Trojúhelníková skupina

V matematice je skupina trojúhelníku skupina , která může být reprezentována geometricky postupnými odrazy o stranách trojúhelníku . Trojúhelník může být obyčejný euklidovský trojúhelník, trojúhelník na kouli nebo hyperbolický trojúhelník . Nějaká skupina trojúhelníku je skupina symetrie parkety shodných trojúhelníků ve dvourozměrném prostoru , na kouli , nebo na Lobachevsky letadle (vidět také článek o hyperbolickém letadle ).

Definice

Nechť l , m , n jsou celá čísla větší nebo rovna 2. Trojúhelníková grupa Δ( l , m , n ) je skupina pohybů euklidovského prostoru, dvourozměrné koule, reálné projektivní roviny nebo hyperbolické roviny. generované odrazy o stranách trojúhelníku s úhly π/ l , π/ m a π/ n (měřeno v radiánech ). Součin odrazů vzhledem ke dvěma sousedním stranám je otočení o úhel rovný dvojnásobku úhlu mezi těmito stranami, 2π/ l , 2π/ m a 2π/ n . Pokud jsou tedy odrazy označeny písmeny a , b a c a úhly mezi stranami v cyklickém pořadí, jak je uvedeno výše, platí následující vztahy:

$a^{2}=b^{2}=c^{2}=1$
$(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.$

Existuje věta, že všechny ostatní vztahy mezi a, b, c jsou důsledky těchto vztahů a že Δ( l, m, n ) je diskrétní grupa pohybů odpovídajícího prostoru. Tato skupina trojúhelníků je reflexní skupinou , kterou lze specifikovat

\Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc )^{n}=(ca)^{m}=1\rangle .

Abstraktní skupina s tímto úkolem je skupina Coxeter se třemi generátory.

Klasifikace

Pokud jsou dána jakákoli přirozená čísla l , m , n > 1, právě jedna z klasických dvourozměrných geometrií (euklidovská, sférická nebo hyperbolická) připouští trojúhelník s úhly (π/l, π/m, π/n) a prostor je dlážděné odrazy tohoto trojúhelníku . Součet úhlů trojúhelníku určuje typ geometrie podle Gauss-Bonnetova vzorce : prostor je euklidovský, pokud je součet úhlů přesně roven π, sférický, pokud přesahuje π, a hyperbolický, pokud je přísně menší než π. . Navíc libovolné dva trojúhelníky s danými úhly jsou shodné. Každá skupina trojúhelníků definuje obklad, který je obvykle 2barevný, takže libovolné dva sousední obklady mají různé barvy.

Z hlediska čísel l , m , n > 1 existují následující možnosti.

Euklidovská rovina

${\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.$

Trojúhelníková grupa je nekonečná grupa symetrie nějaké parkety (nebo obkladu) euklidovské roviny podle trojúhelníků, jejichž úhly se sčítají do π (neboli 180°). Až do permutací je trojice ( l , m , n ) jednou z trojic (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Odpovídající skupiny trojúhelníků jsou zástupci skupiny vzorů tapet .

(2,3,6)	(2,4,4)	(3,3,3)

Štípané šestihranné parkety	Čtvercové parkety "Tetrakis"	Trojúhelníkové parkety
Podrobnější grafy s označenými vrcholy. Ukazuje, jak fungují odrazy.

Koule

{\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}>1.

Skupina trojúhelníků je konečná skupina symetrie parkety na jednotkové sféře kulových trojúhelníků nebo Möbiových trojúhelníků , jejichž součet úhlů tvoří číslo větší než π. Až do permutace mají trojice ( l , m , n ) tvar (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) nebo (2,2, n ), n > 1. Kulové grupy trojúhelníků lze porovnat se grupami symetrie pravidelných mnohostěnů v trojrozměrném euklidovském prostoru: Δ(2,3,3) odpovídá čtyřstěnu , Δ(2,3,4) odpovídá jak krychli a oktaedr (mají stejnou skupinu symetrie ), Δ(2,3,5) odpovídá jak dvanáctistedru , tak dvacetistěnu . Skupiny Δ(2,2, n ), n > 1, dihedrální symetrie lze považovat za grupy symetrie rodiny dihedrů , které jsou tvořeny dvěma identickými pravidelnými n - úhelníky spojenými dohromady, resp. osoedr , který je tvořen spojením n digonů .

Kulovitá parketa odpovídající pravidelnému mnohostěnu se získá barycentrickým dělením mnohostěnu a projekcí výsledných bodů a čar na opsané kouli. Čtyřstěn má čtyři plochy a každá plocha je rovnostranný trojúhelník, který je rozdělen na 6 menších částí středy protínajícími se uprostřed. Výsledný obklad má 4×6=24 kulových trojúhelníků (jedná se o kulový tetrakishedron ).

Tyto skupiny jsou konečné, což odpovídá kompaktnosti koule – plochy disků na kouli sice narůstají, pokud jde o poloměr, ale nakonec pokrývají celou kouli.

Trojúhelníkové teselace jsou uvedeny níže:

(2,2,2)	(2,2,4)	(2,2,6)

(2,3,3)	(2,3,4)	(2,3,5)

Sférické parkety odpovídající osmistěnu a dvacetistěnu, stejně jako dvoustěnné kulové obklady se sudým n , jsou středově symetrické . Každý z těchto obalů tedy definuje parketu skutečné projektivní roviny, eliptickou parketu . Jejich grupa symetrie je kvocientová grupa kulové grupy trojúhelníků středovou symetrií ( -I ), která je středovým prvkem řádu 2. Protože projektivní rovina je modelem eliptické geometrie , nazýváme takové grupy grupy eliptických trojúhelníků [1 ] .

Hyperbolická rovina

{\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}<1.

Skupina trojúhelníků je nekonečná skupina symetrie parkety na hyperbolické rovině hyperbolických trojúhelníků, jejichž součet úhlů je menší než π. Všechny trojice neuvedené výše představují parkety v hyperbolické rovině. Například trojice (2,3,7) dává trojúhelníkovou grupu (2,3,7) . Takových skupin je nekonečně mnoho. Níže jsou uvedeny parkety spojené s některými malými hodnotami.

Poincarého model základních doménových trojúhelníků

Příklady pravých trojúhelníků (2 pq)
(2 3 7)	(2 3 8)	(2 3 9)	(2 3∞)
(2 4 5)	(2 4 6)	(2 4 7)	(2 4 8)	(2 4∞)
(2 5 5)	(2 5 6)	(2 5 7)	(2 6 6)	(2∞∞)
Příklady obecného trojúhelníku (pqr)
(3 3 4)	(3 3 5)	(3 3 6)	(3 3 7)	(3 3∞)
(3 4 4)	(3 6 6)	(3∞∞)	(6 6 6)	(∞∞∞)

Skupiny hyperbolických trojúhelníků jsou příklady neeuklidovských krystalografických grup a jsou zobecněny v Gromovově teorii hyperbolických grup .

Von Dyck skupiny

Označme D ( l , m , n ) podskupinu s indexem 2 v Δ(l, m, n) generovanou slovy sudé délky v generátorech. Takové podskupiny se někdy nazývají „obyčejné“ trojúhelníkové skupiny [2] nebo von Dyckovy skupiny podle Walthera von Dycka . Sférické, euklidovské a hyperbolické trojúhelníky odpovídají prvkům grupy, která zachovává orientaci trojúhelníků. Projektivní (eliptické) trojúhelníky nelze takto interpretovat, protože projektivní rovina nemá žádnou orientaci a není v ní „zachování orientace“. Odrazy však lokálně zachovávají orientaci (a každá varieta je lokálně orientovatelná, protože je lokálně euklidovská). [3]

Skupiny D ( l , m , n ) jsou definovány následujícím úkolem:

D(l,m,n)=\langle x,y\mid x^{l},y^{m},(xy)^{n}\rangle .

Z hlediska generátorů je to x = ab, y = ca, yx = cb . Geometricky tři prvky x , y , xy odpovídají rotacím 2π/ l , 2π/ ma 2π/ n kolem tří vrcholů trojúhelníku.

Všimněte si, že D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ) , takže D ( l , m , n ) nezávisí na pořadí čísel l , m , n .

Von Dyckova hyperbolická grupa je fuchsovská diskrétní grupa sestávající z izometrií hyperbolické roviny zachovávajících orientaci .

Překryvné parkety

Skupiny trojúhelníků zachovávají pokládku parket pomocí trojúhelníků, konkrétně základní plochy pro působení (trojúhelník definovaný přímými odrazy) nazývaný Möbiův trojúhelník a jsou dány trojicí celých čísel ( l , m , n ) odpovídajících trojúhelníkům (2 l ,2 m ,2 n ) se společným vrcholem. Existují také parkety tvořené překrývajícími se trojúhelníky, které odpovídají švarcovským trojúhelníkům s racionálními čísly ( l / a , m / b , n / c ), kde jsou jmenovatelé relativně prvočíslí vůči čitatelům. To odpovídá stranám pod úhlem a π/ l (resp.), což odpovídá rotaci o 2 a π/ l (resp.), která má řád l a je tedy shodná s prvkem abstraktní grupy, ale liší se když jsou reprezentovány jako odrazy.

Například Schwartzův trojúhelník (2 3 3) dává parketu o hustotě 1 na kouli, zatímco trojúhelník (2 3/2 3) dává parketu o hustotě 3 na kouli, ale se stejnou abstraktní grupou. . Tyto symetrie překryvných parket se nepovažují za trojúhelníkové skupiny.

Historie

Skupiny trojúhelníků se datují přinejmenším od Hamiltonovy prezentace ikosaedrické grupy jako rotační grupy trojúhelníku (2,3,5) v roce 1856 v jeho článku o ikósiánech [4] .

Aplikace

Skupiny trojúhelníků vznikají v aritmetické geometrii . Modulární grupa generovaná dvěma prvky, S a T , se vztahy S² = (ST)³ = 1 , je rotační grupa trojúhelníku (2,3,∞) a je mapována na všechny skupiny trojúhelníků (2,3, n ) přidáním vztahu T n = 1. Obecněji platí, že Heckeho grupa H q , generovaná dvěma prvky, S a T , se vztahem S 2 = ( ST ) q = 1 (bez vztahu samostatně pro T ), je rotační grupa trojúhelníku (2, q , ∞) a je mapována na všechny trojúhelníkové grupy (2, q , n ) přidáním vztahu T n = 1. Modulární grupou je Heckeho grupa H 3 . V teorii dessins d'enfants umožňuje Belyiho funkce získat dlaždici Riemannovy plochy odpovídající nějaké trojúhelníkové grupě.

Všech 26 sporadických grup jsou faktorové grupy trojúhelníkových grup [6] , z nichž 12 jsou Hurwitzovy grupy (faktorová grupa grupy (2,3,7)).

Viz také

švarcovský trojúhelník
Schwarzovo trojúhelníkové mapování je mapování trojúhelníků do horní poloroviny .
Geometrická teorie grup

Poznámky

↑ ( Magnus 1974 )
↑ Gross & Tucker, 2001 .
↑ ( Magnus 1974 , str. 65)
↑ Hamilton, 1856 .
↑ Platonické obklady povrchů Riemann: The Modular Group Archivováno 28. října 2009 na Wayback Machine , Gerard Westendorp Archivováno 10. března 2011 na Wayback Machine
↑ ( Wilson 2001 , tabulka 2, str. 7)

Literatura

Gross, Jonathan L. & Tucker, Thomas W. (2001), 6.2.8 Skupiny trojúhelníků, Teorie topologických grafů , Courier Dover Publications, str. 279–281 , ISBN 978-0-486-41741-7
Magnus, Wilhelm (1974), II. Nespojité grupy a trojúhelníkové mozaiky, Neneuklidovské mozaiky a jejich grupy , Academic Press , str. 52–106 , ISBN 978-0-12-465450-1
Wilson, R. A. (2001), The Monster is a Hurwitz group , Journal of Group Theory , svazek 4 (4): 367–374, doi : 10.1515/jgth.2001.027 , < http://web.mat.bham.ac. uk/RAWilson/pubs/MHurwitz.ps > . Získáno 24. prosince 2017. Archivováno 5. března 2012 na Wayback Machine
Sir William Rowan Hamilton. Memorandum respektující nový systém kořenů jednoty // Filosofický časopis . - 1856. - T. 12 . - S. 446 .

Odkazy

Robert Dawson Některé kulové parkety Archivováno 6. října 2011 ve Wayback Machine (Je zobrazeno velké množství zajímavých kulových obkladů, z nichž většina nejsou parkety trojúhelníkové skupiny.)
Elizabeth R Chen trojúhelníkové skupiny Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine (2010)