Faktorový kroužek

Podílový kruh je obecná algebraická konstrukce, která umožňuje rozšířit konstrukci podílové skupiny na případ kroužků . Jakýkoli kruh je sčítací skupina , takže můžeme zvážit jeho podskupinu a vzít faktorovou skupinu. Aby však bylo možné správně definovat násobení na této kvocientové grupě , je nutné, aby původní podgrupa byla uzavřena pod násobením libovolnými prvky kruhu, tj. byla ideálem .

Definice

Nechť je oboustranný ideál prstenu . Definujme vztah ekvivalence : $já$ $R$ $R$

a\sim b

tehdy a jen tehdy

ab\in I.

Třída ekvivalence prvku se označuje jako nebo a nazývá se třída coset modulo the ideal. Kvocientový kruh je množina koset prvků modulo , na kterých jsou operace sčítání a násobení definovány takto: $A$ $[A]$ $a+I$ $R/I$ $R$ $já$

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I

(a+I)\cdot (b+I)=ab+I

Je snadné zkontrolovat, zda jsou tyto operace dobře definovány, to znamená, že nezávisí na volbě konkrétního zástupce třídy coset . Například správnost násobení se kontroluje takto: nechť . Pak . V posledním kroku důkazu je ideál uzavřen pod násobením prvkem kruhu (levým i pravým) a uzavřen pod sčítáním. $A$ $a+I$ $a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{{1,2}}\v I$ $a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\in ab +Já$

Související věty

Věta o kruhovém homomorfismu :

Jestliže je surjektivní homomorfismus prstenu na prsten , pak jádro je ideál prstenu a prsten je izomorfní k prstenu s kvocientem .

F

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

\ker \,f

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

{\mathrm {K}}/\ker \,f

Naopak, jestliže je ideál kruhu , pak mapa definovaná podmínkou je homomorfismus kruhu na s kernel .

{\mathrm {J}}

\mathrm{K}

f:{\mathrm {K}}\to {\mathrm {K/J}}

f(a)=a+{\mathrm {J}),\forall a\in {\mathrm {K}}

{\mathrm {J}}

{\mathrm {K/J}}

{\mathrm {J}}

Věta je analogická s větou o grupovém homomorfismu .

Ideál kruhu je prvočíslo ( maximální ) právě tehdy, když je podílový kruh celistvý kruh ( pole ). ${\mathrm {J}}$ $\mathrm{K}$ ${\mathrm {K/J}}$
Podle čínské věty o zbytku , jsou-li párové coprime ideály (to znamená, že součet libovolných dvou z nich je roven celému kruhu), pak je podílový kruh podle jejich součinu (nebo ekvivalentně podle jejich průniku ) izomorfní součin faktorů formy . $I_{1},I_{2},\ldots I_{n}$ $R/(I_{i})$

Příklady

Dovolit být kruh celých čísel , být ideální skládající se z násobků . Pak je modulo kruhu s konečným reziduem . Takový kroužek se také označuje nebo . [jeden] $\mathbb {Z}$ $n{\mathbb Z}$ $n$ ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ $n$ $\mathbb Z_n$ $\mathbb {Z} /(n)$
Uvažujme polynomický kruh s reálnými koeficienty a ideál sestávající z polynomů, které jsou násobky . Faktorový kruh je izomorfní k oboru komplexních čísel : třída odpovídá imaginární jednotce. Ve skutečnosti jsou v podílovém kruhu prvky a ekvivalentní, to znamená . ${\mathbb R}[x]$ $x^{2}+1$ ${\mathbb R}[x]/(x^{2}+1)$ $[X]$ $x^{2}+1$ $0$ $x^{2}=-1$
Zobecněme-li předchozí příklad, faktorové kruhy se často používají ke konstrukci rozšíření pole . Dovolit být nějaké pole a být ireducibilní polynom v . Pak je pole a toto pole obsahuje alespoň jeden kořen polynomu , třídu sousednosti prvku . $K$ $f(x)$ $K[x]$ $K[x]/(f(x))$ $f(x)$ $X$
Důležitým příkladem použití předchozí konstrukce je konstrukce konečných polí . Uvažujme konečné těleso dvou prvků (které se v tomto kontextu obvykle označuje jako ). Polynom je nad tímto polem neredukovatelný (protože nemá kořeny), proto je podílový kruh pole. Toto pole se skládá ze čtyř prvků: 0, 1, x a x +1. Všechna konečná pole lze sestrojit podobným způsobem. ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $\mathbb {F} _{2}$ $x^{2}+x+1$ ${\mathbb F}_{2}[x]/(x^{2}+x+1)$

Poznámky

↑ Lidl, Niederreiter, 1998 , Příklad 1.37, str. 27.

Literatura

Vinberg E.B. Kurz algebry. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Úvod do komutativní algebry. - M .: Mir, 1972. - 160 s.
Lidl R., Niederreiter G. Konečná pole. Ve 2 sv. — M .: Mir, 1998. — 430 s. — ISBN 5-03-000065-8 .