Kvantový plyn

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. srpna 2021; kontroly vyžadují 22 úprav .

Kvantový plyn je plyn částic nebo kvazičástic , který se řídí kvantovou statistikou.

Vlastnosti kvantového plynu závisí na jeho stupni degenerace , který je charakterizován teplotou degenerace. Teplota degenerace závisí na hustotě plynu, , je koncentrace částic , je hmotnost částice, je Boltzmannova konstanta . Za předpokladu, že plyn není degenerovaný a distribuce energie částic je popsána Boltzmannovým rozložením . V tomto případě plyn spadá do oblasti kvantové degenerace a je v závislosti na statistikách částic buď degenerovaným Fermiho plynem ( Fermi–Dirac statistika ) nebo Boseho plynem ( Bose–Einsteinova statistika ). $T_{0}$ $T_0 \sim \frac{N^{(2/3)}}{mk}$ $N$ $m$ $k$ $T \gg T_0$ $T \ll T_0$

Kvantový model plynu je široce používán k řešení problémů ve fyzice pevných látek (elektronový plyn v kovech), astrofyzice (vlastnosti bílých trpaslíků a neutronových hvězd), fyzice kondenzovaných látek ( supratekutost ).

Rozlišujte mezi ideálním a skutečným kvantovým plynem.

Ideální kvantový plyn

Podmínkou ideality kvantového plynu je podmínka neinterakce mezi částicemi, ze kterých se skládá. Vzhledem k absenci interakce se můžeme domnívat, že naplnění jednoho či druhého kvantového stavu systému neovlivní plnění ostatních stavů. V obecném případě, pokud existuje například Coulombova interakce mezi částicemi , pak aby aproximace ideálního plynu dávala dobré výsledky, musí být považována za slabou. To vede k podmínce ředění , kde je délka rozptylu částic nebo, která je stejná, . Proto se předpokládá, že při , kde je teplota degenerace, jsou vlastnosti kvantového plynu do značné míry nezávislé na statistikách jeho částic a lze je popsat Maxwell-Boltzmannovou statistikou . Vzhledem k tomu, že neexistuje způsob, jak přesně řídit počet částic v systému, má smysl pracovat v podmínkách velkého kanonického souboru . $Na^3 \ll 1$ $A$ $kT \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}$ $T \gg T_0$ $T_{0}$

Pak, vzhledem k nezávislosti stavů, je rozdělovací funkce ideálního Bose - Fermiho plynu dána vzorcem $\Sigma =\prod _{\alpha} \Sigma _{\alpha},$ $\Sigma_{\alpha} =(1 \pm e^{-(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)})^{\mp 1}$ $\varepsilon _{\alpha }$ $\mu$

Velký termodynamický potenciál ideálního kvantového plynu odpovídající této rozdělovací funkci je:

$\Omega =-kT\ln(\Sigma)=-AV\int \frac{d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\ odpoledne 1},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}$ ,

kde je objem systému, je Planckova konstanta a je degenerace rotace . $PROTI$ $h$ $g=2s+1$

Průměrný počet částic na úroveň: . $<N_{\alpha}>=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$

Výraz pro termodynamický potenciál lze ještě více sjednotit, pokud si všimneme, že integrand v případě plynů Fermi a Bose se liší pouze znaménkem. Dále by měly být všechny rozměrové parametry vyjmuty z integrálu. Potom se termodynamický potenciál zapíše jako:

$\Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad \overline A=A\Gamma (5/ 2).$ ,

kde byla funkce zavedena , ${G}_{k}(x) = \begin{cases} {F_{k}(x)}, Fermi-Dirac \\ \zeta _{k+1}(e^x), Bose-Einstein \end {případy}$

S označením:

Pro Fermiho plyn je Fermi-Diracova funkce: . $F_k(\eta )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int_0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\eta }+1}$
Pro plyn Bose, zobecněná - Riemannova funkce : . $\zeta$ $\zeta _k(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n^k}=\frac 1{\Gamma (k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x/a-1}$

Potom pomocí jednoduchého vztahu a Maxwellových termodynamických vztahů lze získat různé termodynamické charakteristiky v obecné podobě: $\partial_{\eta}G_k(\eta)=G_{k-1}(\eta)$

Koncentrace	$n=-\frac{1}{V}\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial \mu}\Biggl )_{T,V}$	$\overline A(kT)^{3/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})$	Entropie	$S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\částečné \Omega}{\částečné T}\Biggl )_{V,\mu }$	$\overline AVk^{5/2}\Bigg\{\frac 52T^{3/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac {\mu } kT^{1/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})\Bigg\}.$
Tlak	$p=-\Biggr (\frac {\částečná \Omega }{\částečná V}\Biggl )_{T,\mu }$	$\overline A(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})$	Tepelná kapacita	$C_{V,N}=T\Biggr (\frac {\částečné S }{\částečné T}\Biggl )_{V,N}$	$\overline AVk^{5/2}T^{3/2}\Bigg\{\frac{15}4{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac 94\frac {{G}^{2}_{1/2}({\mu}/{(kT)})}{{G}_{-1/2}({\mu}/{(kT) )})}\Bigg\}.$

Tyto receptury nadále fungují při nízkých i vysokých teplotách. [ vyčistit ]

Degenerovaný plyn

Degenerovaný plyn je plyn , jehož vlastnosti jsou významně ovlivněny kvantově mechanickými efekty vyplývajícími z identity jeho částic. Vliv identity částic se stává významným, když se průměrné vzdálenosti mezi nimi snižují na vzdálenosti úměrné vlnové délce de Broglie spojené s částicí, to znamená, že je splněna podmínka:

N^{-1/3}\sim r\sim \lambda

kde je objemová koncentrace částic ,

N

{\displaystyle \lambda =h/{\left(mv\right)))

je de Broglie vlnová délka částic hmoty pohybujících se rychlostí .

m

proti

Podmínky degenerace jsou splněny při dostatečně nízké teplotě (pro ideální plyn ) a vysoké koncentraci částic . $T$ $v\sim {\sqrt {T}}$ $N$

Degenerace Fermiho a Boseho plynů

Vlastnosti Boseho a Fermiho plynů se zásadně liší: v jednom kvantovém stavu může být libovolně velký počet bosonů, zatímco v jednom kvantovém stavu nemůže být více než jeden fermion.

Typ degenerace závisí na statistikách, kterým se částice podřizují. Jestliže je pro Fermiho plyn v důsledku působení Pauliho principu tlak degenerovaného plynu za stejných podmínek vyšší než tlak ideálního plynu , pak pro degenerovaný Boseho plyn je tlak nižší než tlak ideální plyn díky Bose-Einsteinově kondenzaci .

Ve Fermiho plynu s úplnou degenerací (v ) jsou všechny nižší energetické hladiny naplněny do určitého maxima, nazývaného Fermiho hladina , a všechny následující zůstávají prázdné. Zvýšení teploty jen nepatrně změní toto rozložení kovových elektronů na úrovních: malý zlomek elektronů umístěných na úrovních blízkých Fermiho úrovni přejde do prázdných úrovní s vyšší energií, čímž se uvolní úrovně pod Fermiho úrovní, ze které byl přechod proveden. . $T=0K$

Když plyn bosonů degeneruje z částic s hmotností jinou než nula (takovými bosony mohou být atomy a molekuly ), musí určitá část částic systému přejít do stavu s nulovou hybností; tento jev se nazývá Bose-Einsteinova kondenzace . Čím blíže je teplota k absolutní nule, tím více částic by mělo být v tomto stavu. Systémy takových částic však při poklesu teploty na velmi nízké hodnoty přecházejí do pevného nebo kapalného (u helia ) skupenství, na které je ideální aproximace plynu nepoužitelná.

Pro plyn bosonů s nulovou hmotností , který zahrnuje fotony , je teplota degenerace nekonečno; proto je fotonový plyn vždy degenerovaný a klasické statistiky na něj nelze aplikovat. Fotonový plyn je jediným degenerovaným ideálním Boseho plynem stabilních částic. Bose-Einsteinova kondenzace v ní však neprobíhá, protože zde nejsou žádné fotony s nulovou hybností (fotony se vždy pohybují rychlostí světla ).

Důležitým příkladem Fermiho plynu při dostatečně nízkých teplotách je elektronový plyn v kovech . U tohoto plynu se ukazuje, že teplota degenerace je řádově 10 000 K, a proto aproximace degenerovaného elektronového plynu funguje dobře v kovech při pokojové teplotě. Je třeba poznamenat, že v případě polovodičů přechází tento model do Maxwell-Boltzmannova modelu , kvůli umístění Fermiho hladiny uvnitř zakázaného pásu.

Fenomén degenerace Fermiho plynů hraje důležitou roli ve vývoji hvězd : například tlak elektronově degenerovaného plynu vyrovnává gravitaci u bílých trpaslíků a tlak neutronového degenerovaného plynu vyrovnává gravitaci u neutronových hvězd .

Níže jsou uvedeny hlavní vzorce pro oba případy degenerace.

Degenerovaný Fermiho plyn

Pro , integrand ve vzorci pro funkci ztrácí spojitost. Skok funkce nastává při energii rovné - Fermiho energii . Když je teplota blízká, ale odlišná od nuly, integrand může být rozšířen do série (ve smyslu parametru ) a integrál má tvar: $T=0$ ${G}_{k}$ $\mu(T)|_{T=0}$ $kT$

\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1}=\int _{0} ^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon)+ (kT)^{2}\frac{\pi^2}{6}\phi '(\mu)+ O((kT)^{4} ).

Dosazením tohoto výrazu do stavových rovnic a výrazů pro termodynamické charakteristiky získáme ( ): $\alpha={\pi^2 \over 6}$

Koncentrace	$n\přibližně A\Bigg(\mu ^{3/2}+\frac 34\alpha \frac{(kT)^{2}}{\sqrt{\mu }}\Bigg)$	Entropie	$S(T,V,\mu)\přibližně 3\alpha \frac {AV}T\varepsilon_{F}^{1/2}(kT)^{2}$
Tlak	$p\approx \varepsilon_{F}^{5/2}\Bigg(\frac25+2\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}\Bigg)$	Tepelná kapacita	$C_{V,N}\přibližně 3\alfa AV\varepsilon _{F}^{1/2}k^{2}T.$

Řešením první rovnice iterační metodou najdeme výraz pro chemický potenciál a Fermiho energii:

\mu=\varepsilon _{F}\Bigg[1-\frac 12\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}+O\Bigg(\frac{k ^{4}T^{4}}{\varepsilon_{F}^{4}}\Bigg)\Bigg],\qquad \varepsilon _{F}=\Bigg({3n \over 2A}\Bigg)^ {2/3}.

Tedy při teplotě blízké nule je ideální Fermiho plyn v základním stavu, jeho částice zabírají všechny energetické hladiny až a všechny výše uvedené hladiny jsou volné. $\varepsilon _{F}$ $\varepsilon _{F}$

Je třeba poznamenat, že ideální aproximace plynu nepopisuje mnoho důležitých efektů, jako je fenomén supravodivosti, supratekutosti atd.

Degenerovaný plyn Bose

S poklesem teploty nebo zvýšením hustoty Boseho plynu se parametr , potažmo chemický potenciál , změní na nulu na konečných hodnotách souvisejících vztahem . V tomto případě se populace nulové úrovně formálně rovná nekonečnu, takže bod se nazývá Boseův kondenzační bod. Jev Boseovy kondenzace nelze popsat pomocí ideální aproximace Boseho plynu, proto se omezíme na popis chování Boseho plynu v blízkosti Boseho kondenzačního bodu. $a=e^{\mu/(kT)} \rightarrow 1$ $\mu \rightarrow 0$ $n_0, T_0$ $n_{0}(kT_{0})^{-3/2}/\overline A=\zeta _{3/2}(1)\cca 2,6$ $(n_0, T_0)$

Asymptotika funkce at is $\zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})=\frac 1{\Gamma(3/2)}\int _{0}^{\infty }\frac {dx x^{ 1/2}}{e^{x-\mu/(kT)}-1}$ $\mu\to0, T\to T_0$

\zeta _{3/2}(e^{\mu /(kT)})\cca \frac {n_{0}}{\overline A(kT_{0})^{3/2}}+\frac {\pi}{\Gamma(3/2)}\sqrt {\frac{|\mu |}{kT))+O(\frac {\mu }{kT}),

odkud následuje výraz pro chemický potenciál: kde jsou odchylky od Boseho kondenzačního bodu. $T=T_0$ $\mu \approx {\frac {\Gamma ^{{2}}(3/2)}{\pi ^{{2}}{\overline A}^{2}(kT_{{0}})^{ {2)))){\Bigg (}\delta n-3n_{{0)){\frac {\delta T}{2T_{{0)))){\Bigg )}^{{2)),$ $\delta n, \quad \delta T$

Pro výpočet entropie a tepelné kapacity potřebujeme ještě asymptotiku funkcí a , kterou lze získat podobně jako předchozí a mají tvar: $\zeta_{1/2}(e^{\mu/(kT)})$ $\zeta_{5/2}(e^{\mu/(kT)})$

\zeta _{5/2}(e^{\mu /(kT)})\cca \mbox{const} + O(\frac{\mu }{kT}),\quad \zeta _{1/2 }(e^{\mu /(kT)})\přibližně \mbox{const} \sqrt {\frac {kT}{|\mu |}} +O(1)

Viz také

Literatura

Landau L. D., Lifshitz E. M. Statistická fyzika.
Cooney F. M. Statistická fyzika.
M. Komarová, M. Nalimov. kvantové plyny. - Petrohradská státní univerzita, 2005.
Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, PY Landshoff. Hadrony a kvark-gluonové plazma. - Cambridge University Press , 2002. - 415 s. — ISBN 9780511037276 .

Termodynamické stavy látek

Fázové stavy

Skupenství Fázová rovnováha Pravidlo fáze fázový diagram Stavová rovnice
Pevný	krystaly Monokrystal polykrystal Krystalit
mezofáze	Amorfní těla skelný stav tekutý krystal Nematic smektický cholesterický Sloupcová fáze Mesogen Membrána
Kapalina	Ideální tekutina Metastabilní stav přehřátá kapalina podchlazená kapalina natažená tekutina Rozpad superkritická tekutina
Plyn	Ideální plyn skutečný plyn Pára Nasycená pára přehřátá pára přesycená pára
Plazma	elektromagnetické Kvarkovo-gluonové plazma Glazma
Nízká teplota	bosový kondenzát Fermionický kondenzát kvantový plyn Bose plyn Fermiho plyn degenerovaný plyn kvantová kapalina bosová kapalina Fermiho kapalina supratekutá pevná látka Jevy Supratekutost Supravodivost
jiný	zvláštní záležitost fotonická molekula barevný skleněný kondenzát

Fázové přechody

První druh

Druhý druh

v elektrických jevech	feroelektrický Antiferoelektrické
v magnetických jevech	feromagnetika Paramagnety Antiferomagnetika

kvantová

lambda bod

Disperzní systémy

Gely
- Aerogel
Řešení
koloidní systémy
- Hrubý
- Volně dispergovaný koloidní
Sol
Plechovka spreje
- Kouř
- Prach
- Mlha
- mlha
Suspenze
Emulze

viz také