Celočíselná funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. července 2017; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Celá funkce je funkce, která je pravidelná v celé komplexní rovině . Typickým příkladem celé funkce je polynom nebo exponent , stejně jako součty, součiny a superpozice těchto funkcí. Taylorova řada celé funkce konverguje v celé rovině komplexní proměnné. Logaritmus , druhá odmocnina nejsou celočíselné funkce.

Všimněte si, že celá funkce může mít singularitu (včetně dokonce základní singularity ) v nekonečnu. Jak vyplývá z Liouvilleovy věty , funkce, která nemá singulární body v celé rozšířené komplexní rovině, musí být konstantní (tuto vlastnost lze elegantním způsobem použít k prokázání základní věty algebry ).

Celá funkce, která má pól v nekonečnu , musí být polynom. Všechny celé funkce, které nejsou polynomy (zejména identicky konstantní), tedy mají v podstatě singulární bod v nekonečnu. Takové funkce se nazývají celé transcendentální funkce.

Picardův malý teorém významně posiluje Liouvilleův teorém: celá funkce, která není identicky konstantní, nabývá všech komplexních hodnot, možná kromě jedné. Příkladem je exponenciální funkce, která bere jako hodnoty všechna komplexní čísla kromě nuly.

J. Littlewood v jedné ze svých knih označuje funkci Weierstrass sigma jako „typický“ příklad celé funkce.

Případ několika komplexních proměnných

Celá funkce může být zvažována v . nechť je multiindex , $\mathbb {C} ^{n}$ $k$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$

Pojem konvergence řad

$\sum _{|k|=0}^{\infty }a_{k}z^{k}(*)$

závisí na metodě výčtu členů, proto, když mluvíme o konvergenci této řady, máme na mysli absolutní konvergenci : $\sum _{|k|=0}^{\infty }|a_{k}||z^{k}|<\infty$

Pokud tedy řada (*) konverguje v , pak se funkce reprezentovaná touto řadou nazývá celá. $\mathbb {C} ^{n}$

Rozklad na nekonečný součin

Stejně jako na meromorfní funkce lze pohlížet jako na zobecnění racionálních zlomků, lze na celé funkce pohlížet jako na zobecnění polynomů. Zejména, pokud pro meromorfní funkce lze zobecnit rozklad na jednoduché zlomky ( Mittag-Lefflerova věta o rozkladu meromorfní funkce ), pak pro celé funkce existuje zobecnění faktorizace - Weierstrassova věta o celých funkcích .

Prostor celých funkcí

Všechny celé funkce tvoří lineární prostor . Prostor celých funkcí se označuje jako (od slova celý ) a pro případ . $E$ $E_{n}$ ${\displaystyle C^{n))$

(V novější literatuře se označuje prostor celých funkcí $H$ )

Pořadí celé funkce

Nechat $M(r)=\max _{|z|=r}\left|f(z)\right|$

Celá funkce se nazývá celá funkce konečného řádu, pokud existuje taková, že asymptotická nerovnost (*) $f(x)$ $\mu>0$ $M(r)<\exp(r^{\mu })$

Pořadí celé funkce je číslo $f(z)$ $\rho \geq 0:$ $\rho =\inf \left\{\mu \right\}$

Pro celou funkci, která má konečný řád a rod , platí následující vztah: . Ve skutečnosti konečnost jedné z charakteristik implikuje konečnost druhé. $p$ $q$ $p\leq q\leq p+1$

Typ celé funkce

Celá funkce je konečného typu v řádu if , který $f(z)$ $\rho$ $\exists a>0$

M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho ))

Typ celé funkce při objednání je číslo : $f(z)$ $\rho$ $\sigma \geq 0$

\sigma =\inf \left\{a>0:M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho }}\right\}

z definice vyplývá, že:

\sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.

Pokud je pro daný typ nekonečný, pak říkáme, že maximální typ. $0<\rho <\infty$ $f(z)$ $f(z)$
Pokud , pak je normálního typu. $0<\sigma <\infty$ $f(z)$
Pokud , pak je minimálního typu. $\sigma=0$ $f(z)$

Celá funkce exponenciálního typu

Celá funkce řádu a normálního typu se nazývá celá funkce exponenciálního typu. $\rho=1$

Prostor e.f.e.t. často označované jako . $P$

Borel související funkce

Nechť c.f.e.t. se uvádí ve tvaru:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!)}}z^{k}

Každý c.f.e.t. funkce je přiřazena:

{\displaystyle \gamma (t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{t^{k+1))))

funkce se nazývá Borel související. Tato řada konverguje v , a na hranici je alespoň jedna singularita funkce $\gamma (z)$ $|t|>\sigma$ $\gamma (t)$