Vystavovatel

Exponent je exponenciální funkce , kde je Eulerovo číslo . $f(x)=\exp(x)=e^{x}$ $e\cca 2{,}718$

Definice

Exponenciální funkci lze definovat různými ekvivalentními způsoby. Například prostřednictvím série Taylor :

e^{x}=1+\součet _{{n=1}}^{{\infty }}{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2! }+{x^{3} \přes 3!}+{x^{4} \přes 4!}+\cdots

nebo přes limit :

e^{x}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

Zde je jakékoli komplexní číslo . $X$

Původ konceptu

Slovo vystavovatel pochází z lat. " exponere", což se překládá jako " předložit; ukázat ", což zase pochází z lat. předpony " ex-" ("před") a lat. slova " ponere" ("vložit, zařídit"); [1] Význam použití takového slova pro exponent je ten, že znaménko exponentu je "umístěno mimo" obvyklý řádek písma (mírně nad a napravo od místa, kde by měl být obrazec obvykle umístěn). $a^{x}$

Vlastnosti

$(e^{x})'=e^{x}$ a zejména exponenciála je jediným řešením diferenciální rovnice s počátečními daty . Obecná řešení homogenních diferenciálních rovnic jsou navíc vyjádřena v podmínkách exponenciály . $y'=y$ $y(0)=1$
Exponent je definován na celé reálné ose. Na něm se exponent zvyšuje všude a je přísně větší než nula.
Exponent je konvexní funkce .
Inverzní funkce k tomu je přirozený logaritmus . $(\ln x)$
Fourierova transformace exponentu je zobecněná funkce , jmenovitě Diracova delta funkce .
Laplaceova transformace exponenciály je definována v doméně . $e^{ax}$ $\operatorname {Re} (x)<a$
Derivace v nule je , takže tečna k exponentu v tomto bodě prochází pod úhlem nebo . $jeden$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ ${\frac {\pi }{4))$
Hlavní funkční vlastnost exponentu, stejně jako jakékoli exponenciální funkce: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ .
- Spojitá funkce s touto vlastností je buď shodně rovna nebo má tvar , kde je nějaká konstanta. $0$ $\exp(cx)$ $C$

$e^{x}=\jméno operátora {sh} x+\jméno operátora {ch} x$ , kde a jsou hyperbolický sinus a kosinus . $\operatorname {sh}$ $\operatorname {ch}$

Komplexní exponent

Komplexní exponent je matematická funkce daná vztahem , kde je komplexní číslo . Komplexní exponent je definován jako analytické pokračování exponentu reálné proměnné : $f(z)=e^{z}$ $z$ $f(x)=e^{x}$ $X$

Definujme formální výraz

e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}\cdot e^{{iy}}

Takto definovaný výraz na reálné ose se bude shodovat s klasickým reálným exponentem. Pro úplnou správnost konstrukce je potřeba dokázat analytičnost funkce , tedy ukázat, že expanduje do nějaké řady konvergující k této funkci. Pojďme si to ukázat: $e^{z}$ $e^{z}$

f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{{iy}}=e^{{iy}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {x^{n}}{n!}}

Konvergenci této řady lze snadno dokázat:

\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}\right|\leq \left|\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac { x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{ | x|}

Řada konverguje absolutně všude , to znamená, že konverguje obecně všude, takže součet této řady v každém konkrétním bodě určí hodnotu analytické funkce . Podle teorému o jednoznačnosti bude výsledné rozšíření jedinečné, takže v komplexní rovině je funkce všude definovaná a analytická. $f(z)=e^{z}$ $e^{z}$

Vlastnosti

Komplexní exponent je celá holomorfní funkce na celé komplexní rovině . V žádném okamžiku nezmizí.
$e^{z}$ je periodická funkce s hlavní periodou 2 π i : . Na základě periodicity je komplexní exponent nekonečný . Jako jeho oblast univalence si můžete vybrat libovolný vodorovný pás o výšce . $e^{{i\varphi }}=e^{{i(\varphi +2\pi )}}$ $2\pi$
$e^{z}$ - jediná funkce až do konstantního faktoru, jehož derivace (a podle toho i primitivní ) se shoduje s původní funkcí.
Algebraicky lze exponent komplexního argumentu definovat takto: $z=x+iy$ $e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}e^{{iy}}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ ( Eulerův vzorec ).
- Eulerova identita má zejména : $e^{i\pi }+1=0.$

Variace a zobecnění

Podobně je exponent definován pro prvek libovolné asociativní algebry . V konkrétním případě je také vyžadován důkaz, že tyto limity existují.

Maticový exponent

Exponent čtvercové matice (nebo lineární operátor ) lze formálně definovat nahrazením matice do příslušné řady:

\exp A=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {A^{k}}{k!}}.

Takto definovaná řada konverguje pro libovolný operátor s omezenou normou, protože jí dominuje řada pro exponent normy . Exponent matice je tedy vždy definován a sám je maticí. $A$ $A\colon$ $\exp\|A\|.$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

Pomocí maticového exponentu lze snadno určit tvar řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty : rovnice s počáteční podmínkou má své řešení ${\dot x}=Ax,~~~x\in {\mathbb R}^{n}$ $x(0)=x_{0}$ $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h -exponent

Zavedení -exponentu je založeno na druhém pozoruhodném limitu : $h$

e_{{h}}(x)=(1+h)^{{\frac {x}{h}}}.

Při , se získá obvyklý exponent [2] . $h\na 0$

Inverzní funkce

Inverzní funkce k exponenciální funkci je přirozený logaritmus . Určeno : $\ln x$

\ln x=\log _{{e}}x.

Viz také

Poznámky

↑ exponent (n. ) ? . (neurčitý)
↑ AI Olemskoi, SS Borysov, a, a IA Shuda. Statistické teorie pole deformované v rámci různých kalkulů

Literatura

Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. - 5. vydání, přepracované. — M.: Nauka, 1987. — 688 s.
Khaplanov M. G. Teorie funkce komplexní proměnné (krátký kurz). - 2. vydání, přepracované. - M .: Vzdělávání, 1965. - 209 s.

Odkazy

Intuitivní průvodce exponenciálními funkcemi & e | Lepší vysvětlení _