Rovnice šestého stupně

Rovnice šestého stupně je algebraická rovnice s maximálním stupněm 6. Obecně ji lze zapsat takto:

ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.

Ačkoli některé zvláštní formy této rovnice, takový jako trisquare nebo bikubický, moci být řešen graficky nebo faktoringem, obecné analytické řešení této rovnice je neznámé. Z Abel-Ruffiniho věty vyplývá, že obecně rovnici 6. stupně nelze vyřešit v radikálech .

Algoritmy řešení

Pokus sestrojit obecnou teorii pro řešení rovnice šestého stupně poprvé provedl v roce 1886 Frank Cole [1] . Algoritmy pro řešení rovnic pátého stupně byly navrženy o osm let dříve a Coleova práce se pokusila zobecnit vyvinuté metody také na rovnici šestého stupně.

Teorie rovnic stupně menšího než pět je založena na určitých skupinách lineárních transformací jedné proměnné odpovídajících Galoisovým grupám původní rovnice. Taková skupina transformací pro rovnici pátého stupně odpovídá 60 operacím střídavé grupy . Pro rovnici šestého stupně musí taková skupina transformací již odpovídat 360 operacím alternující grupy , což lze znázornit jako následující rovnice: $A_{5}$ $A_{6}$

z'={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta ))

kde z je celé číslo shodné s 0 , 1, 2, 3, 4, 5 nebo . Při určité volbě parametrů α, β, γ, δ bude i číslo z' celé číslo. Lze ukázat, že existuje přesně 360 takových sad parametrů. Felix Klein ukázal, že neexistují žádné konečné grupy lineárních transformací jedné proměnné, které splňují výše uvedené podmínky. Počet proměnných musí být alespoň tři v obecném případě a alespoň čtyři, pokud jsou lineární transformace zapsány v homogenní formě. Tyto vlastnosti vedou k tomu, že v praxi je použití algoritmů pro hledání řešení rovnice šestého stupně nepraktické [2] . $\infty \ {\mathrm {mod}}\ 6$

Soukromé formuláře

Trikvadratická rovnice

Trikvadratická rovnice je algebraická rovnice tvaru

x^{6}+ax^{3}+b=0

Substitucí se redukuje na kvadratickou rovnici $t=x^{3}$

t^{2}+at+b=0

Bikubická rovnice

Bikubická rovnice je algebraická rovnice tvaru

x^{6}+ax^{4}+bx^{2}+c=0

Substitucí se redukuje na kubickou rovnici $t=x^{2}$

t^{3}+at^{2}+bt+c=0

Viz také

Abel-Ruffiniho teorém

Poznámky

↑ Cole FN Příspěvek k teorii obecné rovnice šestého stupně // Amer . J Math. . - 1886. - Sv. 8 . - str. 265-286 .
↑ R. Bruce King. Kapitola 8. Beyond the Quintic Equation // Beyond the Quartic Equation . - Birkhäuser Boston, 2008. - S. 139-149. — 149 str. - (Moderní Birkhäuser Classics). — ISBN 0817648364 . Archivováno 22. července 2014 na Wayback Machine

Odkazy

Weisstein, Eric W. "Sextická rovnice" . Od MathWorld - Wolfram webový zdroj.

Algebraické rovnice
Lineární rovnice Kvadratická rovnice kubická rovnice Rovnice čtvrtého stupně Rovnice pátého stupně Rovnice šestého stupně Rovnice sedmého stupně