Gassmannova rovnice

Gassmannovy rovnice jsou rovnice, které uvádějí do vztahu elastické parametry porézního média nasyceného kapalinou nebo plynem. Používají se k hodnocení elastických vlastností hornin (rychlosti šíření elastických vln) při geofyzikálních studiích zemské kůry. Získáno v aproximaci lineární teorie pružnosti , ve které je homogenní izotropní materiál charakterizován třemi nezávislými parametry (nebo z nich odvozenými veličinami), například: modulem objemové komprese , smykovým modulem a hustotou . $K$ $G$ $\rho$

Elastické vlastnosti porézního média

Model porézního prostředí použitý v Gassmannových rovnicích předpokládá, že materiál se skládá z pevné a kapalné (plynné) fáze. Pevná fáze tvoří tuhou kostru (skelet) charakteristickou svými makroskopickými moduly pružnosti. Kapalná (plynná) fáze zcela vyplňuje prázdný prostor. Ve vztahu k fyzice sedimentárních hornin je pevná fáze reprezentována krystaly nebo zrny horninotvorných minerálů a kapalná fáze je reprezentována tekutinami obsaženými v porézním prostoru horniny. Předpokládá se, že prázdný prostor je v takovém prostředí rozložen rovnoměrně a jeho vlastnosti jsou nezávislé na směru ( izotropní ). Hlavní charakteristikou prázdného prostoru je pórovitost - poměr objemu dutin k objemu celého vzorku: . $\phi ={\frac {V_{por}}{V}}$

Podobně jako u metody "efektivních" médií se při odvozování Gassmannových rovnic vybere takový homogenní izotropní materiál, který se při aplikovaném zatížení "v průměru" chová stejně jako zkoumané mikronehomogenní porézní médium. Dvoufázový systém uvažovaný v modelu Gassmann je tedy charakterizován následujícími parametry:

efektivní elastické moduly nasyceného materiálu: ; $K,G,\rho$
pórovitost: ; $\phi$
elastické moduly pevné fáze (minerální látky), která tvoří kostru: ; ${\displaystyle K_{m},G_{m},\rho _{m))$
moduly pružnosti tekutiny: ; $K_{f},\rho _{f}$
efektivní moduly pružnosti horninové kostry (nenasycené): ; ${\displaystyle K_{dry},G_{dry))$

Ten závisí jak na vlastnostech minerální látky, tak na mnoha dalších faktorech (geometrie pórového prostoru, povaha kontaktů zrn, efektivní tlak atd.) a zpravidla je nelze explicitně vypočítat. Gassmannův systém rovnic spojuje uvedené charakteristiky mezi sebou, což umožňuje vyjádřit některé parametry jinými při řešení různých aplikovaných úloh (např . problém náhrady tekutin ). Jedním z předpokladů použitých v tomto modelu je předpoklad, že smykový modul dvoufázového média je nezávislý na vlastnostech kapaliny vyplňující póry. Proto (nicméně ). Hustota média je vážený průměr mezi hustotou pevné fáze a hustotou tekutiny. Hlavní význam Gassmannových rovnic tedy spočívá ve výrazu pro modul všestranné komprese porézních nasycených médií. Ve své nejobecnější podobě má tento výraz následující podobu: $G$ ${\displaystyle G=G_{dry))$ ${\displaystyle G_{dry}\neq G_{m))$

$F(K,K_{m},K_{dry},K_{f},\phi )=0;$

Kterýkoli z pěti parametrů zahrnutých v této rovnici jako argument lze vyjádřit pomocí ostatních čtyř.

Základní notace

Pro výpočet efektivních modulů pružnosti nasyceného materiálu se používá explicitní forma Gassmannových rovnic:

K=K_{dry}+{\frac {\left(1-{\frac {K_{dry)){K_{m))}\right)^{2)){{\frac {\phi }{K_{f))}+{\frac {1-\phi }{K_{m))}-{\frac {K_{dry)){K_{m}^{2))))};

G=G_{dry};

\rho =\rho _{m}(1-\phi )+\rho _{f}\phi ;

Tyto výrazy umožňují odhadnout míru vlivu elastických parametrů výplňové tekutiny na vlastnosti horniny. Na jejich základě lze vypočítat další elastické charakteristiky porézního nasyceného prostředí. Například:

rychlost podélné vlny :

V_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}};

rychlost smykové vlny :

V_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {G_{dry}}{\rho }}};

Je třeba poznamenat, že navzdory skutečnosti, že vlastnosti kapaliny neovlivňují smykový modul horniny, rychlost smykové vlny se mění se změnou typu kapaliny vlivem hustoty.

Elastické moduly "suchého" skeletu

Pro výpočet elastických charakteristik nasyceného porézního materiálu pomocí explicitního tvaru Gassmannovy rovnice je nutné nastavit parametry a . K tomu se obvykle používají empirické vztahy. Zobecněný model kritické porozity Nur (A.Nur), který je v dobré shodě s experimenty a potvrzený výsledky numerické simulace [1] , našel široké uplatnění : ${\displaystyle K_{dry))$ ${\displaystyle G_{dry))$

K_{dry}=K_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{a},\ \ \phi <\phi _{ cr}

G_{dry}=G_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{b},\ \ \phi <\phi _{ cr}

Zde je kritická pórovitost a jsou kontrolní koeficienty kalibrovány proti výsledkům měření. ${\displaystyle \phi _{cr))$ $A$ $b$

Fyzikální význam kritické pórovitosti je relativní objem dutin, nad nimiž materiál ztrácí tuhost (například bod přechodu z pískovce do písku nebo z nasycené horniny do suspenze). Pro hodnotu pórovitosti nad kritickou hodnotou . V tomto případě se Gassmannova rovnice změní na Woodovou rovnici . $K_{dry}=G_{dry}=0$

Hodnoty parametrů a závisí na geometrii prázdného prostoru, povaze kontaktu a tvaru zrn a dalších charakteristikách horninového skeletu. $A$ $b$

Vícesložkové složení pevné fáze a kapaliny

Složení pevné fáze skutečných hornin zpravidla zahrnuje několik horninotvorných minerálů. V tomto případě se pro hodnocení modulů pružnosti minerální látky používají různé techniky průměrování . Samokonzistentní polní metoda zpravidla poskytuje dobré výsledky . Lze také použít Hillovou metodu průměrování . $K_{m}$ $G_{m}$

Woodovu rovnici lze použít k odhadu modulu všestranného stlačení tekutiny s jejím vícesložkovým složením . Je však třeba mít na paměti, že tato rovnice je použitelná pouze pro nemísitelné složky. Například při hodnocení vlastností ložiskové ropy obsahující určité množství zemního plynu v rozpuštěném stavu může dojít k velkým chybám.

Základní předpoklady. Rozsah

Gassmannovy rovnice lze použít jak pro stanovení statických modulů pružnosti, tak v dynamickém případě (např. pro odhad rychlosti šíření seismických vln v horninách). Při odvozování rovnic se však používají následující předpoklady, které omezují rozsah této teorie:

Minerální kostra a tekutina se pohybují společně (bez prokluzu). Změna elementárního objemu horniny je součtem změny objemu tekutiny a objemu pevné fáze;
Vlastnosti kapalin neovlivňují smykový modul horniny;
Napětí v hornině je součtem napětí v kostře a tlaku v tekutině (pórový tlak);

První předpoklad ukládá omezení frekvenčního rozsahu signálů při použití Gassmannovy teorie v dynamických problémech. Při dostatečně krátké vlnové délce bude kapalná fáze „klouzat“ vzhledem ke kostře horniny. V důsledku toho bude pozorován frekvenční rozptyl rychlosti vlnění a disipace energie. Tyto efekty jsou zvažovány v rámci obecnější Biot-Nikolaevského teorie , ze které lze jako speciální případ odvodit Gassmannovy rovnice.

Frekvenční rozsah, ve kterém Gassmannova teorie dobře popisuje experimentální data, se obvykle odhaduje na 10 % Biotovy rezonanční frekvence :

f_{max}=0.1f_{Bio}=0.1{\frac {\eta \phi }{2\pi \kappa \rho _{f}}};

$\eta$ je dynamická viskozita kapaliny,

$\kappa$ - koeficient propustnosti materiálu ( absolutní propustnost horniny ).

Při kmitání vyšších frekvencí v porézním a propustném nasyceném prostředí vzniká kromě podélného a příčného vlnění i podélná vlna druhého druhu .

U většiny skutečných hornin je Biotova rezonanční frekvence výrazně vyšší než 20-30 kHz. To umožňuje použít Gassmannovy rovnice v procesu interpretace seismických a zvukových dat .

Níže uvedená tabulka ukazuje příklad odhadu hraniční frekvence použitelnosti Gassmannových rovnic pro některé typické hodnoty pórovitosti a propustnosti skutečných hornin nasycených vodou.

Příklad odhadu mezní frekvence (kHz): $f_{{max}}$
	pórovitost
propustnost	deset%	dvacet%	třicet%	40 %
$\kappa$ = 1 mD	882	1764	2646	3528
$\kappa$ = 10 mD	88	176	265	353
$\kappa$ = 100 mD	9	osmnáct	27	35

Jiné formy psaní

V řadě aplikovaných úloh je vhodné použít jiné reprezentace Gassmannových rovnic, které lze odvodit ze základního tvaru.

1. Implicitní forma

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{dry}}{K_{m}-K_{dry}}}+{\frac {K_{f}} {\phi (K_{m}-K_{f)))));

2. Formulář Reuss

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{dry}}{K_{m}-K_{dry}}}+{\frac {K_{R}} {K_{m}-K_{R}}},

{\frac {1}{K_{R}}}={\frac {\phi }{K_{f}}}+{\frac {1-\phi }{K_{m}}};

3. Formulář Biot

K=K_{dry}+B^{2}M,

{\frac {1}{M}}={\frac {B-\phi }{K_{m}}}+{\frac {\phi }{K_{f}}};

B=1-{\frac {K_{dry}}{K_{m}}},

Hodnota Biotova koeficientu je určena vlastnostmi prázdného prostoru. Lze ukázat, že tento parametr charakterizuje poměr změny objemu pórů ke změně celkového objemu horniny při deformaci. $B$

Nevýhody a omezení

Hlavní nevýhodou Gassmannových rovnic v praxi je nutnost specifikovat elastické vlastnosti skeletu , které závisí na mnoha faktorech a je obtížné je vyhodnotit. $(K_{dry},G_{dry})$

Je také důležité vzít v úvahu omezení frekvenčního složení - při frekvenci elastických kmitů větší než Biotova frekvence Gassmannova rovnice špatně popisuje elastické charakteristiky dvoufázových médií kvůli zanedbávání pohybu tekutiny vzhledem k pevná fáze.

Problém s výměnou kapaliny

Pomocí výše uvedených rovnic je možné odhadnout, jak se změní vlastnosti nasycené horniny se známými elastickými vlastnostmi, pokud se změní typ sytící tekutiny. Současně, pokud jsou známy moduly pružnosti tekutin, stejně jako minerální složka horniny, není pro vyřešení problému nutné nastavovat elastické charakteristiky kostry horniny. Tento úkol má velký praktický význam při posuzování míry vlivu ložisek ropy nebo plynu na výsledky geofyzikálních průzkumů.

Viz také

Odkazy

Skalní fyzici

Literatura

Bílý J.E. Buzení a šíření seismických vln = Underground sound / editor trans. N.N. Bublina. — M .: Nedra, 1986. — 261 s.
Gassmann, F. Uber Die elastizitat poroser medien // Vier, der Natur Gesellschaft. - 1951. - č. 96 . - S. 1-23 . (německy) (existuje anglický překlad )
Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. - Cambridge University Press, 2009. (anglicky)
Nur, A., Mavko, G., Dvorkin, J. a Galmundi, D. Kritická pórovitost: klíč ke spojení fyzikálních vlastností s pórovitostí v horninách, Proc. 65th Ann Int. setkání soc. Expl. Geofyz.. - 1995. - č. 878 . (Angličtina)
↑ Roberts, AP a Garboczi, EJ Elastické vlastnosti modelové porézní keramiky // J. Amer. keramická společnost. - 2000. - č. 83 . - S. 3041-3048 . (Angličtina)