Obecná funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Zobecněná funkce nebo distribuce je matematický koncept, který zobecňuje klasické pojetí funkce . Potřeba takového zobecnění vyvstává u mnoha fyzikálních a matematických problémů.

Pojem zobecněné funkce umožňuje vyjádřit v matematicky správné formě takové idealizované pojmy, jako je hustota hmotného bodu , bodový náboj, bodový dipól , (prostorová) hustota jednoduché nebo dvojité vrstvy , intenzita okamžitého zdroje, atd.

Na druhou stranu koncept zobecněné funkce odráží skutečnost, že je skutečně nemožné měřit hodnotu fyzikální veličiny v bodě, ale pouze její průměrné hodnoty lze měřit v malých sousedstvích daného bodu. Technika zobecněných funkcí tedy slouží jako vhodný a adekvátní aparát pro popis rozdělení různých fyzikálních veličin. Matematika na počátku 20. století neměla potřebné striktní formalismy pro práci s novou třídou závislostí veličin objevenou ve fyzice.

Významný příspěvek k formování nového matematického přístupu k pojmu funkce ve fyzice patří Η. M. Günther , který již v roce 1916 navrhl uvažovat o odpovídajících množinových funkcích namísto bodových charakteristik typu hustoty [1] a pokusil se na tomto základě přehodnotit koncept řešení rovnice matematické fyziky. Nicméně N.M. Günther tyto myšlenky nespojoval se vznikající funkční analýzou a kvantovou mechanikou. Zásadní myšlenky založené na využití prostorů konečných funkcí a zásadně nový koncept zobecněné derivace formuloval v roce 1935 S. L. Sobolev [2] . O deset let později k podobným myšlenkám přišel sám vynikající francouzský matematik L. Schwartz , který čerpal z tehdy vyvinuté teorie lokálně konvexních prostorů a zkonstruoval Fourierovu transformaci zobecněných funkcí [3] . Sobolev a Schwartz jsou tvůrci teorie rozdělení – zobecněných funkcí. Zobecněné funkce empiricky použil Dirac ve svém výzkumu kvantové mechaniky [4] [5] .

Následně byla teorie zobecněných funkcí intenzivně rozvíjena mnoha matematiky a teoretickými fyziky, především v souvislosti s potřebami teoretické a matematické fyziky a teorie diferenciálních rovnic [6] .

Definice

Formálně je zobecněná funkce definována jako lineární spojitý funkcionál nad tím či oním vektorovým prostorem dostatečně „dobrých funkcí“ (tzv. základní funkce ): [7] . $F$ $\left(f,\varphi \right)$ $\varphi$ $f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )$

Podmínka linearity: . $\left(f,\alpha _{{1}}\varphi _{{1}}+\alpha _{{2}}\varphi _{{2}}\right)=\alpha _{{1}} \left(f,\varphi _{{1}}\right)+\alpha _{{2}}\left(f,\varphi _{{2}}\right)$

Podmínka spojitosti: if , then . $\varphi _{{\nu }}\rightarrow 0$ $\left(f,\varphi _{{\nu }}\right)\rightarrow 0$

Důležitým příkladem základního prostoru je prostor — sbírka konečných funkcí na , vybavených pro něj přirozenou topologií: posloupnost funkcí z konverguje, pokud jejich podpěry patří k pevné kouli a ony v ní konvergují. $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$

Duální prostor k je prostor zobecněných funkcí . $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$

Konvergence posloupnosti zobecněných funkcí od je definována jako slabá konvergence funkcionálů od , tedy do znamená , že pro libovolný . $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{n}\to f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$

Aby byl lineární funkcionál zobecněnou funkcí, tj. je nutné a postačující, aby pro jakoukoli omezenou otevřenou množinu existovala čísla a taková, $F$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $K$ $m$

|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{{C^{m}}}

pro každého s dopravcem v . $\varphi$ $\Omega$

Jestliže číslo v nerovnosti může být vybráno nezávisle na , pak zobecněná funkce má konečné pořadí; nejméně takový se nazývá řád . $m$ $\Omega$ $F$ $m$ $F$

Nejjednoduššími příklady zobecněných funkcí jsou funkcionály generované lokálně sčítatelnými funkcemi

(f,\;\varphi )=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n}}}f\varphi .

Zobecněné funkce definované lokálně sčítatelnými funkcemi podle tohoto vzorce se nazývají regulární ; zbytek zobecněných funkcí se nazývá singulární . $f(x)$

Zobecněné funkce, obecně řečeno, nemají hodnoty v jednotlivých bodech. Přesto můžeme mluvit o koincidenci zobecněné funkce s lokálně sčítatelnou funkcí na otevřené množině : zobecněná funkce z se shoduje s lokálně sčítatelnou funkcí ve funkci , pokud $F$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $\Omega$ $f_{0}(x)$

(f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )

pro každého s dopravcem v . Konkrétně v , získáme definici, že zobecněná funkce zmizí uvnitř . $\varphi$ $\Omega$ $f_{0}=0$ $F$ $\Omega$

Množina bodů, v jejichž sousedství zobecněná funkce nezaniká, se nazývá podpora zobecněné funkce a značí se . Jestliže je kompaktní , pak se zobecněná funkce nazývá konečná . $F$ $\operatorname {supp} f$ $\operatorname {supp} f$ $F$

Příklady

Jakákoli lokálně konečná míra definuje zobecněnou funkci $\mu$ $f_{\mu }$

(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).

Zejména,

Příkladem singulární zobecněné funkce v je Diracova funkce $\mathbb {R} ^{n}$ $\delta$

(\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).

Popisuje hustotu hmoty 1 koncentrované v bodě . - funkce má pořadí 1.

x=0

\delta

Funkce povrchu . Dovolit být po částech hladký povrch a být spojitá funkce na . Zobecněná funkce je definována rovností $\delta$ $S$ $\lambda$ $S$ $f_{{S,\;\lambda }}$

(f_{{S,\;\lambda }},\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .

Navíc se jedná o singulární zobecněnou funkci. Tato zobecněná funkce popisuje prostorovou hustotu hmot nebo nábojů soustředěných na povrchu s povrchovou hustotou (hustota jednoduché vrstvy).

f_{{S,\;\lambda }}

S

\lambda

Zobecněná funkce definovaná rovností $\rho \in D'(\mathbb{R} )$

(\rho ,\;\varphi )=\název operátora {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x))\ ,dx

(pro hladké konečné funkce lze tomuto integrálu dát význam) funkce je singulární a její řád je roven 2, ale na otevřené množině je regulární a shoduje se s .

\rho

\mathbb{R} \zpětné lomítko \{0\}

{\frac {1}{x))

Operace

Lineární operace se zobecněnými funkcemi jsou zavedeny jako rozšíření odpovídajících operací se základními funkcemi.

Změna proměnných

Nechť a je hladká změna proměnných. Zobecněná funkce je definována rovností $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $A:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}$ $f\circ A$

(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{{-1}}J(A)),

kde označuje jakobián . Tento vzorec lze aplikovat zejména na lineární zobrazení , umožňuje definovat translačně invariantní, sféricky symetrické, středově symetrické, homogenní, periodické, Lorentz-invariantní atd. zobecněné funkce. $J(A)$ $A$ $A$

Umělecké dílo

Nejčastěji se určuje součin zobecněných funkcí a běžných funkcí, přičemž součin zobecněných funkcí zůstává nedefinovaný.

Nechte a . Produkt je definován rovností $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $a\in C^{\infty } (\mathbb{R} ^{n})$ $af$

(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).

Například . _ Pro běžné lokálně sčítatelné funkce se součin shoduje s obvyklým násobením funkcí a . $a\delta =a(0)\delta$ $x\rho=1$ $af$ $f(x)$ $sekera)$

Tato operace s produktem však obecně řečeno neumožňuje rozšíření na žádné zobecněné funkce tak, aby byla asociativní a komutativní .

Ve skutečnosti bychom jinak dostali rozpor:

(x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,

(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .

Je však možné definovat násobení libovolných zobecněných funkcí, pokud odstraníme poměrně přísný požadavek, aby se omezení této operace na množinu spojitých funkcí shodovalo s obvyklým součinem. Konkrétně Yu M. Shirokov zkonstruoval nekomutativní algebru zobecněných funkcí [8] [9] . Dnes je v západní Evropě a Americe velmi populární (viz např. seznam citovaných prací v [10] ) teorie zobecněných Colombových funkcí (jejíž jedním z primárních zdrojů je kniha [11] , pro počáteční seznámení s mnohem častěji v praxi využívanou tzv.. n. "speciální" Colombovou algebrou, viz odstavec 8.5 [12] ). V rámci této teorie jsou zobecněné funkce třídami ekvivalence nějaké podílové algebry. Výhodou Colombo algebry je, že je jak asociativní, tak komutativní. Násobení zobecněných Colombových funkcí se shoduje s obvyklým násobením, je-li omezeno na množinu všech hladkých (tj. nekonečně spojitě diferencovatelných) funkcí, zatímco nekonzistence s násobením spojitých (nikoli však hladkých) funkcí je vyřešena zavedením pojmu asociace (méně rigorózní než pojem ekvivalence). Také uvažované násobení dokonale souhlasí se standardními operacemi klasické analýzy (např. diferenciace).

Diferenciace

Nechte _ Zobecněná (slabá) derivace zobecněné funkce je definována rovností $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ ${\frac {\částečné f}{\částečné x_{i))}$ $F$

\left({\frac {\částečné f}{\částečné x_{i))},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\částečné \varphi }{\částečné x_ {i}}}\vpravo).

Protože operace je lineární a spojitá od do , funkcionál definovaný pravou stranou rovnosti je zobecněnou funkcí. $\varphi \mapsto {\frac {\částečné \varphi }{\částečné x_{i))}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$

Vlastnosti

Prostor je úplný : pokud je posloupnost zobecněných funkcí z taková, že pro jakoukoli funkci číselná posloupnost konverguje, pak funkcionál $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{i}$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{i},\;\varphi )$

(f,\;\varphi )=\lim _{{i\to \infty }}(f_{i},\;\varphi )

patří k .

D'(\mathbb{R} ^{n})

Každý z je slabým limitem funkcí z . Tato vlastnost je někdy brána jako výchozí bod pro definici zobecněné funkce, z úplnosti prostoru zobecněných funkcí to vede k ekvivalentní definici. $F$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$
Jakákoli zobecněná funkce od je nekonečně diferencovatelná (ve zobecněném smyslu). $D'(\mathbb{R} ^{n})$
Diferenciace nezvyšuje podporu zobecněné funkce.
Pro zobecněné funkce platí Leibnizův vzorec pro diferenciaci součinu , kde . $af$ $a\in C^{\infty } (\mathbb{R} ^{n})$
Jakákoli zobecněná funkce z nebo je nějakou parciální derivací spojité funkce v . $F$ $S'(\mathbb{R} ^{n})$ $E'(\mathbb{R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$
Pro jakoukoli zobecněnou funkci řádu s podporou v bodě 0 existuje jedinečná reprezentace ve formě lineární kombinace parciálních derivací v nule s řádem menším nebo rovným . $F$ $N$ $(f,\;\varphi )$ $\varphi$ $N$

Příklady

Delta funkce se získá výpočtem Fourierova integrálu konstanty:

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{ipx}}\,dp=2\pi \delta (x).

Poznámky

↑ Sobolev S.L., Smirnov V.I. Nikolaj Maksimovič Gunther. Bibliografický esej. - M .: GITTL , 1953. - S. 393-405 .
↑ Sobolev S.L. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les rovnic lineares hyperboliques normales // Matematická sbírka, č. 1 (43)b 1936b 39-72
↑ Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, Paříž, 1950-1951
↑ Lutzen J. Prehistorie teorie distribuce. - New York atd.: Springer Verlag , 1982. - 232 s.
↑ Dirac, P. A. M. Principy kvantové mechaniky. - M.: Nauka, 1979. - S. 480.
↑ I.M. Gelfand, G.E. Shilov. Zobecněné funkce a působení na ně (neopr.) .
↑ Shilov, G. E. Matematická analýza. Druhý speciální kurz. — M.: Nauka, 1965. — S. 16.
↑ Yu.M. Shirokov, Algebra jednorozměrných zobecněných funkcí. — Teoretická a matematická fyzika . - 1979. - Ročník 39. - č. 3. - s. 291-301.
↑ G. K. Tolokonnikov, Yu. M. Shirokov, Asociativní algebra zobecněných funkcí, uzavřená pod derivací a primitivní derivací. — Teoretická a matematická fyzika . - 1981. - Ročník 46. - č. 3. - s. 305-309., G. K. Tolokonnikov. O algebrách Yu. M. Shirokov. I - Teoretická a matematická fyzika . - 1982. - Ročník 51. - č. 3. - s. 366-375.
↑ Colombeau JF Nelineární zobecněné funkce: jejich původ, určitý vývoj a nedávné pokroky. Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences. −2013. - V. 7. - Ne. 2. - S. 201-239.
↑ Colombeau JF Elementary Úvod do nových zobecněných funkcí. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Colombeau JF Násobení rozdělení. Poznámky k přednášce z matematiky. 1532. - Berlín-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. - 195 s. — ISBN 3-540-56288-5 .

Viz také

Kontroverze smyčců