Balící kruhy

Článek popisuje balení kruhů na plochách. Související článek o kružnicovém balení s daným průsečíkovým grafem naleznete v článku " Věta o kružnicovém balení ".

V geometrii je balení kruhů studium umístění kruhů (stejné velikosti nebo různých velikostí) na daný povrch takovým způsobem, že se neprotínají a kruhy se navzájem dotýkají. Odpovídající hustota η uspořádání je zlomkem plochy, kterou zabírají kruhy. Kruhové obaly je možné zobecnit do vyšších dimenzí - tomu se říká kuličkové balení , které obvykle pracuje se stejnými koulemi.

Zatímco kruhy mají relativně nízkou maximální hustotu 0,9069 v euklidovské rovině , tato hustota není minimální. "Nejhorší" rovinný údaj není znám, ačkoli vyhlazený osmiúhelník má hustotu balení asi 0,902414, což je nejmenší maximální hustota balení známá pro středově symetrické konvexní útvary [1] . Hustota uspořádání konkávních tvarů, jako jsou hvězdicové mnohoúhelníky , může být libovolně nízká.

Odvětví matematiky známé jako „balení kruhů“ se zabývá geometrií a kombinatorikou balení kruhů libovolné velikosti az toho vznikají diskrétní analogy konformních zobrazení , Riemannovy plochy a podobně.

Ploché balení

Pro dvourozměrný euklidovský prostor Joseph Louis Lagrange v roce 1773 dokázal, že mřížkové uspořádání kruhů s nejvyšší hustotou je šestiúhelníkové uspořádání [2] , ve kterém jsou středy kruhů umístěny na šestihranné mřížce (klikaté řady jako plástve ), a každý kruh je obklopen šesti dalšími kruhy. Hustota takového balení je rovna

Axel Thue podal první důkaz, že toto těsnění je optimální, v roce 1890, když ukázal, že šestiúhelníková mřížka je nejhustší ze všech možných kruhových těsnění, jak pravidelných, tak nepravidelných. Tento důkaz byl však považován za neúplný. První úplný důkaz je připisován Laszlovi Fejesovi Tothovi (1940) [2] .

Na druhé straně byly nalezeny tuhé kruhové výplně s nízkou hustotou.

Homogenní ucpávky

Existuje 11 kruhových těsnění založených na 11 jednotných rovinných mozaikách [3] . V těchto balíčcích lze jakýkoli kruh namapovat na jakýkoli jiný kruh odrazem nebo rotací. Šestihranné mezery mohou být vyplněny jedním kruhem a dvanáctihranné mezery mohou být vyplněny 7 kruhy, čímž se vytvoří 3-stejnoměrné těsnění. Zkrácený trihexagonální obklad s oběma typy spár lze vyplnit jako 4-homogenní těsnění. Trihexagonální obklad má dvě zrcadlové formy.

1-homogenní výplně na bázi stejnoměrných obkladů

trojúhelníkový
Náměstí
Šestihranný
Podlouhlý trojúhelník

Trojúhelníkový
Snub square
Zkrácený čtverec
Zkrácený šestiúhelník

Rhombotrihexagonal
Snub šestihranný
Snub šestihranný (zrcadlový)
Zkrácený trihexagonální

Balení na kouli

Související problém je určit umístění s minimální energií stejně rozmístěných bodů, které musí ležet na daném povrchu. Thomsonův problém uvažuje rozložení elektrických nábojů s nejnižší energií na povrchu koule. Tammesův problém je zobecněním tohoto problému a maximalizuje minimální vzdálenost mezi kruhy na kouli.

Balení v omezených oblastech

Balení kružnic do jednoduchých ohraničených tvarů je běžný typ rekreačního matematického problému . Vliv stěn kontejneru je důležitý a šestihranné těsnění obecně není optimální pro malý počet kruhů.

Nerovné kruhy

Existuje také řada problémů, které umožňují, aby velikosti kruhů nebyly jednotné. Jedním z takových rozšíření je problém nalezení maximální možné hustoty systému se dvěma velikostmi kruhu ( dvojkový systém). Pouze devět definitivních poměrů poloměrů umožňuje kompaktní balení , ve kterém se dva kruhy dotýkají, dotýkají se dalších dvou kruhů k sobě (pokud spojíte středy dotýkajících se kruhů úsečkami, triangulují povrch) [4] . Pro sedm takových poměrů poloměrů jsou známy kompaktní ucpávky, na kterých je dosaženo maximálního možného těsnícího poměru (vyššího než u kružnic o stejném průměru) pro směs kružnic o daném poměru poloměrů. Nejvyšší hustota balení je 0,911627478 pro poměr poloměru 0,545151042• [5] [6] .

Je také známo, že pokud je poměr poloměrů vyšší než 0,742, nelze binární směs sbalit lépe než kruhy stejné velikosti [5] . Získají se také horní meze, kterých lze dosáhnout takovým binárním balením pro menší poměry poloměrů [7] .

Aplikace balicích kruhů

Kvadraturní amplitudová modulace je založena na skládání kružnic do kružnic fázově amplitudového prostoru. Modem přenáší data jako řadu bodů na dvourozměrné rovině fáze-amplituda. Vzdálenost mezi body určuje citlivost přenosu šumu, zatímco průměr vnějšího kruhu určuje požadovaný výkon vysílače. Výkon je maximalizován, když je signální konstelace kódových bodů ve středech hustě zaplněných kružnic. V praxi se často používá obdélníkové balení pro zjednodušení dekódování.

Balicí kruhy se staly základním nástrojem v umění origami , protože každý kus v origami postavě vyžaduje kruh na kusu papíru [8] . Robert Lang použil matematiku kruhového balení k vývoji počítačových programů určených k navrhování složitých tvarů origami.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon  na webu Wolfram MathWorld .
  2. ↑ 1 2 Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), Jednoduchý důkaz Thueovy věty o kruhovém balení, arΧiv : 1009,4322 [math.MG]. 
  3. ↑ Williams, 1979 , s. 35-39.
  4. ↑ 1 2 Kennedy, 2006 , str. 255–267.
  5. ↑ 1 2 3 Heppes, 2003 , str. 241–262.
  6. ↑ Kennedy .
  7. ↑ de Laat, de Oliveira Filho, Vallentin .
  8. ↑ Přednášky o moderním origami " Robert Lang o TED Archivováno 15. října 2011 na Wayback Machine ."

Literatura