Tečna

Tečna je přímka procházející bodem křivky a splývající s ním v tomto bodě až do prvního řádu.

Přísná definice

Nechť je funkce definována v nějakém okolí bodu , a je v něm diferencovatelná : . Tečna ke grafu funkce v bodě je grafem lineární funkce , daná rovnicí $f\dvojtečka U(x_{0})\podmnožina {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}} (x_{0})$ $F$ $x_{0}$ $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in {\mathbb {R))$ .
Pokud má funkce v bodě nekonečnou derivaci , pak tečnou v tomto bodě je svislá přímka daná rovnicí $F$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty,$ $x=x_{0}.$

Poznámka

Z definice přímo vyplývá, že graf tečny prochází bodem . Úhel mezi tečnou ke křivce a osou x splňuje rovnici $(x_{0},f(x_{0}))$ $\alpha$

\operatorname {tg}\,\alpha =f'(x_{0})=k,

kde označuje tečnu a je koeficient sklonu tečny. Derivace v bodě se rovná sklonu tečny ke grafu funkce v tomto bodě. $\operatorname {tg}$ $\operatorname {k}$ $x_{0}$ $y = f(x)$

Tečna jako mezní poloha sečny

Nechť a Potom přímka procházející body a je dána rovnicí $f\dvojtečka U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_{1}\v U(x_{0}).$ $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_{1},f(x_{1}))$

y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}) .

Tato přímka prochází bodem pro libovolný a její sklon splňuje rovnici $(x_{0},f(x_{0}))$ $x_{1}\v U(x_{0}),$ $\alpha (x_{1})$

\operatorname {tg}\,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

Na základě existence derivace funkce v bodě , přechodem do limity v bodě dostaneme , že existuje limita $F$ $x_0,$ $x_{1}\to x_{0},$

\lim \limits _{{x_{1}\to x_{0}}}\jméno operátora {tg}\,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),

a kvůli spojitosti arkus tangens a omezujícího úhlu

\alpha =\jméno operátora {arctg}\,f'(x_{0}).

Přímka procházející bodem a mající limitní úhel sklonu, který vyhovuje, je dána rovnicí tečny: $(x_{0},f(x_{0}))$ $\operatorname {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Tečna ke kružnici

Přímka , která má jeden společný bod s kružnicí a leží s ní ve stejné rovině, se nazývá tečna ke kružnici .

Vlastnosti

Tečna ke kružnici je kolmá na poloměr nakreslený k bodu dotyku.
Úseky tečen ke kružnici nakreslené z jednoho bodu jsou stejné a svírají stejné úhly s přímkou procházející tímto bodem a středem kružnice.
Délka segmentu tečny nakresleného ke kružnici o jednotkovém poloměru, braná mezi bodem tečnosti a průsečíkem tečny s paprskem nakresleným ze středu kružnice, je tečnou úhlu mezi tímto paprskem. a směr od středu kruhu k bodu tečnosti. "Tangens" z lat. tangens - "tangens".

Variace a zobecnění

Jednostranné polotečny

Pokud existuje pravá derivace, pak se pravá polovina tečny ke grafu funkce v bodě nazývá paprsek $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$ $F$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.

Pokud existuje levá derivace, pak se levá polovina tečny ke grafu funkce v bodě nazývá paprsek $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$ $F$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.

Pokud existuje nekonečná pravá derivace, pak se pravá polovina tečny ke grafu funkce v bodě nazývá paprsek $f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty),$ $F$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).

Pokud existuje nekonečná levá derivace, pak se pravá polovina tečny ke grafu funkce v bodě nazývá paprsek $f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty),$ $F$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).

Viz také

Literatura

Toponogov VA Diferenciální geometrie křivek a ploch. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Tangent // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.