Duše (diferenciální geometrie)

Duše Riemannovy manifoldy je kompaktní , totálně konvexní , totálně geodetická submanifold , což je její deformace se zatahující .

Obvykle se předpokládá, že  jde o kompletní připojený Riemannův rozdělovač s průřezovým zakřivením K  ≥ 0.

Příklady

• Každé kompaktní potrubí je jeho duší.

• Euklidovský prostor R n má za duši jakýkoli bod .

• Paraboloid má M = {( x , y , z ) : z = x 2 + y 2 }, počátkem (0,0,0) je duše M . Navíc žádný bod x patřící k M není jeho duší, protože mohou existovat geodetické smyčky začínající v bodě x .

• Pro nekonečný válec M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} je libovolný "vodorovný" kruh {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} s pevným z duše M. _

Historie

Termín duše zavedli Cheeger a Gromol v roce 1972 [1] v článku, kde zejména dokázali větu o duši . Věta zobecnila dřívější Gromolovu a Meyerovu větu [2] . Ve stejném článku Cheeger a Gromol formulovali hypotézu duše . Krátký důkaz této domněnky podal Grigory Perelman [3] v roce 1994 .

Vlastnosti

Níže předpokládáme, že  se jedná o kompletní připojený Riemannův rozdělovač se zakřivením průřezu K  ≥ 0.

• Věta o duši říká: Každý ( M ,  g ) má duši S. Kromě toho je varieta M difeomorfní k normálnímu svazku přes S .
• Duše není obecně jednoznačně definována rozmanitostí ( M ,  g ), ale jakékoli dvě duše ( M ,  g ) jsou izometrické . To druhé dokázal Sharafutdinov v roce 1979 [4] konstrukcí tzv. Sharafutdinovovy retrakce ; toto je 1-Lipschitzovo deformační zatažení .

• Sharafutdinov retrakce je Riemannian ponoření . Zejména, pokud má alespoň jeden bod s přísně pozitivním sekčním zakřivením, pak jeho duší je bod a varieta sama je homeomorfní k euklidovskému prostoru.

Související otevřené otázky

• Dohad o dvojité duši uvádí [5] , že každé kompaktní potrubí nezáporného sekčního zakřivení může být pokryto dvěma svazky disků.

Poznámky

1. ↑ Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), O struktuře úplných variet nezáporného zakřivení , Annals of Mathematics. Druhá série T. 96: 413-443, MR : 0309010 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970819 
2. ↑ Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), O úplných otevřených varietách pozitivního zakřivení , Annals of Mathematics. Druhá série T. 90: 75-90, MR : 0247590 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970682 
3. ↑ Perelman, Grigori (1994), Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll , Journal of Differential Geometry vol . 40(1): 209-212, MR : 1285534 , ISSN 0022-040X , < http://www.intlpress .com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf > . Získáno 23. července 2011. Archivováno 23. července 2011 na Wayback Machine 
4. ↑ Sharafutdinov, VA (1979), O konvexních množinách v manifoldu nezáporného zakřivení , Mat. poznámky T. 26 (1): 129-136 
5. ↑ K. Grove, Geometrie a prostřednictvím symetrií