Andreevského reflexe

Andreevův odraz - proces odrazu elektronu padajícího z normálního kovu na rozhraní se supravodičem , při kterém se elektron změní na díru , změní obě složky rychlosti na opačné (při zpětném odrazu) a dva elektrony vstoupí do supravodiče. (Cooperův pár). Pojmenováno po Alexandru Fedoroviči Andreevovi , který teoreticky předpověděl tento typ odrazu v roce 1964 [1] . Zároveň je zde zrcadlový Andreevův odraz , při kterém otvor nemění průmět rychlosti na hranici. Tento efekt předpověděl Beenacker v roce 2006.

Podstata jevu

Základní stav elektronů v normálním kovu při teplotě blížící se absolutní nule jsou naplněné stavy s energiemi nižšími než je Fermiho energie a prázdné stavy s energiemi nad Fermiho energií. Elementární excitace – elektrony a díry – mohou mít libovolně malou energii. Na druhé straně má excitační spektrum v supravodiči pásmo zakázaných energií , které se nazývá celková supravodivá mezera . Průnik do supravodiče z normálního kovu elektronu nebo díry, jehož energie počítaná od Fermiho hladiny leží pod mezerou ( ), a také leží v rozsahu mezery až , je tedy nemožný [2] . Pokud se na normální kontakt kov-supravodič přivede takové napětí , že elektrický proud kontaktem v důsledku přímého přenosu elektronů bude určen pouze nosiči tepelně aktivovanými nad mezerou a bude exponenciálně malý. $2\Delta$ $E_F$ $\varepsilon <E_{F}-\Delta$ $\varepsilon =E_{F}+\Delta$ $PROTI$ $eV<\Delta$

V této situaci je proud vytvářen procesem Andreevovy reflexe. Elektron dopadající na hranici se může odrazit od povrchu supravodiče a stát se dírou se stejnou excitační energií. Vzhledem k tomu, že náboj díry je opačný než náboj elektronu, pak se během Andreevova odrazu podle zákona zachování náboje přenese náboj rovný dvojnásobku náboje elektronu na supravodič a vytvoří tam Cooperův pár . [2] . Proud NS kontaktem se tedy přibližně zdvojnásobí, což je vyjádřeno na proudově-napěťové charakteristice kontaktu jako lineární úsek s dvojitým sklonem při nízkých napětích . Při , charakteristika proud-napětí jde lineárně podle ohmického zákona. $|eV|<\Delta$ $|eV|>\Delta$

V nejjednodušším případě izotropního kovu bez magnetického pole a magnetické struktury a supravodiče se s-párováním probíhá proces následovně. Při Andreevově odrazu se zachovává excitační energie, to znamená, že kvazičástice přechází z elektronové větve v excitačním spektru do větve díry se stejnou energií. V tomto případě se hybnost elektronu poněkud liší od hybnosti díry, ale změna hybnosti je zanedbatelná ve srovnání s hybností Fermi v případě kovů, kde je Fermiho energie vysoká. Skupinová rychlost díry (kde a označují energii a hybnost kvazičástic) je však opačná než skupinová rychlost elektronu [3] . V souřadnicovém prostoru se proto díra pohybuje po dráze elektronu, ale v opačném směru ( anglicky retroreflection ). Jinými slovy, během Andreevova odrazu kvazičástice obrátí obě složky rychlosti (při běžném odrazu pouze normální složka změní znaménko). Protože rotace dvou elektronů v Cooperově páru jsou opačné, rotace elektronu a díry jsou také opačné. ${\vec {v}}=\částečný \varepsilon /\částečný {\vec {p}}$ $\varepsilon$ ${\vec {p}}$

Teoretický popis

Většina teoretických metod používaných k popisu Andreevovy reflexe je založena na metodě Greenovy funkce . Protože popis založený na Greenových funkcích je pro supravodiče těžkopádný, používá se semiklasická aproximace - Eilenbergerovy rovnice pro čisté systémy a Usadelovy rovnice v případě, kdy je koncentrace nečistot dostatečně vysoká [4] . U většiny problémů je však možné formalismus dále zjednodušit a použít intuitivní Bogolyubov-de Gennesovy rovnice , které jsou jednoduše zobecněním Schrödingerovy rovnice na případ systému obsahujícího elektrony i díry.

Teorie BTK [5] používá poslední aproximaci k nalezení charakteristik proud-napětí přes kontakt kov-supravodič. Teorie uvažuje o jednorozměrném problému pro čisté materiály, kde vlnový vektor částic je dobré kvantové číslo a má jeden volný parametr: výšku bariéry na hranici. Bogolyubov-de Gennesova rovnice pro supravodič je zapsána jako

{\begin{pmatrix}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+G\delta (x)-\mu &\Delta \\\Delta ^{*} &\mu -{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-G\delta (x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{ pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

kde je redukovaná Planckova konstanta , m je hmotnost elektronu, k je vlnový vektor částice, μ je chemický potenciál , Δ =Δ 0 e iφ je supravodivá mezera, φ je fáze supravodiče, u a v jsou elektronové a děrové vlnové funkce , G δ(x) je delta funkce s amplitudou G . Vlastní hodnoty energie ε jsou nalezeny z charakteristické rovnice $\hbar$

\varepsilon ^{2}=\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+\Delta ^{2}

Na obrázku jsou disperzní vztahy pro případ kovu a supravodiče [6] .

Ze dvou řešení této rovnice je uvažována pouze pozitivní energie. Pak pro kov, kde Δ = 0, existují čtyři vlnové vektory (pro ε < μ) odpovídající rovinným řešením pro rovinné vlny . V tabulce jsou uvedena všechna řešení rovnice. Pro elektrony se používá index "e" a pro díry s kladnou energií, tedy z vodivostního pásma , index "h". V případě supravodiče, když |Δ| > 0, je třeba rozlišovat dva případy. Když je energie ε > |Δ|, pak existují řešení ve formě rovinných vln. Druhý případ odpovídá podmínce ε < |Δ|, kdy existují řešení ve formě tlumených vln odpovídajících dobře známému efektu subbariérového tunelování v kvantové mechanice.

Řešení Bogolyubov-de Gennesovy rovnice

Parametr	Kov	Supravodič ε > Δ 0	Supravodič ε < Δ 0
Vlnové vektory pro elektrony	$\hbar k_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +\varepsilon }}$	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu +i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Vlnové vektory pro díry	$\hbar k_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -\varepsilon ))$	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu -{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Elektronické vlnové funkce	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}\\0\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$
Funkce děrových vln	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}0\\v_{0}\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$
Elektronické amplitudy	$u_{0}=1$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$
Amplitudy otvorů	$v_{0}=1$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$

Nyní, pokud použijeme standardní teorii pro rozptylovou matici v jednorozměrném případě, kde jsou dopadající, odražené a procházející vlny zapsány ve výše uvedeném tvaru, pak můžeme získat rovnice pro koeficienty odrazu a prostupu pomocí podmínek pro spojitost vlnové funkce na hranici a podmínka skoku pro derivaci na hranici v případě přidání delta potenciálu libovolné výšky. Pro odvození je zde také podmínka pro grupovou rychlost , takže pravděpodobnostní proud se přenese podle definice pro dopadající, odražené a procházející vlny a uvažuje se pouze jedna dopadající vlna pro elektron a zbytek se rozptyluje. . Skupinové rychlosti se liší pro kov v e/h a supravodič w e/h

v_{e/h}={\frac {\hbar k_{e/h}}{m}}

w_{e/h}={\frac {\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{2}}}{\varepsilon }}v_{e/h}

Navíc je vidět, že v supravodiči se skupinová rychlost blíží nule, když se energie blíží šířce mezery. V případě Andreevova odrazu, kdy je Fermiho hladina mnohem větší než energie částic a mezery, se amplitudy rozptylu (odrazu a prostupu) zapisují ve tvaru

r_{he}={\frac {u_{0}v_{0}}{u_{0}^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0} ^{2})}}e^{-i\phi }

r_{ee}={\frac {(Z^{2}-iZ)(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}{u_{0}^{2} +Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}

t_{ee}={\frac {(1-iZ)u_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0} ^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

t_{he}={\frac {iZv_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0}^{2}+ Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

kde je parametr, který určuje průhlednost bariéry. Odpovídající pravděpodobnosti budou ve formě čtverců amplitudových modulů. Zcela průhledná bariéra povede k vynulování procesu e → e , tj. nedojde k odrazu elektronu, zatímco pro proces e → h dostaneme následující výraz ε < Δ 0 ${\displaystyle Z=Gm/\hbar ^{2}k_{F))$

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -i{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}

a odpovídající pravděpodobnost bude rovna 1. Při vysokých energiích ε > Δ 0 se bude amplituda s rostoucí energií zmenšovat

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -{\textrm {arccosh}}{\ frac {\varepsilon }{\Delta _{0)))).

Andreevova vodivost

Neobvyklá Andreevova reflexe

Hraniční normální kov - feromagnet

Supravodič s d-párováním

Grafen

Bogolyubov-de Gennesova rovnice pro supravodič má tvar [7]

{\begin{pmatrix}H-E_{F}&\Delta \\\Delta ^{*}&E_{F}-\Theta H\Theta ^{-1}\end{pmatrix)){\začátek {pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

kde H je hamiltonián pro jednu částici, E F je Fermiho hladina , Δ je energetická mezera nebo parametr řádu , uav jsou elektronové a děrové vlnové funkce, Θ je operátor časové inverze, který je zaveden tímto vztahem

\Theta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}C=\Theta ^{-1}

kde C je komplexní konjugace . Takže ε > 0 je kladná energie kvazičástic počítaná z Fermiho hladiny. V případě normálního stavu jsou rovnice pro elektrony a díry odděleny a řešení jsou nezávislá a energeticky symetrická. Při zapnutí interakce mezi elektronovou a děrovou složkou pomocí párového potenciálu Δ vznikají vázané stavy elektronů a děr. Bez specifické formy jednočásticového Hamiltoniánu lze Bogolyubov-de Gennesovu rovnici aplikovat na jakýkoli zákon rozptylu. V případě grafenu, s jeho lineárním vztahem mezi energií a vlnovým vektorem, má tvar Hamiltonian

H={\begin{pmatrix}H_{+}&0\\0&H_{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i\hbar v_{F}(\sigma _{x} \partial _{x}+\sigma _{y}\partial _{y})+U&0\\0&-i\hbar v_{F}(\sigma _{x}\partial _{x}-\sigma _ {y}\částečné _{y})+U\end{pmatrix}}

σ x , σ y , σ z jsou Pauliho matice působící nikoli ve spinovém prostoru, ale v prostoru podmřížků, nazývaných také pseudospin, v F je Fermiho rychlost, U je potenciální energie, která je v oblasti záporná pod supravodičem, | k | 2 = k x 2 + k y 2 je druhá mocnina vlnového vektoru. Dosazením tohoto Hamiltoniánu do Bogolyubov-de Gennesovy rovnice získáme systém osmi diferenciálních rovnic s vlnovými funkcemi , . Tento systém se rozdělí na dva systémy po čtyřech rovnicích, což vede k rovnicím Dirac–Bogolyubov–de Gennes s disperzním vztahem ${\displaystyle u=(\Psi _{A+},\Psi _{B+},\Psi _{A-},\Psi _{B-})^{T))$ $v=(\Psi _{A-}^{*},-\Psi _{B-}^{*},\Psi _{A+}^{*},-\Psi _{B+}^ {*})^{T}$

\varepsilon ={\sqrt {|\Delta |^{2}+(E_{F}-U\pm \hbar v_{F}|{\textbf {k}}|)^{2}}}

Při odvození Bogolyubov-de Gennesovy rovnice byla vzata v úvahu střední aproximace pole, ve které je koherenční délka supravodiče mnohem větší než Fermiho délka v supravodiči , ale poměr těchto veličin pro supravodič a normální kov nemá žádná omezení a jsou možné dva omezující případy, kdy a . Tyto dva případy se zásadně liší: je-li energie elektronu , pak při , je pozorován obvyklý Andreevův odraz a při , dochází k zrcadlovému Andreevovu odrazu, kdy si odražená díra zachovává projekci rychlosti na hranici. U grafenu také nedochází k odrazu, když elektrony normálně dopadají na rozhraní supravodič-kov pro jakýkoli rozdíl v hladinách Fermi v důsledku zachování chirality , na rozdíl od normálního kovu, kde existuje odraz. ${\displaystyle \xi =\hbar v_{F}/|\Delta |\gg \lambda _{F}^{s))$ ${\displaystyle \xi \gg \lambda _{F}^{n))$ ${\displaystyle \xi \ll \lambda _{F}^{n))$ $\varepsilon <|\Delta |$ $E_{F}\gg |\Delta |$ $E_{F}\ll |\Delta |$

Kontaktní supravodič - vysoce transparentní izolátor - supravodič

Když jsou dva supravodiče slabě propojeny, jako například ve struktuře supravodič-izolátor-supravodič (SIS), supravodič může protékat v důsledku Josephsonova jevu , ke kterému dochází v důsledku pevného fázového rozdílu vlnových funkcí proudových nosičů ve dvou supravodičích. přes normální kovovou mezivrstvu [8] [9 ] . Taková struktura zařízení je známá jako Josephsonův přechod a maximální množství nadproudu protékajícího přechodem je definováno jako Josephsonův kritický proud Ic . V nejčistších konvenčních kovových spojích je součin nadproudu a odporu v normálním stavu konstantní hodnotou, která je úměrná velikosti supravodivé mezery BCS - 2Δ , to znamená , kde I c je Josephsonův kritický proud a R n je odpor kovu v normálním stavu ( vzorec Ambegaokara - Baratov ). Součin IcRn nezávisí na geometrii vzorku, protože stejné parametry závislé na geometrii se samy zničí ve výrazech pro Ic a Rn . Je zajímavé, že k novému mezoskopickému režimu dochází, když se šířka, w , normálního vodiče zmenší, aby se stala srovnatelnou s Fermiho vlnovou délkou , λ F , nosičů náboje, a jeho vodivost v normálním stavu se kvantuje v jednotkách e²/h, kde e je elektronový náboj a h je Planckova konstanta , slabě závislá na omezeních uložených na hodnotě délky kanálu, která jsou způsobena vytvářením jednorozměrných dílčích pásem [10] [11] . Bylo předpovězeno [12] , že univerzální součin I c R n =πΔ/2e hraje důležitou roli také v krátkých Josephsonových přechodech s diskrétními příčnými vidy, kde každý z N vidů tvoří nezávislou úroveň spojenou s Andreevovým odrazem a stejnou měrou přispívá k celkovému nadproudu [13] . Tedy I c =2πNeΔ/h, i když takového režimu nebylo experimentálně dosaženo [14] [15] . Ve většině předchozích studií sendvičových struktur SIS byly k vytvoření spojů použity konvenční kovy. V těchto přechodech je obtížné dosáhnout režimu, ve kterém w ~λ F , protože je žádoucí realizovat stabilní a řízený přechod široký několik atomových vrstev [16] . Toto omezení lze překonat při použití polovodičů v důsledku přítomnosti nízké hustoty nosičů náboje a v důsledku toho velké Fermiho vlnové délky, protože λ F =2π/k F =(2π/p 2D ) 1/2 , kde k F je vektor Fermiho vlny a p 2D je dvourozměrná koncentrace děr ve studni. $I_{c}R_{n}=\pi \Delta /2e$

Vázané stavy a Josephsonův efekt

Vícenásobné zamyšlení svatého Ondřeje

Andreevskaya interferometrie

Poznámky

↑ Andreev A. F. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - M. , 1964. - T. 46 . - S. 1823 .
↑ 1 2 Nazarov & Blanter, 2009 , s. 98.
↑ Nazarov & Blanter, 2009 , s. 98-99.
↑ A. V. Svidzinskij. Prostorově nehomogenní problémy v teorii supravodivosti . - Nauka (Moskva), 1982. - S. 141 -157. — ISBN 9780521832465 .. (Ruština)
↑ G. E. Blonder, M. Tinkham a T. M. Klapwijk. Přechod od metalických k tunelovacím režimům v supravodivých mikrokonstrikcích: Nadproud, nerovnováha náboje a superproudová konverze // Phys . Rev. B. - 1982. - Sv. 25 . — S. 4515 . - doi : 10.1103/PhysRevB.25.4515 .
↑ Dolcini F. Andreev Reflection // Poznámky k přednáškám pro XXIII. fyziku GradDays. — 2009. (nedostupný odkaz)
↑ Beenakker CWJ Specular Andreevův odraz v grafenu // Phys . Rev. Lett.. - 2006. - Sv. 97 . — S. 067007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.97.067007 .
↑ Tinkham M. Úvod do supravodivosti. — Dover New York, 1996.
↑ Likharev KK Supravodivé slabé články // Rev. Mod. Fyzik.. - 1979. - T. 51 . - S. 101 .
↑ Thornton TJ, Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis GJ Jednorozměrné vedení ve 2D elektronovém plynu heteropřechodu GaAs-AlGaAs // Phys. Rev. písmena. - 1986. - T. 56 . - S. 1198 .
↑ van Wees BJ, van Houten H., Beenakker CWJ, Williamoson JG, Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon CWJ Kvantovaná vodivost bodového kontaktu ve dvourozměrném elektronovém plynu // Phys. Rev. písmena. - 1988. - T. 60 . - S. 848 .
↑ Beenakker CWJ, van Houten H. Josephson proud přes supravodivý kvantový bodový kontakt kratší než koherenční délka // Phys. Rev. písmena. - 1991. - T. 66 . - S. 3056 .
↑ Efekt blízkosti Klapwijk TM z pohledu Andreeva // Journal of Supravodivost zahrnující nový magnetismus. - 2004. - T. 17 . - S. 593 .
↑ Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Pozorování maximálního kvantování supravodivého kvanta v supravodivém kvantovém bodovém kontaktu. — Phys. Rev. Dopisy, 1995. - T. 75 . - S. 3533 .
↑ Bauch T., Hurfeld E., Krasnov VM, Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Korelované kvantování superproudu a vodivosti v supravodivém kvantovém bodovém kontaktu // Phys. Rev. B. - 2005. - T. 71 . - S. 174502 .
↑ Muller CJ, Vanruitenbeek JM, De Jongh LJ Vodivost a superproudové diskontinuity v atomárních kovových konstrikcích proměnné šířky // Phys. Rev. písmena. - 1992. - T. 69 . - S. 140 .

Literatura

Yuli V. Nazarov a Yaroslav M. Blanter. Kvantový transport: Úvod do nanovědy . - Cambridge University Press (Cambridge), 2009. - S. 98-114 . — ISBN 9780521832465 .