Binární číselná soustava

Číselné soustavy v kultuře
Indoarabština
Arabská tamilská barmština	Khmer Lao Mongol Thai
východní Asiat
Čínský Japonec Suzhou Korejský	Vietnamské počítací tyčinky
Abecední
Abjadia arménská Aryabhata azbuka Řek	Gruzínský etiopský židovský Akshara Sankhya
jiný
Babylonian Egyptian Etruscan Roman Danubian	Attic Kipu Mayské Egejské KPPU Symboly
poziční
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-poziční
symetrický
smíšené systémy
Fibonacci
nepoziční
jednotné číslo (unární)

Binární číselná soustava je poziční číselná soustava se základem 2. Díky své přímé implementaci v digitálních elektronických obvodech na logických hradlech se binární soustava používá téměř ve všech moderních počítačích a dalších elektronických výpočetních zařízeních .

Binární zápis čísel

V dvojkové soustavě se čísla zapisují pomocí dvou symbolů ( 0 a 1 ). Aby nedošlo k záměně, v jaké číselné soustavě se číslo píše, je vpravo dole opatřeno ukazatelem. Například číslo v desítkové soustavě 5 10 , v dvojkové soustavě 101 2 . Někdy se binární číslo označuje předponou 0b nebo symbolem & (ampersand) [1] , například 0b101 nebo &101 .

V binární číselné soustavě (stejně jako v jiných číselných soustavách kromě desítkové) se znaky čtou jeden po druhém. Například číslo 1012 se vyslovuje „jedna nula jedna“.

Přirozená čísla

Přirozené číslo zapsané binárně jako , má význam: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\tečky a_{{1}}a_{0})_{2}$

(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\tečky a_{{1}}a_{0})_{2}=\součet _{{k=0}}^{{n- 1}}a_{k}2^{k},

kde:

$n$ - počet číslic (znaků) v čísle,
$a_{k}$ — hodnoty číslic z množiny {0,1},
$k$ - pořadové číslo číslice.

Záporná čísla

Záporná binární čísla se označují stejným způsobem jako desetinná čísla: se znakem „-“ před číslem. Záporné celé číslo zapsané v binárním zápisu má totiž hodnotu: $(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\tečky a_{{1}}a_{0})_{2}$

(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\tečky a_{{1}}a_{0})_{2}=-\sum _{{k=0}}^{{ n-1}}a_{k}2^{k}.

V práci na počítači, to je široce používáno psát záporná binární čísla ve dvojkovém doplňku .

Zlomková čísla

Zlomkové číslo zapsané binárně jako , má hodnotu: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\tečky a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}}a_{{-2}}\tečky a_{ {-(m-1)}}a_{{-m}})_{2}$

( A n − jeden A n − 2 … A jeden A 0 , A − jeden A − 2 … A − ( m − jeden ) A − m ) 2 = ∑ k = − m n − jeden A k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\tečky a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\součet _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}

(a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\tečky a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\součet _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},

kde:

$m$ - počet číslic zlomkové části čísla,
$a_{k}$ jsou hodnoty číslic ze sady . $\{0,1\}$

Sčítání, odčítání a násobení binárních čísel

Sčítací tabulka

+	0	jeden
0	0	jeden
jeden	jeden	0 (převod 1 do vyššího řádu)

odečítací tabulka

-	0	jeden
0	0	jeden
jeden	1 (půjčka z kategorie senior)	0

Příklad sčítání sloupců (desetinný výraz 14 10 + 5 10 = 19 10 v binárním tvaru vypadá jako 1110 2 + 101 2 = 10011 2 ):

+		jeden	jeden	jeden	0
+			jeden	0	jeden

	jeden	0	0	jeden	jeden

Násobilka

×	0	jeden
0	0	0
jeden	0	jeden

Příklad násobení „sloupcem“ (desetinný výraz 14 10 * 5 10 \u003d 70 10 v binárním kódu vypadá jako 1110 2 * 101 2 \u003d 1000110 2 ):

×				jeden	jeden	jeden	0
×					jeden	0	jeden

+				jeden	jeden	jeden	0
+		jeden	jeden	jeden	0

	jeden	0	0	0	jeden	jeden	0

Převody čísel

Chcete-li převést z binární na desítkovou, použijte následující tabulku mocnin se základem 2:

1024

512

256

128

osm

čtyři

jeden

Počínaje číslem 1 se všechna čísla násobí dvěma. Bod za 1 se nazývá binární bod.

Převod binárních čísel na desítková

Řekněme, že je zadáno binární číslo 110001 2 . Chcete-li převést na desítkovou soustavu, zapište ji jako součet přes číslice takto:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

To samé trochu jinak:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Můžete to napsat ve formě tabulky takto:

512	256	128	64	32	16	osm	čtyři	2	jeden
				jeden	jeden	0	0	0	jeden
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Pohybujte se zprava doleva. Pod každou binární jednotku napište její ekvivalent na řádek níže. Přidejte výsledná desetinná čísla. Binární číslo 110001 2 je tedy ekvivalentní desítkovému číslu 49 10 .

Převod zlomkových binárních čísel na desítková

Musíte převést číslo 1011010.101 2 do desítkové soustavy. Zapišme toto číslo takto:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 −1 + 0 * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625

To samé trochu jinak:

1 *64 + 0 *32 + 1 *16 + 1 *8 + 0 *4 + 1 *2 + 0 *1 + 1 *0,5 + 0 *0,25 + 1 *0,125 = 90,625

Nebo podle tabulky:

64	32	16	osm	čtyři	2	jeden		0,5	0,25	0,125
jeden	0	jeden	jeden	0	jeden	0	,	jeden	0	jeden
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0,5	+0	+0,125

Hornerova transformace

Chcete-li pomocí této metody převést čísla z binárních na desítkové, musíte sečíst čísla zleva doprava a vynásobit dříve získaný výsledek základem systému (v tomto případě 2). Hornerova metoda se obvykle převádí z binární na desítkovou. Opačná operace je obtížná, protože vyžaduje dovednosti sčítání a násobení v binární číselné soustavě.

Například binární číslo 1011011 2 se převede na desítkové takto:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

To znamená, že v desítkové soustavě bude toto číslo zapsáno jako 91.

Překlad zlomkové části čísel Hornerovou metodou

Čísla se přebírají z čísla zprava doleva a dělí se základem číselné soustavy (2).

Například 0,1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Odpověď: 0,1101 2 = 0,8125 10

Převod z desítkové soustavy na binární

Řekněme, že potřebujeme převést číslo 19 na binární. Můžete použít následující postup:

19/2 = 9 se zbytkem 1
9/2 = 4 se zbytkem 1
4/2 = 2 beze zbytku 0
2/2 = 1 beze zbytku 0
1/2 = 0 se zbytkem 1

Každý podíl tedy vydělíme 2 a zbytek zapíšeme na konec binárního zápisu. Pokračujeme v dělení, dokud není podíl 0. Výsledek zapisujeme zprava doleva. To znamená, že spodní číslice (1) bude ta úplně vlevo atd. Výsledkem je číslo 19 v binárním zápisu: 10011 .

Převod zlomkových desetinných čísel na binární

Pokud je v původním čísle celočíselná část, převede se odděleně od zlomkové části. Převod zlomkového čísla z desítkové soustavy čísel na binární se provádí podle následujícího algoritmu:

Zlomek se vynásobí základem binární číselné soustavy (2);
Ve výsledném součinu je alokována celočíselná část, která je brána jako nejvýznamnější číslice čísla v binární číselné soustavě;
Algoritmus se ukončí, pokud je zlomková část výsledného produktu rovna nule nebo pokud je dosaženo požadované přesnosti výpočtu. Jinak výpočty pokračují pro zlomkovou část produktu.

Příklad: Chcete převést zlomkové desítkové číslo 206.116 na zlomkové binární číslo.

Překlad celé části dává 206 10 = 11001110 2 podle dříve popsaných algoritmů. Vynásobíme zlomkovou část 0,116 základem 2, přičemž celé části součinu vložíme na číslice za desetinnou čárkou požadovaného zlomkového binárního čísla:

0,116 • 2 = 0,232 0,232
• 2 = 0,464 0,464 • 2 = 0,928 0,928 • 2 = 1,856 0,856 • 2 = 1,712 0,712 • 2 = 1,424 0,424 • 2 = 0,848 . atd.

Tedy 0,116 10 ≈ 0,0001110110 2

Dostaneme: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Aplikace

V digitálních zařízeních

Binární systém se používá v digitálních zařízeních , protože je nejjednodušší a splňuje požadavky:

Čím méně hodnot v systému existuje, tím snazší je vytvořit jednotlivé prvky, které na těchto hodnotách fungují. Zejména dvě číslice binárního číselného systému mohou být snadno reprezentovány mnoha fyzikálními jevy: existuje proud (proud je větší než prahová hodnota) - neexistuje žádný proud (proud je menší než prahová hodnota), magnetický indukce pole je větší než prahová hodnota nebo není (indukce magnetického pole je menší než prahová hodnota) atd.
Čím nižší je počet stavů prvku, tím vyšší je odolnost proti šumu a tím rychleji může pracovat. Například pro zakódování tří stavů z hlediska napětí, proudu nebo indukce magnetického pole byste museli zadat dvě prahové hodnoty a dva komparátory ,

V práci na počítači, to je široce používáno psát záporná binární čísla ve dvojkovém doplňku . Například číslo -5 10 by mohlo být zapsáno jako -101 2 , ale bylo by uloženo jako 1111111111111111111111111111011 2 na 32bitovém počítači .

Zobecnění

Binární číselný systém je kombinací binárního kódovacího systému a exponenciální váhové funkce se základem rovným 2. Číslo lze zapsat v binárním kódu a číselný systém nemusí být binární, ale s odlišným základem. Příklad: BCD kódování , ve kterém jsou desetinné číslice zapsány binárně a číselná soustava je desítková.

Historie

Kompletní sada 8 trigramů a 64 hexagramů , analogických 3-bitovým a 6-bitovým číslicím, byla známá ve starověké Číně v klasických textech Knihy proměn . Pořadí hexagramů v Knize proměn , uspořádané v souladu s hodnotami odpovídajících binárních číslic (od 0 do 63), a způsob jejich získání vyvinul čínský vědec a filozof Shao Yong v 11. století . Neexistuje však žádný důkaz, který by ukázal, že Shao Yong rozuměl pravidlům binární aritmetiky a umístil dvouznakové n- tice do lexikografického pořadí .
Indický matematik Pingala ( 200 př . n. l .) vyvinul matematický rámec pro popis poezie pomocí první známé aplikace binárního systému [2] [3] .

Prototyp databází, které byly široce používány ve středních Andách ( Peru , Bolívie ) pro státní a veřejné účely v I-II tisíciletí našeho letopočtu. e. došlo k zauzlovanému zápisu Incas - kipu , sestávajícím z číselných položek v desítkové soustavě [4] a nečíselných položek v systému binárního kódování [5] . Quipu používalo primární a sekundární klíče, poziční čísla, barevné kódování a tvorbu řad opakujících se dat [6] . Kipu bylo poprvé v historii lidstva použito k aplikaci takového způsobu účtování jako je podvojné účetnictví [7] .
Sady, které jsou kombinacemi binárních číslic, byly používány Afričany v tradičním věštění (jako je Ifa ) spolu se středověkou geomantie .
V roce 1605 Francis Bacon popsal systém, ve kterém by písmena abecedy mohla být redukována na sekvence binárních číslic, které pak mohly být zakódovány jako jemné změny písma v libovolném náhodném textu. Důležitým krokem ve vývoji obecné teorie binárního kódování je pozorování, že tuto metodu lze použít pro libovolné objekty [8] (viz Baconova šifra ).

Moderní binární systém plně popsal Leibniz v 17. století v Explication de l'Arithmétique Binaire [9] . Leibnizův číselný systém používal číslice 0 a 1, stejně jako moderní binární systém. Jako člověk fascinovaný čínskou kulturou věděl Leibniz o Knize proměn a všiml si, že hexagramy odpovídají binárním číslům od 0 do 111111. Obdivoval skutečnost, že toto zobrazení je důkazem velkých čínských úspěchů ve filozofické matematice té doby [10]. .

V roce 1854 anglický matematik George Boole publikoval klíčovou práci popisující algebraické systémy aplikované na logiku , která je nyní známá jako Booleova algebra nebo algebra logiky . Jeho logický kalkul byl předurčen hrát důležitou roli ve vývoji moderních digitálních elektronických obvodů.
V roce 1937 předložil Claude Shannon svou doktorandskou práci Symbolická analýza reléových a spínacích obvodů na MIT , ve které byla na elektronická relé a spínače aplikována booleovská algebra a binární aritmetika. V podstatě všechny moderní digitální technologie jsou založeny na Shannonově disertační práci .
V listopadu 1937 George Stiebitz , který později pracoval v Bellových laboratořích , sestrojil reléový počítač „Model K“ (z anglického „ Kuchyně “, kde se prováděla montáž) počítač, který prováděl binární sčítání. Na konci roku 1938 Bell Labs zahájily výzkumný program vedený Stibitzem. Počítač vytvořený pod jeho vedením, dokončený 8. ledna 1940, byl schopen provádět operace s komplexními čísly . Během demonstrace na konferenci American Mathematical Society na Dartmouth College 11. září 1940 Stiebitz prokázal schopnost posílat příkazy vzdálené kalkulačce komplexních čísel přes telefonní linku pomocí dálnopisu . Jednalo se o první pokus o použití vzdáleného počítače prostřednictvím telefonní linky. Mezi účastníky konference, kteří byli svědky demonstrace, byli John von Neumann , John Mauchly a Norbert Wiener , kteří o tom později napsali ve svých pamětech.

Viz také

Poznámky

↑ Popova Olga Vladimirovna. Učebnice informatiky . Získáno 3. listopadu 2014. Archivováno z originálu 3. listopadu 2014. (neurčitý)
↑ Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC , Boca Raton, Florida: CRC Press, str. 37, ISBN 0-8493-7189-9
↑ W.S. Anglin a J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
↑ Ordish George, Hyams, Edward. Poslední z Inků: vzestup a pád amerického impéria. - New York: Barnes & Noble, 1996. - S. 80. - ISBN 0-88029-595-3 .
↑ Odborníci 'dešifrují' řetězce Inků . Archivováno z originálu 18. srpna 2011. (neurčitý)
↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (neopr.) . - S. 49.
↑ Dale Buckmaster. Incan Quipu a Jacobsenova hypotéza // Journal of Accounting Research : deník. - 1974. - Sv. 12 , č. 1 . - S. 178-181 .
↑ Bacon, Francis , The Advancement of Learning , sv. 6, Londýn, str. Kapitola 1 , < http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html > Archivováno 18. března 2017 na Wayback Machine
↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Archivováno 11. února 2021 na Wayback Machine Leibniz Translation.com VYSVĚTLENÍ BINÁRNÍ ARITMETIKY
↑ Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography , Taylor & Francis, str. 245–8, ISBN 0-85274-470-6

Odkazy

Binární počet // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Učebnice "Aritmetické základy počítačů a systémů." Část 1. Číselné soustavy
Hexadecimální desítkový binární osmičkový převodník pro programátory Archivováno 21. února 2011 na Wayback Machine
Převaděč celých a zlomkových čísel z binárních na desítkové .
Fomin SV Číselné soustavy . — M .: Nauka , 1987. — 48 s. - ( Populární přednášky o matematice ). (alternativní odkaz), (alternativní odkaz na web RSL)
Číselné soustavy: směrnice a zadání pro samostatnou práci v oboru "Informatika" pro studenty všech oborů . - Saratov: Saratovský stát. technická univerzita , 2009. - 24 s.
Lyubomudrov A.A. Číselné soustavy. Metody převodu čísel z poziční číselné soustavy se základem p1 na poziční číselnou soustavu se základem p2 . — M .: NRNU MEPhI , 2009. — 28 s.
Andreeva E.V. Číselné soustavy a počítačová aritmetika: učebnice. příspěvek. - ed. 3 . - M .: Binom. Laboratoř. znalosti, 2004. - 254 s.
Číselné soustavy (16. září 2014)
MGIU: Informatika. Vydání 1. Číselné soustavy. (21. února 2014)
Binární číselná soustava - názorné vysvětlení principu fungování pozičních číselných soustav (zejména dvojkové)

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Brockhaus a Efron Malý Brockhaus a Efron Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4150805-1 NDL : 00568548