Válcový souřadnicový systém

Válcový souřadnicový systém je trojrozměrný souřadnicový systém , který je rozšířením polárního souřadnicového systému přidáním třetí souřadnice (obvykle označované ), která udává výšku bodu nad rovinou. $z$

Bod je uveden jako . Z hlediska pravoúhlého souřadnicového systému : $P$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

$\rho \geqslant 0$ je vzdálenost od do , ortogonální průmět bodu do roviny . Nebo stejná jako vzdálenost od k ose . $Ó$ $P'$ $P$ $XY$ $P$ $Z$
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ je úhel mezi osou a segmentem . $X$ $OP'$
$z$ se rovná aplikaci tečky . $P$

Při použití ve fyzikálních vědách a inženýrství mezinárodní norma ISO 31-11 doporučuje použití notace . $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Válcové souřadnice jsou vhodné při analýze povrchů, které jsou symetrické kolem nějaké osy, pokud je osa brána jako osa symetrie. Například nekonečně dlouhý kulatý válec (válcová plocha) v pravoúhlých souřadnicích má rovnici a ve válcových souřadnicích má velmi jednoduchou rovnici . Odtud pochází název „cylindrický“ pro tento souřadnicový systém. $Z$ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ $\rho=c$

Přechod do jiných souřadnicových systémů

Protože válcový souřadnicový systém je pouze jedním z mnoha trojrozměrných souřadnicových systémů, existují zákony pro transformaci souřadnic mezi válcovým souřadnicovým systémem a jinými systémy.

Kartézský souřadnicový systém

Orty válcového souřadnicového systému souvisejí s karteziánskými orty následujícími vztahy:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_ {y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}$

a vytvořte pravou trojici:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\ {\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{ \varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}$

Inverzní vztahy mají tvar:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_ {\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\ varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}$

Zákon transformace souřadnic z válcových na kartézské:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases))

Zákon transformace souřadnic z kartézských na válcové:

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi ={\mathrm {arctg}}\left({\dfrac {y}{x }}\right),\\z=z.\end{cases}}

Jakobián je:

J=\rho .

Diferenciální charakteristiky

Válcové souřadnice jsou ortogonální, takže metrický tenzor má v nich diagonální tvar:

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{{ij}}={\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Diferenciální čtverec délky křivky

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Kulhavé koeficienty mají tvar:

H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.

Christoffelovy symboly : ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\))$

\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\ rho }}.

Zbytek je nula.

Diferenciální operátory

Gradient ve cylindrickém souřadnicovém systému:

{\mathrm {grad}}\,\psi ={\vec e}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec e}_{\varphi }{ \frac {1}{\rho }}{\frac {\částečné \psi }{\částečné \varphi }}+{\vec e}_{z}{\frac {\částečné \psi }{\částečné z} }.

Divergence ve cylindrickém souřadnicovém systému:

{\mathrm {div}}\,{\vec a}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\částečné \rho a_{\rho }}{\částečné \rho }}+{\ frac {1}{\rho }}{\frac {\částečné a_{\varphi }}{\částečné \varphi }}+{\frac {\částečné a_{z}}{\částečné z}}.

Rotor ve válcovém souřadném systému:

{\mathrm {rot}}\,{\vec a}={\mathrm {det}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{\rho }& {\vec e}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\ frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{ pmatrix}}={\vec e}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\částečné a_{\varphi }}{\částečné z}}\pravé)+{\vec e}_{\varphi }\left({\frac {\částečné a_{\rho }}{\částečné z}} -{\frac {\částečný a_{z}}{\částečný \rho }}\pravý)+{\vec e}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac { \částečné \rho a_{\varphi }}{\částečné \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\částečné a_{\rho }}{\částečné \varphi }}\right ).

Výrazy pro poloměrový vektor , rychlost a zrychlení ve válcových souřadnicích

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\dot {r}}(t)={\tečka {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\tečka {\varphi }}{\vec {e ))_{\varphi }+{\tečka {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\tečka {\rho }}{\tečka {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z }}{\vec {e}}_{z}$

Viz také

Literatura

Khalilov V.R., Chizhov G.A., Dynamika klasických systémů: Proc. příspěvek. - M .: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1993. - 352 s.

Souřadnicové systémy
Název souřadnic	Úsečka Ordinovat Nášivka
Typy souřadnicových systémů	Přímočarý souřadnicový systém Křivočarý souřadnicový systém
2D souřadnice	Dvojúhelníkové souřadnice Bicentrické souřadnice Hyperbolické souřadnice Polární souřadnice Bipolární souřadnice Parabolické souřadnice Eliptické souřadnice Tetracyklické souřadnice Trilineární souřadnice
3D souřadnice	Válcové souřadnice Sférické souřadnice Bisférické souřadnice Toroidní souřadnice Válcové parabolické souřadnice Bicylindrické souřadnice Elipsoidní souřadnice Kuželové souřadnice Pentasférické souřadnice Dipolární souřadnicový systém
$n$ -rozměrné souřadnice	Kartézské souřadnice Afinní souřadnice Projektivní souřadnice Plückerovy souřadnice barycentrické souřadnice
Fyzické souřadnice	Rindlerovy souřadnice Rodné souřadnice Nebeský souřadnicový systém Zeměpisné souřadnice Hlavní ortodromický souřadnicový systém
Související definice	Souřadnicová metoda Původ Souřadnicová osa Vektor Orth referenční systém Benchmark Kulhavé koeficienty Metrický tenzor