Krystalografická skupina

Krystalografická grupa (Fedorovova grupa) - diskrétní skupina pohybů - dimenzionální euklidovský prostor , mající omezenou základní plochu . $n$

Bieberbachova věta

Dvě krystalografické skupiny jsou považovány za ekvivalentní, pokud jsou konjugované ve skupině afinních transformací euklidovského prostoru.

Bieberbachovy věty

Jakákoli -rozměrná krystalografická skupina obsahuje lineárně nezávislé paralelní translace ; skupina lineárních částí transformací (tedy obraz v ) je konečná. $n$ $\Gamma$ $n$ $G$ $\Gamma$ $GL_{n}$
Dvě krystalografické skupiny jsou ekvivalentní právě tehdy, pokud jsou izomorfní jako abstraktní skupiny.
Pro všechny existuje pouze konečný počet -rozměrných krystalografických grup považovaných za ekvivalentní (což je řešení Hilbertova 18. problému ). $n$ $n$

Věta nám umožňuje podat následující popis struktury krystalografických grup jako abstraktních grup: Nechť je množina všech paralelních překladů patřících do krystalografické grupy . Pak je normální podgrupa konečného indexu, izomorfní a shodující se s jeho centralizátorem v . Přítomnost takové normální podskupiny v abstraktní skupině je také dostatečnou podmínkou pro to, aby skupina byla izomorfní s krystalografickou skupinou. $L$ $\Gamma$ $L$ $\mathbb{Z } ^{n}$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

Skupina lineárních částí krystalografické skupiny zachovává mřížku ; jinými slovy, v mřížkové bázi jsou transformace z zapsány celočíselnými maticemi. $G$ $\Gamma$ $L$ $L$ $G$

Počet skupin

Počet krystalografických skupin -rozměrného prostoru se zachováním nebo bez zachování orientace je dán sekvencemi A004029 a A006227 . Až do ekvivalence existuje $n$

17 plochých krystalografických skupin [1]
219 prostorové krystalografické skupiny;
- pokud uvažujeme prostorové grupy až po konjugaci pomocí afinních transformací, které zachovávají orientaci , pak jich bude 230.
V dimenzi 4 je 4894 krystalografických skupin zachovávajících orientaci nebo 4783 bez zachování orientace [2] [3] .

Možné symetrie

Bodové prvky

Prvky symetrie konečných obrazců, které ponechávají alespoň jeden bod pevný.

Rotační osy symetrie, zrcadlová rovina symetrie, střed inverze (střed symetrie) a nevlastní rotace - inverzní osy a osy zrcadlového rotace. Nesprávné rotace jsou definovány jako po sobě jdoucí rotace a inverze (nebo odrazy v kolmé rovině). Jakákoli zrcadlově rotační osa může být nahrazena obrácenou osou a naopak. Při popisu prostorových skupin se obvykle dává přednost inverzním osám (zatímco Schoenfliesova symbolika využívá osy zrcadlové rotace). Ve 2-rozměrných a 3-rozměrných krystalografických skupinách mohou být přítomny pouze rotace kolem os symetrie o úhly 180° (osa symetrie 2. řádu), 120° (3. řád), 90° (4. řád) a 60° ( 6. řád). Osy symetrie v Bravaisově symbolice se označují písmenem L s dolním indexem n odpovídajícím pořadí os ( ), v mezinárodní symbolice (Hermann-Mogenova symbolika) arabskými číslicemi označujícími pořadí osy (například = 2 , = 3 a = 4). Inverzní osy v symbolice Bravais se označují písmenem Ł s nižším číselným indexem n odpovídajícím řádu rotační osy ( Ł n ), v mezinárodních symbolech - digitálním indexem s pomlčkou nad n (například Ł 3 = 3 , Ł 4 = 4 , Ł 6 = 6 ). Více o nesprávných rotacích a jejich zápisu čtěte zde . Osy symetrie L 3 , L 4 , L 6 se nazývají osy symetrie vyššího řádu [4] . Zrcadlová rovina symetrie je v mezinárodní symbolice označena Brava a m . Střed inverze je označen C v Brava a 1 v mezinárodních symbolech. $L_{n}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$

Všechny možné kombinace prvků bodové symetrie vedou k 10 skupinám bodové symetrie ve 2-rozměrném prostoru a 32 bodovým skupinám ve 3-rozměrném prostoru.

Ve 4-rozměrném prostoru se objevuje nový typ prvku symetrie - dvojitá rotace ve dvou absolutně kolmých rovinách . To zvyšuje počet prvků symetrie kompatibilních s translační symetrií. Pro prostory o rozměrech 4 a 5 v krystalu jsou možné prvky bodové symetrie řádů 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 a 12. Navíc, protože rotace v každé z absolutně kolmých rovin mohou být prováděné v různých směrech, objevují se enantiomorfní páry prvků bodové symetrie (např. dvojitá rotace čtvrtého řádu, kde rotace 90° v první rovině a 90° ve druhé rovině jsou kombinovány enantiomorfně s dvojitou rotací čtvrtého řádu, kde rotace o 90° v první rovině a -90° ve druhé rovině jsou kombinovány jako druhé). Všechny možné kombinace bodových symetrií ve 4-rozměrném prostoru vedou k 227 4-rozměrným skupinám bodů, z nichž je 44 enantiomorfních (tj. celkem je získáno 271 skupin bodové symetrie).

V 6rozměrných a 7rozměrných prostorech v krystalu jsou prvky bodové symetrie s řády 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 a 30 je možných [5] . Viz také cs:Věta o krystalografické restrikci .

Vysílání

V krystalografických grupách jsou vždy přítomny translace - paralelní přenosy , při jejichž posunu se krystalová struktura kombinuje sama se sebou. Translační symetrie krystalu je charakterizována Bravaisovou mřížkou . V 3-rozměrném případě je celkem možných 14 typů Bravaisových mříží. V dimenzích 4, 5 a 6 je počet typů Bravaisových mříží 64, 189 a 841 [6] . Z hlediska teorie grup je translační grupa normální abelovská podgrupa prostorové grupy a prostorová grupa je rozšířením její translační podgrupy. Faktorová grupa prostorové grupy podle translační podgrupy je jednou z bodových grup.

Složité operace symetrie

Rotace kolem os se současnou translací o nějaký vektor ve směru této osy (osa šroubu) a odrazem vzhledem k rovině se současným posunem o nějaký vektor rovnoběžný s touto rovinou (klouzavá odrazová rovina). V mezinárodních značkách jsou šroubové osy označeny číslem odpovídající rotační osy s indexem charakterizujícím velikost přenosu podél osy při současné rotaci. Možné šroubové osy v 3D případě: 2 1 (otočení o 180° a posunutí o 1/2 translace), 3 1 (otočení o 120° a posunutí o 1/3 translace), 3 2 (otočení o 120° a posunutí o 2/3 translace), 4 1 (otočení o 90° a posunutí 1/4 translace), 4 2 (otočení o 90° a posunutí 1/2 translace), 4 3 (otočení o 90° a posunutí 3/4 posunutí), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (otočení o 60° a posunutí o 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 a 5/6 posunutí). Osy 3 2 , 4 3 , 6 4 a 6 5 jsou enantiomorfní k osám 3 1 , 4 1 , 6 2 a 6 1 . Právě díky těmto osám existuje 11 enantiomorfních dvojic prostorových grup – v každé dvojici je jedna skupina zrcadlovým obrazem druhé.

Kluzné odrazové roviny jsou určeny v závislosti na směru klouzání vzhledem k osám krystalové buňky. Dojde-li k klouzání podél jedné z os, pak je rovina označena odpovídajícím latinským písmenem a , b nebo c . V tomto případě se výše skluzu vždy rovná polovině překladu. Pokud skluz směřuje podél úhlopříčky plochy nebo prostorové úhlopříčky buňky, pak se rovina označí písmenem n v případě skluzu rovné polovině úhlopříčky nebo d v případě skluzu rovném čtvrtina úhlopříčky (toto je možné pouze v případě, že je úhlopříčka vystředěná). Roviny n a d se také nazývají klínové roviny. Roviny d se někdy nazývají diamantové, protože jsou přítomny ve struktuře diamantu (anglicky diamond - diamond).

V některých prostorových skupinách existují roviny, kde klouzání dochází jak podél jedné osy, tak podél druhé osy buňky (to znamená, že rovina je jak a, tak b nebo a a c nebo b a c ). To je způsobeno vystředěním plochy rovnoběžně s rovinou skluzu. V roce 1992 byl pro taková letadla zaveden symbol e . [7] Nikolaj Vasiljevič Belov také navrhl zavést označení r pro roviny se skluzem po prostorové diagonále v romboedrické buňce. Rovina r se však vždy shoduje s běžnými zrcadlovými rovinami a termín se neujal.

Notace

Číslování

Krystalografické (prostorové) grupy se všemi jejich inherentními prvky symetrie jsou shrnuty v mezinárodní referenční knize International Tables for Crystallography , kterou vydala Mezinárodní unie krystalografie . Je povoleno používat číslování uvedené v této příručce. Skupiny jsou číslovány od 1 do 230 v pořadí rostoucí symetrie.

Symbolika Hermana-Mogena

Symbol prostorové skupiny obsahuje symbol Bravaisovy mřížky (velké písmeno P, A, B, C, I, R nebo F) a mezinárodní symbol skupiny bodů. Symbol Bravaisovy mřížky označuje přítomnost dalších translačních uzlů uvnitř elementární buňky: P (primitivní) — primitivní buňka; A, B, C (A-střed, B-střed, C-střed) - další uzel ve středu plochy A, B nebo C; I (I-centred) - tělo-centrováno (další uzel ve středu buňky), R (R-centered) - tělo-centrováno dvakrát (dva další uzly na hlavní diagonále elementární buňky), F (F- na střed) - na střed (další uzly ve středech všech ploch).

Mezinárodní symbol skupiny bodů je obecně tvořen třemi symboly označujícími prvky symetrie odpovídající třem hlavním směrům v krystalové buňce. Prvek symetrie odpovídající směru se rozumí buď osa symetrie procházející tímto směrem, nebo rovina symetrie k ní kolmá, nebo obojí (v tomto případě jsou zapsány zlomkem, například 2/c je osa symetrie 2. řádu a rovina odrazu pastvy na ni kolmá s posunem ve směru c ). Hlavní směry jsou:

směry základních vektorů buňky v případě triklinické, monoklinické a rombické syngonie;
směr osy 4. řádu, směr jednoho ze základních vektorů na základně základní buňky a směr podél úhlopříčky základny buňky v případě tetragonální syngonie;
směr osy 3. řádu nebo 6. řádu, směr jednoho ze základních vektorů na bázi elementární buňky a směr vektoru podél úhlopříčky elementární buňky v úhlu 60° k předchozí jeden v případě šestiúhelníkového systému (sem patří také trigonální systém, který je v tomto případě dán hexagonální orientací základní buňky);
směr jednoho ze základních vektorů, směr podél prostorové úhlopříčky elementární buňky a směr podél osy úhlu mezi základními vektory.

Hermann-Mogenovy symboly se obvykle zkracují škrtnutím označení chybějících prvků symetrie v jednotlivých směrech, když tím nevznikají nejednoznačnosti, např. místo P411 píší P4. Při absenci nejednoznačnosti jsou také vynechána označení os druhého řádu, která jsou kolmá k rovině symetrie, např. C nahraďte . ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $Cmmm$

Symbol Schoenflies

Symbol Schoenflies definuje třídu symetrie (hlavní symbol a dolní index) a podmíněné číslo skupiny v rámci této třídy (horní index).

C n - cyklické skupiny - skupiny s jediným speciálním směrem reprezentovaným rotační osou symetrie - se označují písmenem C , přičemž dolní index n odpovídá řádu této osy.

S ni -skupinami s jedinou inverzní osou symetrie následuje dolní index i .
C nv (z němčiny vertikální - vertikální) - má také rovinu symetrie umístěnou podél jediné nebo hlavní osy symetrie, která je vždy považována za vertikální.
C nh (z němčiny horizontální - horizontální) - má také rovinu souměrnosti kolmou na hlavní osu souměrnosti.

S 2 , S 4 , S 6 (z německého spiegel - zrcadlo) - skupiny s jedinou zrcadlovou osou symetrie.

C s - pro rovinu neurčité orientace, to znamená nepevnou kvůli absenci jiných prvků symetrie ve skupině.

D n - je skupina C n s dalšími n osami symetrie druhého řádu, kolmými k původní ose.

D nh - má také horizontální rovinu symetrie.
D nd (z němčiny diagonal - diagonal) - má také vertikální diagonální roviny symetrie, které jdou mezi osami symetrie druhého řádu.

O, T - grupy symetrie s více osami vyššího řádu - grupy kubické syngonie. Označují se písmenem O, pokud obsahují celou množinu os symetrie osmistěnu, nebo písmenem T, pokud obsahují úplnou množinu os symetrie čtyřstěnu.

O h a T h - obsahují také vodorovnou rovinu symetrie
T d - obsahuje také diagonální rovinu symetrie

n může být 1, 2, 3, 4, 6.

Historie

Vznik teorie krystalografických grup je spojen se studiem symetrie ornamentů ( ) a krystalových struktur ( ). Klasifikace všech planárních (dvourozměrných) a prostorových (trojrozměrných) krystalografických skupin byla získána nezávisle Fedorovem (1885), Schoenfliesem (1891) a Barlowem (1894). Hlavní výsledky pro multidimenzionální krystalografické skupiny byly získány Bieberbachem [8] . $n=2$ $n=3$

Viz také

Poznámky

↑ Skupiny tapet – od Wolframa MathWorld . Získáno 8. května 2013. Archivováno z originálu 2. června 2013. (neurčitý)
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek a H. Zassenhaus, Krystalografické skupiny čtyřrozměrného prostoru. Wiley, NY, 1978, str. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier a H. Wondratschek, Opravy krystalografických skupin čtyřrozměrného prostoru Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Archivováno 18. ledna 2012 u Wayback Machine
↑ Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, ed. Moskevská státní univerzita, 1992, strana 22.
↑ T. Janssen, JL Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams a T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Krystalografické algoritmy a tabulky", Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson, & S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.

Literatura

J. Wolf, Prostory konstantní křivosti. Překlad z angličtiny. Moskva: "Nauka", Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1982.
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaja, Teorie krystalové symetrie, M. GEOS, 2000 (dostupné on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Krystalografická skupina // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 106-108. - 1184 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
Kovalev O.V. Neredukovatelné a indukované reprezentace a prezentace Fedorovových skupin. - M. : Nauka, 1986. - 368 s.

Odkazy

Vesmírná skupina - článek z Velké sovětské encyklopedie .