovská rovina hyperbolická rovina

Jednoduše řečeno, součet úhlů trojúhelníku v euklidovské rovině je π, zatímco na kouli je součet úhlů větší než π a v hyperbolické rovině je součet menší než π.

Grafické znázornění

Schwartzův trojúhelník je znázorněn graficky jako trojúhelníkový graf . Každý vrchol odpovídá straně (zrcadlu) Schwartzova trojúhelníku. Každá hrana je označena racionální hodnotou odpovídající řádu odrazu, která se rovná π/ vnější úhel .


Schwarzův trojúhelník ( p q r ) na kouli
Schwarzův trojúhelníkový graf

Hrany s řádem 2 představují kolmá zrcadla, která mohou být v tomto schématu vynechána. Coxeter-Dynkinův diagram představuje tyto trojúhelníkové grafy bez hran řádu 2.

Pro jednodušší zápis lze použít Coxeterovu skupinu , jako ( p q r ) pro cyklické grafy, ( p q 2) = [ p , q ] pro pravoúhlé trojúhelníky a ( p 2 2) = [ p ]×[].

Seznam schwartzových trojúhelníků

Möbiovy trojúhelníky na kouli


(2 2 2) nebo [2,2]
(3 2 2) nebo [3,2] 		...

(3 3 2) nebo [3,3]
(4 3 2) nebo [4,3]
(5 3 2) nebo [5,3]

Schwarzovy trojúhelníky s celými čísly, nazývané také Möbiovy trojúhelníky , zahrnují rodinu s jedním parametrem a tři výjimečné případy:

  1. [ p ,2] nebo ( p 2 2) - dihedrální symetrie ,CDel uzel.pngCDel p.pngCDel uzel.pngCDel 2.pngCDel uzel.png
  2. [3,3] nebo (3 3 2) – čtyřstěnná symetrie ,CDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel.png
  3. [4,3] nebo (4 3 2) – Oktaedrická symetrie ,CDel uzel.pngCDel 4.pngCDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel.png
  4. [5,3] nebo (5 3 2) - Ikosahedrická symetrie ,CDel uzel.pngCDel 5.pngCDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel.png

Schwartzovy trojúhelníky na kouli, seskupené podle hustoty

Schwartzovy trojúhelníky ( p q r ), seskupené podle hustoty :

Hustota švarcovský trojúhelník
jeden (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n )
d ( 22 n / d )
2 (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3 (2 3/2 3), (2 5/2 5)
čtyři (3 4/3 4), (3 5/3 5)
5 (2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6 (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7 (2 3 4/3), (2 3 5/2)
osm (3/2 5/2 5)
9 (2 5/3 5)
deset (3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
jedenáct (2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13 (2 3 5/3)
čtrnáct (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16 (3 5/4 5/2)
17 (2 3/2 5/2)
osmnáct (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19 (2 3 5/4)
21 (2 5/4 5/2)
22 (3/2 3/2 5/2)
23 (2 3/2 5/3)
26 (3/2 5/3 5/3)
27 (2 5/4 5/3)
29 (2 3/2 5/4)
32 (3/2 5/45/3)
34 (3/2 3/2 5/4)
38 (3/2 5/4 5/4)
42 (5/4 5/4 5/4)

Trojúhelníky v euklidovské rovině


(3 3 3)
(4 4 2)
(6 3 2)

Hustota 1:

  1. (3 3 3) - 60-60-60 ( rovnostranný )
  2. (4 4 2) - 45-45-90 (rovnoramenný obdélník)
  3. (6 3 2) - 30-60-90
  4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "trojúhelník"

Hustota 2:

  1. (6 6 3/2) - 120-30-30 trojúhelník

Hustota ∞:

  1. (4 4/3∞)
  2. (3 3/2∞)
  3. (6 6/5∞)

Trojúhelníky v hyperbolické rovině


(7 3 2)
(8 3 2)
(5 4 2)

(4 3 3)
(4 4 3)
(∞∞∞)
Základní oblasti trojúhelníků ( p q r )

Hustota 1:

Hustota 2:

Hustota 3:

Hustota 4:

Hustota 6:

Hustota 10:

Schwartzův trojúhelník (2 3 7) je nejmenší hyperbolický Schwartzův trojúhelník a je zvláště zajímavý. Jeho trojúhelníková grupa (nebo přesněji von Dyckova grupa orientaci zachovávajících izometrií s indexem 2) je trojúhelníková grupa (2,3,7) , která je univerzální grupou pro všechny Hurwitzovy grupy — maximální izometrické skupiny Riemannových povrchů . Všechny Hurwitzovy grupy jsou faktorové grupy trojúhelníkové grupy (2,3,7) a všechny Hurwitzovy povrchy jsou pokryty obklady schwartzových trojúhelníků (2,3,7). Nejmenší Hurwitzova grupa je jednoduchá grupa řádu 168, druhá nejmenší neabelovská jednoduchá grupa , která je izomorfní k PSL(2,7) a asociovaná s Hurwitzovým povrchem rodu 3, je Kleinova kvartika .

Trojúhelník (2 3 8) mozaikuje Boltzův povrch , vysoce symetrický (ale ne Hurwitzův) povrch rodu 2.

Trojúhelníky s jedním neceločíselným úhlem uvedené výše byly poprvé klasifikovány Anthony W. Knappem v dokumentu z  roku 1968 [2] . Seznam trojúhelníků s více neceločíselnými úhly je uveden v článku Klimenka a Sakuma z roku 1998 [3] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Schwarz, 1873 .
  2. ↑ Knapp, 1968 , s. 289-304.
  3. ↑ Klimenko, Sakuma, 1998 , str. 247-282.

Literatura

Odkazy