Ejzenštejnovo číslo

Eisensteinovo číslo ( Eulerovo číslo [1] ) je komplexní číslo ve tvaru:

z=a+b\omega

kde a a b jsou celá čísla a

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

je kubický nereálný kořen jednoty . Eisensteinova celá čísla tvoří trojúhelníkovou mřížku v komplexní rovině . (Podobně jako Gaussova celá čísla tvoří čtvercovou mřížku.)

Systematicky zkoumal německý matematik Ferdinand Eisenstein .

Vlastnosti

Množina Eisensteinových celých čísel je komutativní kruh . Tento prstenec je obsažen v poli algebraických čísel Q (ω), kruhovém poli třetího stupně.

Číslo ω splňuje rovnici a je algebraickým celým číslem . Proto jsou všechna Eisensteinova celá čísla algebraická celá čísla . $\omega ^{2}+\omega +1=0.$

Můžete také explicitně zapsat polynom , jehož kořen je z = a + b ω.

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

Součin dvou Ejzenštejnových čísel a dávek $a+b\omega$ $c+d\omega$

(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .

Normou Eisensteinova celého čísla je druhá mocnina absolutní hodnoty

|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.

Norma Eisensteinova celého čísla je tedy vždy přirozené celé číslo. Protože

4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},

norma nenulového Eisensteinova celého čísla je vždy kladná.

Skupina jednotek kruhu Eisensteinových čísel je cyklická skupina tvořená šesti kořeny jednoty na komplexní rovině. A to

{±1, ±ω, ±ω 2 }

A to jsou Eisensteinova celá čísla jednotkové normy.

Ejzenštejnova prvočísla

Jestliže x a y jsou Eisensteinova celá čísla, říkáme, že x dělí y , pokud existuje nějaké Eisensteinovo celé číslo z takové, že y = z x .

Toto rozšiřuje ponětí o dělitelnosti přirozených celých čísel . Můžeme také rozšířit pojem prvočísla ; Nejedno Eisensteinovo celé číslo x je považováno za Ejzenštejnovo prvočíslo , jestliže všechny jeho dělitele jsou ve tvaru ux , kde u je kterýkoli ze šesti jedniček.

Lze ukázat, že přirozená prvočísla srovnatelná s 1 modulo 3, stejně jako s číslem 3, lze reprezentovat jako x 2 − xy + y 2 ( x , y jsou celá čísla) a lze je tedy rozložit ( x + ω y )( x + ω 2 y ), a proto nejsou Eisensteinova prvočísla. Přirozená prvočísla shodná s 2 v základu 3 nemohou být reprezentována stejným způsobem, takže jsou to také Eisensteinova prvočísla.

Každé Eisensteinovo celé číslo a + b ω, jehož norma a 2 − ab + b 2 je přirozené prvočíslo, je Eisensteinovo prvočíslo.

Euklidovský prsten

Okruh Eisensteinových čísel tvoří euklidovský kruh , ve kterém je norma N dána formou

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

To může být výstup takto:

{\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+ b \,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2 } -ab+b^{2}\end{aligned}}

Faktorová skupina C podle Eisensteinových celých čísel

Faktorová skupina komplexní roviny C vzhledem k mřížce obsahující všechna Eisensteinova celá čísla je komplexní torus reálné dimenze 2, který se vyznačuje největší skupinou symetrií ze všech komplexních torů reálné dimenze 2.

Viz také

Poznámky

↑ Surányi, László. Algebra (neurčitá) . - TYPOTEX, 1997. - s. 73. a Szalay, Mihály. Számelmélet (neopr.) . - Tankönyvkiadó, 1991. - S. 75. Obě tato čísla nazývají "Euler-egészek", tedy Eulerova čísla.

Odkazy

Eisenstein Integer – z MathWorld

Algebraická čísla
Odrůdy	Algebraická celá čísla Čebyševské uzly Konstruktivní čísla Ejzenštejnův celek Gaussova celá čísla Kummer prsten Perronova čísla Piso-Vijayaraghavan čísla Kvadratická iracionalita ℚ Kořeny z jednoty Salem čísla
Charakteristický	Conwayova konstanta 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2