Funkční rovnice je rovnice , která vyjadřuje vztah mezi hodnotou funkce v jednom bodě a jejími hodnotami v jiných bodech. Mnoho vlastností funkcí lze určit zkoumáním funkčních rovnic, které tyto funkce splňují. Termín "funkční rovnice" se běžně používá pro rovnice, které nelze jednoduchými způsoby převést na algebraické rovnice . Tato neredukovatelnost je nejčastěji způsobena tím, že argumenty neznámé funkce v rovnici nejsou samotné nezávislé proměnné, ale některá data funkce z nich.
Funkční rovnice:
,kde je Eulerova gama funkce , splňuje Riemannovu zeta funkci .
Funkce gama je jediným řešením tohoto systému tří rovnic:
( Eulerův vzorec doplňku )Funkční rovnice:
,kde jsou celá čísla splňující rovnost , tedy:
,definuje jako modulární formu objednávky .
Cauchyho funkcionální rovnice:
Cauchyho funkcionální rovnice jsou redukovány na sebe. Rovnice se tedy po záměně zredukuje na rovnici (k tomu je samozřejmě nutné, aby nebyla shodně nulová). Ve třídě spojitých funkcí a ve třídě monotónních funkcí jsou uvedená řešení jediná, kromě degenerovaného řešení . V širších třídách funkcí jsou však možná velmi exotická řešení, viz článek „Hamelův základ“ .
Jiný:
Zvláštním typem funkcionálních rovnic je rekurzivní vztah obsahující neznámou funkci celých čísel a operátor posunu .
Lineární rekurentní vztahy:
(kde jsou konstanty nezávislé na ) mají teorii analogickou k teorii lineárních diferenciálních rovnic. Například pro lineární rekurentní vztah:
,stačí najít dvě lineárně nezávislá řešení, všechna ostatní řešení budou jejich lineárními kombinacemi.
Pro nalezení těchto řešení je nutné dosadit do rekurence recidivy testovací funkci s neurčitým parametrem a pokusit se najít ty, pro které bude tento rekurentní vztah splněn. Pro daný příklad získáme kvadratickou rovnici se dvěma různými kořeny , a proto obecným řešením tohoto rekurentního vztahu bude vzorec (konstanty a jsou zvoleny tak, aby pro a vzorec udával požadované hodnoty pro množství a ). V případě více kořenů polynomu slouží funkce a tak dále jako další zkušební řešení .
Jedním ze známých rekurentních vztahů je , který definuje Fibonacciho posloupnost .
Existuje několik obecných metod řešení funkcionálních rovnic.
Zejména může být užitečné aplikovat koncept involuce , tj. použití vlastností funkcí, pro které ; nejjednodušší involuce:
, , , .Příklad . Chcete-li vyřešit rovnici:
pro všechny a , dáme : . Potom a . Dále vložení :
Druhá mocnina reálného čísla je nezáporná a součet nezáporných čísel je roven nule právě tehdy, když jsou obě čísla rovna 0. Proto je pro všechny a jediným řešením této rovnice.