Kramers-Kronigovy vztahy

Kramers-Kronigovy vztahy jsou integrálním spojením mezi reálnou a imaginární částí jakékoli komplexní funkční analýzy v horní polorovině. Ve fyzice se často používá k popisu vztahu mezi skutečnými a imaginárními částmi funkce odezvy fyzikálního systému, protože analyticita funkce odezvy znamená, že systém splňuje princip kauzality a naopak [1] . Konkrétně Kramersovy–Kronigovy vztahy vyjadřují vztah mezi reálnou a imaginární částí permitivity v klasické elektrodynamice a amplitudou pravděpodobnosti přechodu ( maticového prvku ) mezi dvěma stavy v kvantové teorii pole . V matematice jsou Kramers-Kronigovy vztahy známé jako Hilbertova transformace .

Definice

Pro komplexní funkci komplexní proměnné , která je analytická v horní polorovině a má tendenci k nule, protože Kramers-Kronigovy vztahy jsou zapsány následovně: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega)$ $\omega ,$ $\omega$ $|\omega |\rightarrow \infty ,$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}{\chi _{1}(\omega ' ) \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

kde symboly znamenají převzetí integrálu ve smyslu hlavní hodnoty (podle Cauchyho) . Je vidět, že a nejsou nezávislé, což znamená, že úplnou funkci lze obnovit, pokud je dána pouze její skutečná nebo imaginární část. $vp$ $\chi _{1}(\omega )$ $\chi _{2}(\omega )$

V kompaktnější podobě:

\chi (\omega )={1 \over i\pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega } \,d\omega '.

Závěr

Dovolit být spojitá funkce komplexní proměnné . Pojďme odhadnout součet integrálů přes vrstevnice trochu nad a trochu pod skutečnou osou: $f(x)$ $X$

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}+\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\ infty -i\epsilon }^{\infty -i\epsilon }{\frac {f(x'+i\epsilon )dx'}{x'}}+\int _{-\infty +i\epsilon }^ {\infty +i\epsilon }{\frac {f(x'-i\epsilon )dx'}{x'}}\right]=2v.p.\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx

Odhadněme rozdíl integrálů přes obrysy trochu nad a trochu pod skutečnou osou:

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}-\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\oint _{-\infty }^{\infty }{\frac {f( x)}{x}}dx=2\pi if(0)

( Cauchyho integrální vzorec ). Spojením těchto dvou rovností zjistíme

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x\pm i\epsilon }}=vp\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx\mp i\pi f(0)

Toto je Sochocki-Plemeljova věta .

Polarizace v určitém okamžiku je určena hodnotami elektrického pole pouze v předchozích bodech času, proto nám rovnost polarizace na nulu pro záporné hodnoty argumentu umožňuje psát: $\chi (t)$

\chi _{\omega }=\int _{0}^{\infty }e^{i\omega t}\chi (t)dt

v případě komplexní frekvence musí být funkce analytická v horní polorovině, aby byl splněn princip kauzality . Ale pak funkce , kde je skutečná, je také analytická v horní polorovině a jakýkoli integrál uzavřený v této polorovině je roven nule: $\chi (\omega )$ $\chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ $\omega$ $\omega '$

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0

Integrál zapíšeme podél reálné osy pomocí Sochockiho-Plemeiova teorému:

0=\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P))\!\!\!\int \limits _{ -\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).

pak

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi ( \omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.

Pro komplexní napíšeme skutečné a imaginární části rovnice: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega)$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{ \chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty } {\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

kde - integrál se bere ve smyslu hlavní hodnoty. Získají se Kramers-Kronigovy vztahy [2] [3] . ${\mathcal {P}}$

Kramers-Kronigovy vztahy ve fyzice

Klasická elektrodynamika [4] [5]

Důležitým příkladem aplikace Kramersových–Kronigových vztahů ve fyzice je vyjádření disperzních vztahů v klasické elektrodynamice . V tomto případě , kde je permitivita , ω je frekvence . $\varepsilon (\omega )=\varepsilon ^{\prime } (\omega )+i\varepsilon ^{{\prime \prime }} (\omega )$ $\varepsilon$

\varepsilon ^{\prime }(\omega )=1+{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }(x)}{x-\omega }}dx

\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\frac { \varepsilon ^{\prime }(x)-1}{x-\omega }}dx.

Reálná a imaginární část permitivity určuje index lomu a index absorpce (optické konstanty) daného prostředí. Tyto indikátory tedy nejsou na sobě nezávislé a v důsledku toho je v zásadě možné vypočítat spektrum druhého ze spektra jedné z optických konstant, aniž by bylo nutné se uchylovat k přímému měření druhé. V řadě případů to umožňuje snížit množství experimentálně získaných informací nezbytných pro stanovení optických konstant, například v oblasti intenzivních absorpčních pásů kondenzovaných médií. Proveditelnost Kramers-Kronigových vztahů byla opakovaně experimentálně testována pro různá média v různých stavech agregace a při různých teplotách (krystaly, kapaliny, roztoky) [6] [7] .

Kvantová teorie pole

V kvantové teorii pole, při studiu rozptylových procesů, amplitudy pravděpodobností přechodu, uvažované jako komplexní funkce celkové energie systému, přenesené hybnosti atd., splňují disperzní vztahy [3] . To značně usnadňuje studium těchto jevů.

Historie

Vztahy Kramers-Kronig byly navázány v letech 1926-1927. Ralph Kronig [8] a Hendrik Kramers [9] a jsou po nich pojmenováni.

Poznámky

↑ John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations , Physical Review, sv. 104 , str. 1760-1770 (1956).
↑ Jackson. "Klasická elektrodynamika". Moskva, Mir, 1965. (Angl: Jackson J. Classical Electrodynamics. — New York: Wiley, 1998
↑ 1 2 Nishijima, 1965 , str. 153.
↑ Martin P. Součtová pravidla Kramers – Kronigovy vztahy a transportní koeficienty v nabitých systémech // Phys. Rev. . - 1967. - T. 161 . - S. 143 .
↑ Agranovich V. M., Ginzburg V. L. Krystalová optika s přihlédnutím k prostorové disperzi a teorii excitonu. - M. , 1979.
↑ Alperovich L. I., Bakhshiev N. G., Zabiyakin Yu. E., Libov V. S. Kramers-Kronigovy vztahy pro molekulová spektra kapalin a roztoků // Optics and Spectroscopy . - 1968. - T. 24 . - S. 60-63 .
↑ Zabiyakin Yu.E. Ověření Kramers-Kronigových disperzních vztahů v širokém teplotním rozsahu // Optika a spektroskopie . - 1968. - T. 24 . - S. 828-829 .
↑ R. de L. Kronig, K teorii rozptylu rentgenového záření, J. Opt. soc. Am., sv. 12 , str. 547-557 (1926).
↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Internovat. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, sv. 2 , str. 545-557 (1927).

Literatura

Matthews J., Walker R. Matematické metody ve fyzice / Per. z angličtiny. — M.: Atomizdat , 1972. — 392 s.
Barton G. Disperzní metody v teorii pole / Per. z angličtiny. - M., 1968.
Nishijima K. Základní částice. - M .: Mir, 1965. - 462 s.