Diferenciální rovnice Lagrangeovy a Clairautovy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. června 2016; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Diferenciální rovnice je vztah, který spojuje proměnnou , požadovanou funkci a její deriváty , tedy vztah ve tvaru: $X$ $y$

$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

Diferenciální rovnice nacházejí nejširší uplatnění v různých oblastech vědy a techniky. Vznikají při řešení problémů, kdy je vytvořen vztah mezi funkcí proměnné a jejími derivacemi. $y$ $X$

Lagrangeova diferenciální rovnice

Uvažujme diferenciální rovnici prvního řádu následujícího tvaru

$y=x\varphi (y')+\psi (y')$

kde a jsou známé funkce , a předpokládáme, že funkce se liší od . Tento typ rovnice se nazývá Lagrangeova rovnice. Je lineární s ohledem na proměnné a . $\varphi$ $\psi$ $y'$ $\varphi (y')$ $y'$ $X$ $y$

Takovou diferenciální rovnici je třeba vyřešit, jak se říká, zavedením pomocného parametru. Pojďme najít jeho obecné řešení zavedením parametru . Potom lze rovnici zapsat takto: $y'=p$

$y=x\varphi (p)+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(jeden)$

Všimněte si, že rozlišujeme obě strany této rovnice s ohledem na : $p={dy\over dx}$ $X$

${\displaystyle p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Pojďme to transformovat do

${\displaystyle p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Dokonce i nyní lze najít některá řešení z této rovnice, pokud si všimnete, že se změní na skutečnou rovnost pro jakoukoli konstantní hodnotu , splňující podmínku . Opravdu, pro jakoukoli konstantní hodnotu , derivace shodně zmizí, a pak mohou být obě strany rovnice rovny nule. ${\displaystyle p=p_{0))$ $p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ $p$ ${\displaystyle {dp \over dx))$

Řešení odpovídající každé hodnotě , tj. , je lineární funkcí , protože derivace , je konstantní pouze pro lineární funkce . K nalezení této funkce stačí dosadit hodnotu do equality , tzn ${\displaystyle p=p_{0))$ ${dy \over dx}=p_{0}$ $X$ ${dy \over dx}$ $(jeden)$ ${\displaystyle p=p_{0))$

$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Pokud se ukáže, že toto řešení nelze získat z obecného pro žádnou hodnotu libovolné konstanty, pak se bude jednat o speciální řešení .

Pojďme nyní najít obecné řešení. K tomu zapíšeme rovnici ve tvaru $(2)$

${\displaystyle {dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)))$

a budeme uvažovat jako funkci . Výsledná rovnice pak není nic jiného než lineární diferenciální rovnice s ohledem na funkci . Když to vyřešíme, najdeme $X$ $p$ $X$ $p$

$x=\omega (p,C)$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

Vyloučení parametru z rovnic a nalezení obecného integrálu rovnice ve tvaru $p$ $(jeden)$ $(3)$ $(jeden)$

$\Phi (x,y,C)=0$ .

Clairautova diferenciální rovnice

Uvažujme diferenciální rovnici následujícího tvaru

$y=xy'+\psi (y')$ $\longleftrightarrow$ $(jeden)$

Taková rovnice se nazývá Clairautova rovnice.

Je snadné vidět, že Clairautova rovnice je speciálním případem Lagrangeovy rovnice, když . Integruje se stejným způsobem zavedením pomocného parametru. $\varphi (y')=y'$

Nechte _ Pak $y'={dy \over dx}=p$

$y=xp+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Tuto rovnici diferencujeme vzhledem k , stejným způsobem jako u Lagrangeovy rovnice, přičemž si všimneme , že píšeme $X$ $p={dy\over dx}$

${\displaystyle p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx))$

Pojďme to transformovat do

$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$

Přirovnáme-li každý faktor k nule, dostaneme

${dp \over dx}=0$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

$[x+\psi '(p)]=0$ $\longleftrightarrow$ $(čtyři)$

Integrací rovnice dostaneme . Dosaďte hodnotu v rovnici a najděte její společný integrál $(3)$ $p=C=const$ $p$ $(2)$

$y=xC+\psi (C)$ $\longleftrightarrow$ $(5)$

Geometricky je tento integrál rodinou přímek . Pokud najdeme z rovnice jako funkci , pak ji dosadíme do rovnice , pak dostaneme funkci $(čtyři)$ $p$ $X$ $(2)$

$y=xp(x)+\psi[p(x)]$ $\longleftrightarrow$ $(6)$

Což, jak lze snadno ukázat, je řešením rovnice . Vskutku, na základě rovnosti nacházíme $(jeden)$ $(čtyři)$

${\displaystyle {dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Ale od té doby . Dosazením funkce do rovnice tedy získáme identitu $[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ ${dy \over dx}=p$ $(6)$ $(jeden)$

$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$ .

Řešení se nezíská z obecného integrálu pro žádnou hodnotu libovolné konstanty . Toto řešení je speciální řešení, které je získáno eliminací parametru z rovnic $(6)$ $(5)$ $C$ $p$

$y=xp+\psi (p)$ a $x+\psi '(p)=0$

nebo, co je jedno, výjimka z rovnic $C$

$y=xC+\psi (C)$ a $x+\psi '(C)=0$

Speciální řešení Clairautovy rovnice proto určuje obálku rodiny čar dané obecným integrálem . $(5)$

Aplikace Clairautovy rovnice.

Geometrické problémy jsou přivedeny do Clairautovy rovnice, kde je požadováno určit křivku podle dané vlastnosti její tečny a tato vlastnost by se měla vztahovat k tečně samotné a ne k bodu tečny. Ve skutečnosti má tečná rovnice tvar

$Yy=y'(Xx)$