Kombinatorická geometrie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. června 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Kombinatorická nebo diskrétní geometrie je odvětví geometrie , které studuje kombinatorické vlastnosti geometrických objektů a souvisejících konstrukcí. V kombinatorické geometrii uvažují o konečných a nekonečných diskrétních množinách nebo strukturách základních geometrických objektů stejného typu ( body , přímky , kružnice , mnohoúhelníky , tělesa se stejným průměrem , celočíselné mřížky atd.) a kladou otázky týkající se vlastností různé geometrické struktury z těchto objektů nebo na těchto strukturách. Problémy kombinatorické geometrie sahají od specifických "objektových" - kombinatorických otázek (ačkoli ne vždy s jednoduchými odpověďmi) - teselace , uspořádání kruhů v rovině , Pickova formule - až po obecné a hluboké otázky, jako je Borsukova domněnka , Nelson- Erdős-Hadwiger problém .

Historie

Ačkoli polyhedra , obklady a balení koulí studovali Kepler a Cauchy , moderní kombinatorická geometrie se začala formovat na konci 19. století. Některé z prvních problémů byly: hustota uspořádání kružnic od Axela Thue , projektivní konfigurace Steinitze , geometrie Minkowského čísel a problém čtyř barev od Francise Guthrieho .

Příklady problémů

Následující příklady poskytují představu o rozsahu problémů v kombinatorické geometrii.

Vitaliho krycí lemma je kombinatorický geometrický výsledek. Široce používané v teorii míry.

Problém možných a nejhustších shluků kruhů v rovině a koulí ve vesmíru . Nejhustší shluky kruhů a koulí se zdají být zřejmé. Ale úplný matematický důkaz pro kruhy byl získán až v roce 1940 [1] . Pro míče se počítačový důkaz Keplerovy domněnky objevil o 400 let později v roce 1998 v práci matematika Thomase Halese

Erdős-Szekeresova věta o konvexních polygonech říká, že v každé dostatečně velké množině bodů v obecné poloze v rovině lze najít body, které jsou vrcholy konvexního mnohoúhelníku. Erdős-Szekeresova domněnka o minimálním počtu bodů, které nutně obsahují konvexní -gon, nebyla dodnes prokázána. Tento problém je také problémem Ramseyho teorie . $n$ $n$

Minkowského věta o konvexním těle . Dovolit být uzavřené konvexní tělo , symetrické vzhledem k počátku souřadnic- rozměrný euklidovský prostor, který má objem . Pak existuje celá tečka odlišná od . Tato věta označila začátek geometrie čísel . $S$ $Ó$ $n$ $\geq 2^{n}$ $S$ $Ó$

Borsukův dohad uvádí, že jakékoli těleso o průměru v - rozměrném euklidovském prostoru lze rozdělit na části tak, že průměr každé části je menší než . Tato domněnka byla prokázána pro dimenze a , ale vyvrácena pro prostory vysoké dimenze. Podle dnes známého odhadu je nesprávný pro prostory dimenze 64 a více [2] . $d$ $n$ $n+1$ $d$ $2$ $3$

Danzer-Grunbaumův problém spočívá v nalezení konečné množiny co nejvíce bodů ve vícerozměrném prostoru, mezi kterými lze sestrojit pouze ostré úhly.

Viz také

Poznámky

↑ Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), Jednoduchý důkaz Thueovy věty o kruhovém balení, arΧiv : 1009.4322v1 [math.MG].
↑ Thomas Jenrich, 64rozměrný dvouvzdálený protipříklad k Borsukově domněnce Archivováno 26. prosince 2018 na Wayback Machine

Odkazy

Bezděk, Andraš; Kuperberg, W. Diskrétní geometrie: na počest 60. narozenin W. Kuperberga (anglicky) . — New York, NY: Marcel Dekker, 2003. - ISBN 0-8247-0968-3 .
Bezděk, Karoly. Klasická témata v diskrétní geometrii (neurčité) . — New York, NY: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4 .
Mosaz, Petr; Moser, William; Pach, JánošVýzkumné problémy v diskrétní geometrii (neurčité) . - Berlin: Springer, 2005. - ISBN 0-387-23815-8 .
Pach, Jánoš; Agarwal, Pankaj K. Kombinatorická geometrie (neurčitá) . — New York: Wiley-Interscience , 1995. — ISBN 0-471-58890-3 .
Goodman, Jacob E. a O'Rourke, Joseph. Příručka diskrétní a výpočetní geometrie, druhé vydání . - Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. - ISBN 1-58488-301-4 .
Gruber, Peter M. Konvexní a diskrétní geometrie. - Berlin: Springer, 2007. - ISBN 3-540-71132-5 .
Matoušek, Jiří. Přednášky o diskrétní geometrii. - Berlin: Springer, 2002. - ISBN 0-387-95374-4 .
Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Exkurze do kombinatorické geometrie (neopr.) . - Springer, 1997. - ISBN 3-540-61341-2 .

V bibliografických katalozích	GND : 4130271-0 J9U : 987007539732105171 LCCN : sh2002004432 NKC : ph187935