Hamiltonovy rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. září 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Hamiltonovy rovnice (také nazývané kanonické rovnice ) ve fyzice a matematice - systém diferenciálních rovnic :

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}},

kde bod nad a označuje časovou derivaci . Systém se skládá z 2 N diferenciálních rovnic prvního řádu ( j = 1, 2, …, N) pro dynamický systém popsaný N (zobecněnými) souřadnicemi, což jsou pohybové rovnice (jedna z forem takových rovnic, spolu s Lagrangeovy rovnice , což je zobecnění pohybu Newtonových rovnic systému, kde je tzv. Hamiltonovská funkce , někdy také označovaná jako Hamiltonián , je čas [1] , jsou (zobecněné) souřadnice a jsou zobecněné impulsy , které určují stav systému (bod ve fázovém prostoru ). $p$ $q$ $H=H(q,p,t)\ekviv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N },t)$ $t$ $Qi}$ $(q_{1},q_{2},\tečky ,q_{N})$ $p_{i}$ $(p_{1},p_{2},\tečky ,p_{N})$

Hamiltonovy rovnice jsou široce používány v hamiltonovské mechanice a dalších oblastech teoretické fyziky a matematiky.

Newtonovský fyzikální význam

Nejjednodušší výklad těchto rovnic je následující. V nejjednodušších případech hamiltonián představuje energii fyzikálního systému, která je součtem kinetické a potenciální energie , tradičně označované a příslušně: $H$ $T$ $PROTI$

H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m)),~V=V(q)=V(x).

Ve speciálním případě, pokud jsou kartézské souřadnice každého hmotného bodu soustavy zapsány v řadě třemi (fyzický prostor zde budeme mínit jako obyčejný trojrozměrný), tzn. $q=X$

X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\ ;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\tečky ,

pak se Hamiltonovy kanonické rovnice shodují, vzhledem k předchozímu odstavci, s Newtonovými pohybovými rovnicemi ve tvaru:

{\tečka {\vec {P}}}=-\nabla V,

{\tečka {\vec {X}}}={\vec {p}}/m,

kde a každý podprostor udává vektor poloměru odpovídajícího hmotného bodu: ${\vec X}=(X_{1},X_{2},\tečky ,X_{N})$

{\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4} ,X_{5},X_{6}),\;\tečky ,

a zobecněná hybnost jsou odpovídající složky trojrozměrné hybnosti tohoto bodu:

{\vec p}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec p}_{2}=(P_{4},P_{5},P_ {6}),\;\tečky

Fundamentální výklad

Hamiltonova funkce je v podstatě lokálním disperzním zákonem , který vyjadřuje kvantovou frekvenci (frekvenci kmitů vlnové funkce) pomocí vlnového vektoru pro každý bod v prostoru [2] : $\omega$ ${\mathbf k}$

\omega =H({\mathbf k}, {\mathbf x}).

V klasické aproximaci (při vysokých [3] frekvencích a vlnovém vektorovém modulu a relativně pomalé závislosti na ) tento zákon celkem jasně popisuje pohyb vlnového balíčku kanonickými Hamiltonovými rovnicemi, z nichž některé ( ) jsou interpretovány jako grupová rychlost. vzorec získaný z disperzního zákona a další ( ) jsou zcela přirozené - jako změna (zejména rotace) vlnového vektoru při šíření vlny v nehomogenním prostředí určitého typu. ${\mathbf x}$ ${\dot q}_{i}=\částečné H/\částečné p_{i}$ ${\tečka p}_{i}=-\částečné H/\částečné q_{i}$

Odvození Hamiltonových rovnic

Odvození z principu stacionárního působení

Z principu nejmenší (stacionární) akce jsou Hamiltonovy rovnice přímo získány změnou akce

S=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\tečka q}_{i}-H (q,p,t){\bigg )}dt

bez ohledu na a dále . $q$ $p$

Odvození z Lagrangeovy mechaniky

Hamiltonovy rovnice můžeme odvodit pomocí informací o tom, jak se Lagrangian mění s časem, souřadnicemi a hybností částice.

{\mathrm {d}}L=\součet _{i}\left({\frac {\částečné L}{\částečné q_{i}}}{\mathrm {d}}q_{i}+{\frac {\částečné L}{\částečné {{\tečka q}_{i)))){\mathrm {d}}({\tečka q}_{i}}\right)+{\frac {\částečné L }{\částečné t}}{\mathrm {d}}t

zobecněné momenty jsou definovány jako a Lagrangeovy rovnice zní: $p_{i}={\frac {\částečné L}{\částečné {{\tečka q}_{i))))$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{ \frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i},

kde je nepotencionální zobecněná síla. Poslední výraz se převede do formuláře $F_{i}$

{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}={\dot {p))_{i}-F_{i},

a výsledek je dosazen do variace Lagrangeova

\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t.

Můžeš psát:

{\mathrm {d}}L=\součet _{i}\left[\left({{\dot p}}_{i}-F_{i}\right){\mathrm {d}}q_{i }+{\mathrm {d}}\left(p_{i}{{\dot q}_{i}}\right)-{{\tečka q}_{i}}{\mathrm {d}}p_ {i}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}{\mathrm {d}}t

a převeden do tvaru:

\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}({\tečka {q))_{i}}-L\right)=\sum _{i}\left[\ vlevo(F_{i}-{\tečka {p}}_{i}\vpravo)\mathrm {d} q_{i}+({\tečka {q}}_{i}}\mathrm {d} p_ {i}\right]-{\frac {\částečné L}{\částečné t))\mathrm {d} t.

Faktor na levé straně je pouze Hamiltonián, který byl definován dříve. Takto:

\mathrm {d} H=\součet _{i}\left[\left(F_{i}-{\tečka {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +{{\tečka {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\částečné L}{\částečné t}}\mathrm {d} t=\součet _{i}\left[{\frac {\částečné H}{\částečné q_{i))}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\částečné H}{\částečné p_{i)) }\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\částečné H}{\částečné t))\mathrm {d} t,

kde druhá rovnost platí díky definici parciální derivace.

Zobecnění pomocí Poissonových závorek

Rovnice lze zapsat v obecnější formě pomocí Poissonovy algebry nad generátory a . V tomto případě obecnější forma Hamiltonových rovnic zní: $p$ $q$

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t)),

kde , nazvaný klasický pozorovatelný, je nějaká funkce proměnných , a , a je Hamiltonián systému. S Poissonovými závorkami můžete pracovat bez použití diferenciálních rovnic, protože Poissonovy závorky jsou zcela analogické Lieovým závorkám v Poissonově algebře. $A$ $p$ $q$ $t$ $H$

Tento algebraický přístup nám umožňuje použít rozdělení pravděpodobnosti pro a , také nám umožňuje najít konzervované veličiny (integrály pohybu). $q$ $p$

Hamiltonovy rovnice patří mezi základní rovnice klasické mechaniky. V kvantové mechanice je analogem redukované Hamiltonovy rovnice Heisenbergova rovnice .

Viz také

Poznámky

↑ Hamiltonova funkce, obecně řečeno, může záviset explicitně na čase, i když v mnoha základních případech taková závislost neexistuje.
↑ Protože energie a hybnost jsou frekvenční a vlnový vektor, liší se od nich pouze univerzálním konstantním faktorem, který lze ve vhodné soustavě jednotek zvolit jako jednotu.
↑ Protože spojení mezi energií a frekvencí, hybností a vlnovým vektorem v běžných soustavách jednotek zahrnuje Planckovu konstantu , která je v těchto běžných soustavách jednotek velmi malá, velmi velké energie a hybnosti odpovídají obvyklým pro klasickou mechaniku (ve srovnání s prostorovým a časovým měřítkem) frekvence a vlnové vektory.

Literatura

Vilazi G. Hamiltonovská dynamika. překlad z angličtiny M.: IKI i RHD, 2006. 432s. ISBN 5-93972-444-2
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mechanics. - 5. vydání, stereotypní. — M .: Fizmatlit , 2001. — 222 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Leach JW Klasická mechanika. M.: Zahraniční. literatura, 1961.
D. ter Haar. Základy hamiltonovské mechaniky. Moskva: Nauka, 1974.
Polák L. S. (ed.) Variační principy mechaniky. Sbírka článků klasiků vědy. Moskva: Fizmatgiz, 1959