Hermitovská matice
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 24. listopadu 2021; kontroly vyžadují
4 úpravy .
Hermitovská (nebo samoadjungovaná ) matice je čtvercová matice, jejíž prvky jsou komplexní čísla a která se po transpozici rovná komplexně konjugované: . To znamená, že pro jakýkoli sloupec a řádek platí rovnost
kde je
komplexně sdružené číslo k ,
nebo
kde je hermitovská konjugace
je hermitovský operátor
konjugace (zápis v
kvantové mechanice ).
Například matice
je Hermitian.
V souladu s tím je antihermitovská matice čtvercová matice, jejíž prvky splňují rovnost nebo .
Hermitovská matice dostala své jméno poté , co Charles Hermite v roce 1855 ukázal, že matice této formy mají stejně jako symetrické matice skutečná vlastní čísla .
Základní vlastnosti
- Diagonální prvky hermitovské matice jsou skutečné .
- Skutečná hermitovská matice (tj. ta, jejíž prvky jsou všechna reálná čísla) je symetrická :
- Podobně je čistě imaginární hermitovská matice (s prvky bez skutečných složek) šikmo symetrická .
- Součet dvou hermitských matic je hermitovský.
- Inverzní hermitovská matice je také hermitovská, pokud existuje.
- Součin dvou hermitovských matic je hermitovský právě tehdy, když spolu pendlují, tedy pokud .
- Vlastní vektory hermitovské matice odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální. Pokud ale dva vlastní vektory odpovídají jednomu vlastnímu číslu, pak nemusí být nutně navzájem ortogonální, ale ortogonální ke všem ostatním vlastním vektorům odpovídajícím jiným vlastním číslům.
Další vlastnosti
- Součet jakékoli čtvercové matice a její hermitovské konjugace je hermitovský.
- Rozdíl jakékoli čtvercové matice a matice hermitovské s ní konjugované je antihermitovský, to znamená .
- Jakákoli čtvercová matice C může být reprezentována jako součet hermitovské a antihermitovské matice:
, a tyto termíny jsou jednoznačně určeny: , . Jejich bytí hermitovské a antihermitovské vyplývá ze dvou předchozích tvrzení, resp.
Viz také
Odkazy