Mertensova funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. října 2013; kontroly vyžadují 28 úprav .

V teorii čísel je Mertensova funkce definována pro všechna přirozená čísla n vzorcem

M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)

kde je Möbiova funkce . Funkce Mertens je pojmenována po Franzi Mertensovi . $\mu(k)$

Jinými slovy, je rozdíl mezi počtem volných čtverců nepřesahujících n a obsahujících sudý počet prvočinitelů a počtem stejných čísel, která však obsahují lichý počet prvočinitelů. $M(n)$

Výše uvedená definice může být rozšířena na všechna kladná reálná čísla následovně:

M(x) = \sum\limity_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k).

Vlastnosti

$|M(x)|\leqslant x$ .
$M(x) = o(x)$ , což je netriviální, ale dokázané [1]
$M(x) = M([x])$ , kde je celočíselná část čísla . $[X]$ $X$
Série identit obsahujících Mertensovu funkci se získá jednotně na základě následující skutečnosti:

Jestliže , pak pro následující identitu platí: $c_n = \sum\limits_{d|n} \mu(n/d)\,a_d$ $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) a_k = C(x)

, kde je sčítací funkce posloupnosti .

C(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}c_n

c_n

To poskytuje zejména následující identity, které jsou platné pro : $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) = 1

je charakteristická vlastnost Mertensovy funkce;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) {\rm ln}\, k = \psi(x)

, kde je druhá Čebyševova funkce ;

\psi(x)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) |\mu(k)| = M(\sqrt{x})

;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \Lambda(k) = {\rm ln}\, [x]!

, kde je Mangoldtova funkce ;

\Lambda(k)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \tau(k) = [x]

, kde je počet dělitelů čísla .

\tau(k)

k

Mertensova funkce má oblasti pomalé změny v pozitivním i negativním směru, procházející průměrnými a extrémními hodnotami, oscilující, zjevně chaotickým způsobem, procházející nulou při následujících hodnotách n :

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 233, 232 54, 383 333 353 355 356 358 362 363 364 366 393 401 403 404 405 407 408 413 414 419 420 422 423 4224 742. 0E sekvence

Protože Möbiova funkce může nabývat pouze hodnot , Mertensova funkce se mění pomalu: pro všechna n platí, že . Mertensova domněnka předpokládala silnější omezení: pro všechna n nepřesahuje absolutní hodnota Mertensovy funkce kořen n : . Mertensova hypotéza se však ukázala jako chybná, jak v roce 1985 ukázali Andrew Odlyzko a Herman te Riele . Riemannova hypotéza je ekvivalentní hypotéze slabšího růstu , jmenovitě . Protože největší hodnoty rostou přinejmenším stejně rychle jako odmocnina z n , odhaduje tento předpoklad růst Mertensovy funkce poměrně přesně. Zde O znamená velké O. $-1,0,1$ $|M(n)|\leqslant n$ $|M(n)|\leqslant {\sqrt {n))$ $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$ $M(n)$

Prvních 160 hodnot M ( n ) je sekvence A002321 v OEIS

n	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16	17	osmnáct	19	dvacet
M ( n )	jeden	0	-jeden	-jeden	-2	-jeden	-2	-2	-2	-jeden	-2	-2	-3	-2	-jeden	-jeden	-2	-2	-3	-3
n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	třicet	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
M ( n )	-2	-jeden	-2	-2	-2	-jeden	-jeden	-jeden	-2	-3	-čtyři	-čtyři	-3	-2	-jeden	-jeden	-2	-jeden	0	0
n	41	42	43	44	45	46	47	48	49	padesáti	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
M ( n )	-jeden	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-jeden	0	-jeden	-jeden
n	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
M ( n )	-2	-jeden	-jeden	-jeden	0	-jeden	-2	-2	-jeden	-2	-3	-3	-čtyři	-3	-3	-3	-2	-3	-čtyři	-čtyři
n	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
M ( n )	-čtyři	-3	-čtyři	-čtyři	-3	-2	-jeden	-jeden	-2	-2	-jeden	-jeden	0	jeden	2	2	jeden	jeden	jeden	jeden
n	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
M ( n )	0	-jeden	-2	-2	-3	-2	-3	-3	-čtyři	-5	-čtyři	-čtyři	-5	-6	-5	-5	-5	-čtyři	-3	-3
n	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
M ( n )	-3	-2	-jeden	-jeden	-jeden	-jeden	-2	-2	-jeden	-2	-3	-3	-2	-jeden	-jeden	-jeden	-2	-3	-čtyři	-čtyři
n	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
M ( n )	-3	-2	-jeden	-jeden	0	jeden	jeden	jeden	0	0	-jeden	-jeden	-jeden	-2	-jeden	-jeden	-2	-jeden	0	0

Zobrazení

Jako integrál

Pomocí produktu Euler to dostaneme

\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\ mu(n)}{n^s},

kde je Riemann Zeta funkce a součin je převzat všechna prvočísla p . Potom pomocí Dirichletovy řady na pravé straně s Perronovým vzorcem získáme: $\zeta (s)$

\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x),

kde C je uzavřená křivka obklopující všechny kořeny $\zeta(s).$

K invertování se používá Mellinova transformace

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,

který je zachován na . $\Re(s)>1$

Z předpokladu, že existují pouze nenásobné netriviální kořeny , získáme „přesný vzorec“ pomocí věty o zbytku : $\zeta (\rho )$

\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho)) {\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n }}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}.

Weyl navrhl, že Mertensova funkce splňuje přibližnou funkcionálně-diferenciální rovnici

\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac {x}{t+1}\right) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),

kde je Heavisideova funkce , jsou Bernoulliho čísla a všechny deriváty s ohledem na t jsou vypočítány v . $H(x)$ ${\displaystyle B_{2r))$ $t=0$

Titchmarsh ( 1960 ) dokázal následující vzorec zahrnující součet s Möbiovou funkcí a nulami Riemannovy zeta funkce ve tvaru

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)} {\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n)) {(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,

kde t prochází všemi imaginárními částmi netriviálních nul a jsou spojeny Fourierovou transformací, takže $(g,h)$

\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du.

Jako součet za Fareyho sekvenci

Další vzorec pro funkci Mertens

M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi ia},

kde je Fareyova posloupnost řádu n . $\mathcal{F}_n$

Tento vzorec je použit při důkazu věty Franela Landaua [2] .

Jako determinant

$M(n)$ se rovná determinantu (0,1) -Redhefferovy matice řádu , ve které tehdy a jen tehdy nebo . $n$ $a_{ij}=1$ $j=1$ $i\střed j$

Redhefferova matice vzniká při řešení následující soustavy lineárních rovnic:

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1 \\ x_2 + x_4 + \dots + x_{2[n/2]} = 1 \\ x_3 + x_6 + \dots + x_{3[n/ 3]} = 1 \\ \tečky \\ \sum\limits_{k\leqslant n,\,d|k}x_k = 1 \\ \tečky\\ \end{cases}$

Matice soustavy má trojúhelníkový tvar, na hlavní diagonále má jedničky, proto je determinant soustavy roven jedné a řešení soustavy existuje a je jedinečné.

Řešením soustavy jsou čísla díky charakteristické vlastnosti Mertensovy funkce: $x_1 = M(n),\,x_2 = M(n/2),\,x_3 = M(n/3),\,\tečky,\,x_k = M(n/k),\,\tečky, \,x_n = M(n/n) = 1,$ $\sum\limits_{k\leqslant x} M(x/k) = 1$

Řešením systému podle Cramerova pravidla a s přihlédnutím k tomu, že determinant systému je roven 1, dostaneme, že se rovná determinantu matice získané ze systémové matice nahrazením prvního sloupce sloupcem jednotek a toto je Redhefferova matice řádu . $x_{1}$ $M(n)$ $n$

Výpočet

Mertensova funkce byla vypočtena pro rostoucí rozsahy n .

osoba	rok	omezit
Mertensová	1897	10 4
von Sterneck	1897	1,5⋅10 5
von Sterneck	1901	5⋅10 5
von Sterneck	1912	5⋅10 6
Neubauer	1963	10 8
Cohen a šaty	1979	7,8⋅10 9
Šaty	1993	10 12
Lyoen a van de Lune	1994	10 13
Kotnik a van de Lune	2003	10 14

Mertensova funkce pro všechna celá čísla nepřesahující N lze vypočítat v čase . Existuje základní algoritmus, který počítá izolovanou hodnotu v čase . $O(N^{1+\varepsilon })$ $M(N)$ $O(N^{2/3+\varepsilon })$

Aplikace

Gelfond ve svém elementárním důkazu věty o rozdělení prvočísel dokazuje a využívá skutečnost, která vyplývá z . [jeden] $M(x)=o(x)$ $\pi(x) = \frac{x}{\ln{x}} + o\left({\frac{x}{\ln{x}}}\vpravo)$

Poznámky

↑ 1 2 A. O. Gelfand, Yu. V. Linnik. Elementární metody v analytické teorii čísel. - Fizmatgiz, 1962.
↑ Edwards, Ch. 12.2

Literatura

E. K. Titchmarsh . Teorie Riemannovy zeta funkce. — IL, 1953.

Viz také

Perronův vzorec

Odkazy

Edwards, HaroldeRiemannova funkce Zeta (neurčitá) . - Mineola, New York: Dover, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
F. Mertens, "Uber eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik- Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106 , (1897) 761–830.
A.M. Odlyzko a Herman te Riele , „ Disproof of the Mertens Conjecture “, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357 , (1985), str. 138–160.
Weisstein, Eric W. Mertens fungují (v angličtině) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
OEIS A002321, viz sekce REFERENCE a ODKAZY
Deleglise, M. a Rivat, J. "Computing the Summation of the Mobius Function." experiment. Matematika. 5, 291-295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447