Teorém centrálního limitu

Centrální limitní teorémy (CLT) jsou třídou teorémů v teorii pravděpodobnosti , které uvádějí, že součet dostatečně velkého počtu slabě závislých náhodných proměnných majících přibližně stejné měřítko (žádný z pojmů nedominuje, nemá určující příspěvek k součtu ), má distribuci blízkou normálnímu .

Protože mnoho náhodných proměnných v aplikacích vzniká pod vlivem několika slabě závislých náhodných faktorů, je jejich rozložení považováno za normální. V tomto případě je třeba dodržet podmínku, že žádný z faktorů není dominantní. Centrální limitní teorémy v těchto případech opravňují použití normálního rozdělení.

Klasické CLT

Nechť existuje nekonečná posloupnost nezávislých identicky rozdělených náhodných proměnných s konečným matematickým očekáváním a rozptylem . Nechte také $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

S_{n}=\součet \limits _{i=1}^{n}X_{i}

Pak

{\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt n))}\to N(0,1)

distribucí na ,

n\to\infty

kde je normální rozdělení s nulovým průměrem a směrodatnou odchylkou rovnou jedné. Definování výběrového průměru prvních hodnot jako $N(0,1)$ $n$

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

výsledek centrální limitní věty můžeme přepsat do následujícího tvaru:

{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)

distribucí na .

n\to\infty

Rychlost konvergence lze odhadnout pomocí Berry-Esseenovy nerovnosti .

Poznámky

Neformálně řečeno, klasická centrální limitní věta říká, že součet nezávislých identicky rozdělených náhodných proměnných má distribuci blízko . Ekvivalentně má distribuci blízkou . $n$ $N(n\mu ,n\sigma ^{2})$ ${\bar {X}}_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$
Protože distribuční funkce standardního normálního rozdělení je spojitá , konvergence k tomuto rozdělení je ekvivalentní bodové konvergenci distribučních funkcí k distribuční funkci standardního normálního rozdělení. Nastavením získáme , kde je distribuční funkce standardního normálního rozdělení. $Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n))))$ $F_{{Z_{n}}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in {\mathbb {R}}$ $\Phi (x)$
Centrální limitní věta v klasické formulaci je dokázána metodou charakteristických funkcí ( Levyho věta o kontinuitě ).
Obecně řečeno, konvergence hustot nevyplývá z konvergence distribučních funkcí . Nicméně v tomto klasickém případě tomu tak je.

Místní CLT

Za předpokladů klasické formulace navíc předpokládejme, že rozdělení náhodných veličin je absolutně spojité, tedy má hustotu. Potom je distribuce také absolutně kontinuální a navíc $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$ $Z_{n}$

f_{{Z_{n}}}(x)\to {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{{-{\frac {x^{2}}{ 2}}}}

v ,

n\to\infty

kde je hustota náhodné veličiny a na pravé straně je hustota standardního normálního rozdělení. $f_{{Z_{n}}}(x)$ $Z_{n}$

Zobecnění

Výsledek klasické centrální limitní věty platí pro situace mnohem obecnější než úplná nezávislost a rovnoměrné rozdělení.

CPT Lindeberg

Nechť jsou nezávislé náhodné proměnné definovány na stejném pravděpodobnostním prostoru a mají konečná matematická očekávání a rozptyly : . $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ ${\mathbb {E}}[X_{i}]=\mu _{i},\;{\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma _{i}^{2}$

Nechte _ $S_{n}=\součet \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Pak . ${\mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=\součet \limits _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\;{\mathrm {D} }[S_{n}]=s_{n}^{2}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}$

A budiž splněna Lindebergova podmínka :

\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{{n\to \infty }}\součet \limits _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[{ \frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,{\mathbf {1}}_{{\{|X_{i }-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}\right]=0,

kde funkce je indikátor. ${\mathbf {1}}_{{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}$

Pak

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\to N(0,1)

distribucí na .

n\to\infty

TsPT Ljapunov

Nechť jsou splněny základní předpoklady Lindebergova CLT. Nechť náhodné proměnné mají konečný třetí moment . Pak sekvence $\{X_{i}\}$

r_{n}^{3}=\sum _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3} \že jo]

Pokud limit

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0

( Ljapunovův stav ),

pak

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\to N(0,1)

distribucí na .

n\to\infty

CLT pro martingaly

Nechť je proces martingal s ohraničenými přírůstky. Zejména předpokládejme, že $(X_{n})_{{n\in {\mathbb {N))))$

{\mathbb {E}}\left[X_{{n+1}}-X_{n}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]=0,\;n\in {\ mathbb {N}},\;X_{0}\ekviv 0,

a přírůstky jsou rovnoměrně ohraničené, tzn

\exists C>0\,\forall n\in {\mathbb {N}}\;|X_{{n+1}}-X_{n}|\leq C

b.s.

Zavádíme náhodné procesy a následovně: $\sigma _{n}^{2}$ $\tau_n$

\sigma _{n}^{2}={\mathbb {E}}\left[(X_{{n+1}}-X_{n})^{2}\mid X_{1},\ldots, X_{n}\right]

\tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\součet _{{i=1}}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right. \že jo\}

Pak

{\frac {X_{{\tau _{n}}}}{{\sqrt {n}}}}\to N(0,1)

distribucí na .

n\to\infty

CLT pro náhodné vektory

Dovolit být posloupnost nezávislých a rovnoměrně distribuovaných náhodných vektorů, z nichž každý má střední a nesingulární kovarianční matici . Označme vektorem dílčích součtů. Pak pro , existuje slabá konvergence distribucí vektorů ${\vec {X_{1}}},\ldots ,{\vec {X_{n}}},\ldots$ $E{\vec {X_{1}}}={\vec {a}}$ $\Sigma$ ${\displaystyle S_{n}={\vec {X_{1))}+\ldots +{\vec {X_{n))))$ $n\to\infty$

${\vec {\eta _{n))}={\frac {S_{n}-na}{\sqrt {n))}\xrightarrow {slabý} {\vec {\eta ))$ , kde má distribuci . ${\vec {\eta ))$ $N({{\vec {0)),\Sigma })$

Viz také

Poznámky

↑ Rouaud, Mathieu. Pravděpodobnost, statistika a odhad (neurčeno) . - 2013. - S. 10.

Odkazy

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Příklady použití

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 122653738 GND : 4067618-3 J9U : 987007284968305171 LCCN : sh85021905