Řetězový komplex

Řetězový komplex a duální pojetí cochainového komplexu jsou základními pojmy homologické algebry .

Tyto koncepty byly původně použity v algebraické topologii ke studiu topologických prostorů. V homologické algebře se s nimi zachází jako s abstraktními algebraickými strukturami, bez ohledu na nějaký topologický prostor .

U řetězcových komplexů jsou definovány jejich homologní skupiny (kohomologické skupiny pro kořetězcové komplexy). Komplexy řetězců mohou být také definovány v libovolné abelovské kategorii .

Definice

Řetězový komplex je posloupnost modulů a homomorfismů , nazývaných hraniční operátory nebo diferenciály : $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ $\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}$

\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots

takové, že . Prvky se nazývají -dimenzionální řetězce , prvky jádro - dimenzionální cykly , prvky hranic obrazu - dimenzi . Z toho vyplývá, že ( polopřesnost ). Pokud navíc , pak se takový komplex nazývá přesný . $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $K_n$ $n$ $Z_{n}K=\název operátora {Ker} \partial _{n}$ $n$ $B_{n}K=\jméno operátora {Im} \partial _{n+1}$ $n$ $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $B_n K \podmnožina Z_n K$ $B_n K = Z_n K$

Řetězové komplexy modulů přes pevný kruh tvoří kategorii s morfismy , kde je posloupnost morfismů taková, že komutuje s diferenciálem, tedy . $\varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L })$ $\varphi_{\bullet}$ $\varphi_{n}\dvojtečka K_n \to L_n$ $\varphi_{n}$ $\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}$

Řetězový komplex lze také definovat jako odstupňovaný modul vybavený diferenciálem stupně -1. $M_{*}$ $\partial :M_{*}\to M_{*}$

Je také možné definovat komplexy sestávající z objektů libovolné abelovské kategorie , jako je kategorie snopů abelovských skupin. [jeden]

Cochain complex

Cochainový komplex je koncept duální k řetězovému komplexu. Je definována jako posloupnost modulů a homomorfismů takových, že $(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})$ $d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}$

d^{n+1} d^n = 0

Cochainový komplex, stejně jako řetězový komplex, je polopřesná sekvence.

\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d ^{n+1}}

Vlastnosti a koncepty spojené s cochainovými komplexy jsou duální s analogickými koncepty a vlastnostmi řetězcových komplexů.

Homologie a kohomologie

Skupina n-rozměrné homologie řetězcového komplexu je mírou jeho přesnosti v n-tém členu a je definována jako $H_n$ $(K_\bullet, \partial_\bullet)$

H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}

. Pro přesný komplex

H_n=0

N-rozměrná kohomologická skupina cochainového komplexu je definována podobně:

H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1 }

Homomorfismy řetězcových komplexů

Homomorfismus řetězcových komplexů je takové zobrazení, že následující diagram se ukáže jako komutativní: $(A^\bullet , \delta^\bullet)$ $(B^\bullet, \gamma^\bullet)$ $f\dvojtečka A_n \to B_n, \pro všechna n\v \N,$

Homomorfismus řetězcových komplexů vyvolává homomorfismus jejich homologních skupin.

Tenzorový součin komplexů a vnitřní Hom

Jsou-li V = V a W = W řetězové komplexy, pak jejich tenzorový součin je řetězový komplex, jehož prvky stupně i mají tvar ${}_{*}$ ${}_{*}$ $V\otimes W$

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k},

a diferenciál je dán vzorcem

\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b,

kde a a b jsou libovolné homogenní prvky V a W a označují stupeň prvku a . $\left|a\right|$

Tento tenzorový produkt umožňuje vybavit kategorii řetězcových komplexů K - modulů (pro libovolný komutativní kruh K ) strukturou symetrické monoidní kategorie . Operace uzlování je dána na rozložitelných tenzorech vzorcem ${\text{Ch}}_{K}$

a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a

Znaménko je nezbytné pro to, aby operace uzlování byla homomorfismem řetězcových komplexů. Navíc v kategorii řetězcových komplexů K -modulů existuje vnitřní Hom : pro řetězcové komplexy V a W je vnitřní Hom pro V a W , označovaný hom( V , W ), řetězový komplex, jehož prvky stupeň n mají tvar , a diferenciál daný vzorcem $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$

(\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))

Existuje přirozený izomorfismus

{\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))

Homotopie řetězce

Homotopie řetězce mezi homomorfismy komplexů a je takový homomorfismus komplexů řetězců a stupně +1 (tj. ), pro který $D\dvojtečka X \to Y$ $F$ $G$ $(X^\odrážka, \částečná^\odrážka)$ $(Y^\bullet, \delta^\bullet)$ $D_k \dvojtečka X_k \to Y_{k+1}$

\delta D + D \partial = g - f

\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k

Pro cochainové komplexy má odpovídající komutativní diagram tvar

Poznámky

↑ Komplexní // Matematická encyklopedie .

Literatura

Grothendieck A. K některým otázkám homologické algebry, - M .: 1961. (B-ka sbírky "Matematika").
Dold A. Přednášky o algebraické topologii, - M. : Mir, 1976.
Cartan A. , Eilenberg S. Homologická algebra, - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1960.
McLane S. Homology, - M .: Mir, 1966.