Planckův vzorec

Planckův vzorec (Planckův zákon ) je vzorec, který popisuje spektrální hustotu záření , které je vytvářeno absolutně černým tělesem o určité teplotě . Vzorec objevil Max Planck v roce 1900 a pojmenoval jej podle svého příjmení. Její objev provázel vznik hypotézy , že energie může nabývat pouze diskrétních hodnot. Tato hypotéza nebyla po nějakou dobu po objevu považována za významnou, ale obecně se má za to, že dala zrod kvantové fyzice .

Vzorec

Planckův vzorec je výraz pro spektrální hustotu záření vytvořeného absolutně černým tělesem o určité teplotě . Existují různé formy zápisu tohoto vzorce [1] [2] .

Energetický jas

Vzorec vyjadřující spektrální hustotu záření je následující [3] :

B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\ nu }{kT}}-1}},

kde je frekvence záření , je teplota absolutně černého tělesa, je Planckova konstanta , je rychlost světla , je Boltzmannova konstanta . V soustavě SI má veličina v tomto vzorci rozměr W m −2 · Hz −1 · sr −1 . Jeho fyzikální význam je energetický jas v malém frekvenčním rozsahu dělený . Lze použít podobný vzorec, ve kterém je záření funkcí vlnové délky spíše než frekvence [3] [4] : $\nu$ $T$ $h$ $C$ $k$ ${\displaystyle B_{\nu ))$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $d\nu$ $\lambda$

B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{ \lambda kT}}-1}}

V tomto případě má rozměr W·m −2 ·m −1 · sr −1 a odpovídá záření v malém rozsahu vlnových délek děleno [3] [4] . ${\displaystyle B_{\lambda ))$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\lambda$

Emisivita

Emisivita při frekvenci nebo vlnové délce je zářivý výkon na jednotku plochy v rozsahu frekvencí nebo vlnových délek dělený nebo . Dá se vyjádřit pomocí vzorců [5] : $\nu$ $\lambda$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\nu$ $d\lambda$

\varepsilon _{\nu }(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{ \frac {h\nu }{kT}}-1}}

\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\ frac {hc}{\lambda kT}}-1}}

Emisivita tělesa je tedy číselně krát větší než jas, pokud je prostorový úhel v něm měřen ve steradiánech . Veličiny a mají rozměry W m −2 Hz −1 a W m −2 m −1 [5] . $\pi$ ${\displaystyle \varepsilon _{\nu ))$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda ))$

Spektrální hustota energie

Jiná forma zápisu popisuje spektrální objemovou hustotu energie záření černého tělesa. Analogicky k předchozím vzorcům se rovná hustotě energie v malém rozsahu frekvencí nebo vlnových délek, dělené šířkou tohoto rozsahu [1] [2] :

u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

u_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5))}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}

V soustavě SI se veličiny a rozměry rovnají J m −3 Hz −1 a J m −3 m −1 [1] [2] . Navíc spektrální hustota energie souvisí s emisivitou poměrem [6] . ${\displaystyle u_{\nu ))$ ${\displaystyle u_{\lambda ))$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Použitelnost

Planckův vzorec je použitelný pro záření, které je v tepelné rovnováze s hmotou při určité teplotě [2] . Je použitelný pro absolutně černá tělesa jakéhokoli tvaru bez ohledu na složení a strukturu za předpokladu, že rozměry vyzařujícího tělesa a detaily jeho povrchu jsou mnohem větší než vlnové délky, na kterých těleso převážně vyzařuje [3] [7] .

Pokud těleso není absolutně černé, pak spektrum jeho rovnovážného tepelného záření není popsáno Planckovým zákonem, ale je s ním spojeno Kirchhoffovým zákonem o záření . Podle tohoto zákona je poměr vyzařovacích a absorpčních schopností tělesa stejný pro všechny vlnové délky a závisí pouze na teplotě [8] . Takže například při stejné teplotě bude rozložení energie ve spektru absolutně šedého tělesa stejné jako ve spektru absolutně černého tělesa, ale celkový energetický jas záření bude menší [9] .

Planckův vzorec se také používá k popisu skutečných těles, jejichž spektrum záření se liší od Planckova. K tomu je zaveden koncept efektivní tělesné teploty: jedná se o teplotu, při které zcela černé těleso vyzařuje stejné množství energie na jednotku plochy jako dané těleso. Podobně se určí teplota jasu , která se rovná teplotě absolutně černého tělesa vyzařujícího stejné množství energie na jednotku plochy při určité vlnové délce, a teplota barvy , která se rovná teplotě absolutně černého tělesa s stejné rozložení energie v určité části spektra [2] [10] [11 ] . Například pro Slunce je efektivní teplota asi 5780 K a teplota jasu v závislosti na vlnové délce nabývá různých hodnot: při vlnové délce 1500 Å dosahuje minimální hodnoty 4200 K a ve viditelné oblasti při vlnové délce 5500 Å je to asi 6400 K, přičemž pro absolutně černé těleso jsou takto určené teploty stejné [12] .

Historie objevů

Pozadí

Definice zákona tepelného záření je zajímavá od roku 1859, kdy Gustav Kirchhoff objevil Kirchhoffův zákon záření , podle kterého je poměr emisivity a pohltivosti univerzální pro všechna tělesa. Vyzařovací funkce černého tělesa , jehož pohltivost je rovna jednotce pro všechny vlnové délky, se proto musí shodovat s funkcí tohoto poměru [13] [14] .

Koncem 19. století bylo již experimentálně známé spektrum záření černého tělesa. V roce 1896 to Wilhelm Wien empiricky popsal Wienovým radiačním zákonem , ale fyzici v té době nemohli získat ani jeho teoretické odůvodnění, ani žádný závěr. Ačkoli Wien poskytl ospravedlnění pro zákon ve své práci, nebylo dostatečně přísné, aby byl tento problém považován za vyřešený [6] [15] [16] .

Max Planck byl jedním z těch, kteří se pokusili teoreticky doložit Wienův zákon záření. Vycházel ze skutečnosti, že emitory jsou lineární harmonické oscilátory , ve kterých byla vytvořena rovnováha mezi emisí a absorpcí; poté, co určil vztah mezi entropií a energií oscilátorů, byl schopen potvrdit Wienův radiační zákon [17] .

Další experimenty však ukázaly, že Wienův radiační zákon přesně nepopisuje spektrum tepelného záření v oblasti dlouhých vln. V říjnu 1900 představil Planck vzorec, který se v rámci konstant shodoval s Planckovým moderním zákonem. Téhož dne se zjistilo, že vzorec dobře popisuje experimentální data, ale zároveň nemá žádný teoretický základ. Planck to odvodil pouze na základě toho, že v limitním případě pro krátké vlny by měl jít do Wienova zákona, ale na rozdíl od něj být konzistentní s experimentálními daty pro dlouhé vlny [18] .

Objev

Méně než dva měsíce po oznámení o přijetí vzorce představil Planck svůj teoretický závěr na setkání Německé fyzikální společnosti . Použil vztah pro entropii zavedený Ludwigem Boltzmannem , který uvažuje o počtu možných mikroskopických stavů systému. Planck, aby mohl použít metody kombinatoriky a odhadnout tak entropii, vycházel z předpokladu, že celková energie se skládá z celého počtu konečných prvků energie - kvant [15] [19] .

Navzdory skutečnosti, že se v tomto odvození objevila kvanta a Planckova konstanta byla zavedena a použita poprvé , ani Planck sám, ani jeho kolegové nepochopili celou hloubku objevu. Planck například věřil, že diskrétnost energie nemá žádný fyzický význam a je pouze matematickou technikou. Ostatní fyzici tomu také nepřikládali žádný význam a nepovažovali tento předpoklad za odporující klasické fyzice . Až po publikaci Hendrika Lorentze v roce 1908 vědecká komunita dospěla k závěru, že kvanta skutečně mají fyzikální význam. Sám Planck později označil zavedení kvant za „akt zoufalství“, způsobený tím, že „za každou cenu je třeba najít teoretické vysvětlení, bez ohledu na to, jak vysoké může být“. Přes to všechno je den, kdy byl Planckův vzorec doložen – 14. prosinec 1900 – považován za narozeniny kvantové fyziky [15] [20] .

Pomocí úvah klasické fyziky odvodili v roce 1900 Lord Rayleigh a v roce 1905 James Jeans Rayleigh-Jeansův zákon . Ke stejnému výsledku nezávisle na nich ve svých dílech dospěl i sám Planck. Odvození tohoto zákona se jen málo lišilo od odvození Planckova zákona (viz níže ), kromě toho, že průměrná energie záření byla vzata rovna , podle teorému o rovném rozdělení energie na stupně volnosti . Z hlediska klasické fyziky o průběhu odvození nebylo pochyb, ale Rayleigh-Jeansův zákon nejenže vážně nesouhlasil s experimentálními daty všude kromě oblasti dlouhých vln, ale také předpovídal nekonečně vysoký radiační výkon při krátké vlny. Tento paradox naznačil, že v klasické fyzice stále existují základní rozpory, a stal se dalším argumentem ve prospěch kvantové hypotézy. Paul Ehrenfest to v roce 1911 poprvé nazval ultrafialovou katastrofou [6] [15] [21] . $\langle \varepsilon \rangle$ $kT$

V roce 1918 získal Max Planck Nobelovu cenu za fyziku , a přestože byl oficiálně oceněn za objev kvant, tento objev úzce souvisel s odvozením Planckova zákona [22] .

Odvození Planckova vzorce

Odvození přes Boltzmannovu distribuci

Planckův vzorec je odvozen následovně [6] .

Při odvození uvažujeme černé těleso malých rozměrů s teplotou , umístěné uvnitř krychle s hranou délky , jejíž vnitřní stěny ideálně odrážejí záření. V důsledku toho bude emise a absorpce světla vyvážená a záření bude rozloženo rovnoměrně po celém vnitřku krychle. Uvnitř krychle bude zachována určitá hustota energie . Potom budeme spektrální hustotu energie nazývat hodnotou rovnající se hustotě energie na jednotkový interval úhlových frekvencí blízkých . $T$ $l$ $u(T)$ $u_{\omega }(\omega ,T)$ $\omega$

Při výběru malé plochy na povrchu černého tělesa si můžete spočítat, kolik energie na ni dopadá. Hustota energie dopadající pod úhlem k normále z prostorového úhlu je rovna , protože záření je rovnoměrně rozloženo ve všech směrech v prostorovém úhlu steradiánů. Světlo se šíří rychlostí , což znamená, že energie dopadá na povrch v čase : $\Delta S$ $\theta$ $d\Omega$ ${\textstyle d{\tilde {u}}=u(T){\frac {d\Omega }{4\pi }}}$ $4\pi$ $C$ $\Delta t$ $dw$

dw=c\,d{\tilde {u}}\,\Delta t\,\Delta S\cos \theta ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\cos \ theta \sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,\Delta S\,\Delta t

Součet energie přicházející ze všech směrů bude tok : $\Phi$

\Phi ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi /2} \cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac {c}{4}}u(T)

Stejné množství energie bude vyzařováno stejnou jednotkovou plochou černého tělesa, což znamená, že poměr bude platný jak pro celý proud, tak pro jakýkoli rozsah frekvencí nebo vlnových délek . ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Protože uvnitř krychle jsou současně přítomny vyzařované i odražené vlny, musí být pole tepelného záření jejich superpozicí, to znamená, že musí mít podobu stojatých elektromagnetických vln . Pro určení jejich parametrů je zaveden kartézský souřadnicový systém podél hran krychle a odpovídající orty . Pro vlnu, která se šíří striktně podél osy , , kde je přirozené číslo : to znamená, že poloviční počet vln musí mít celkovou délku přesně . Vlnový vektor takové vlny je , kde je vlnové číslo , jehož omezení nabývá tvaru . ${\textstyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$ $X$ ${\textstyle l=n_{x}{\frac {\lambda }{2}}}$ ${\displaystyle n_{x))$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle {\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}}$ ${\textstyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda ))}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l))}$

Pro vlny šířící se podél os a je uvažování podobné; vlnu, která se šíří v jakémkoli jiném směru, lze znázornit jako superpozici vln, které se šíří podél os: . Tedy , kde jsou přirozená čísla na sobě nezávislá nebo nuly. Potom je vlnové číslo jakékoli vlny reprezentováno jako a frekvence jako . Každá trojice těchto parametrů odpovídá jedné stojaté vlně. $y$ $z$ ${\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}+k_{y}{\vec {e}}_{y}+k_{z}{\vec {e}}_{z}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l)),k_{y}=n_{y}{\frac {\pi }{l)),k_{z}= n_{z}{\frac {\pi }{l))}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ ${\textstyle k={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\frac {\pi }{l}}{ \sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\pi c}{l)){\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2))} }$

Pomocí bezrozměrné veličiny lze určit počet stojatých vln s frekvencí ne větší než . Toto číslo se rovná počtu kombinací, pro které . Pak to lze odhadnout jako osminu objemu koule s poloměrem : ${\textstyle R={\frac {\omega l}{\pi c))}$ $\omega$ ${\tilde {N}}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ $R^{2}\geq n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}$ ${\tilde {N}}$ ${\textstyle R}$

{\tilde {N}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi R^{3}={\frac {1}{6} }\cdot {\frac {\omega ^{3}l^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac { \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}V,

kde je prostor obsahující záření. Protože elektromagnetické vlny jsou příčné, mohou se v každém směru šířit dvě vlny, polarizované vzájemně kolmo a skutečný počet vln se zdvojnásobí: $PROTI$ $N$

N=2{\tilde {N}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}} }PROTI

Pokud tento výraz odlišíme frekvencí, dostaneme počet stojatých vln s vlnovými délkami v intervalu : $(\omega ;\omega +d\omega )$

dN={\frac {\omega ^{2}d\omega }{\pi ^{2}c^{3))}V

Lze ji brát jako průměrnou energii stojatého elektromagnetického vlnění s frekvencí . Pokud vynásobíme počet stojatých vln a výslednou hodnotu vydělíme a , dostaneme spektrální hustotu energie záření: $\langle \varepsilon \rangle$ $\omega$ $dN$ $\langle \varepsilon \rangle$ $PROTI$ $d\omega$

u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle

Pro další odvození Planckova zákona je nutné vzít v úvahu účinky kvantové fyziky , jmenovitě skutečnost, že energie je vyzařována v konečných částech o velikosti ( je Diracova konstanta); v souladu s tím jsou možné hodnoty energie záření , kde je jakékoli přirozené číslo . Průměrná energie záření je tedy rovna: $E = \hbar \omega$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $\varepsilon _{n}=n\hbar \omega$ $n$ $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}\varepsilon _{n},

kde je pravděpodobnost, že záření bude mít energii rovnou . Pravděpodobnost je popsána Boltzmannovým rozdělením energie $P_{n}$ $\varepsilon_{n}$ s nějakou konstantou : $A$

{\displaystyle P_{n}=Ae^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT))))

Vezmeme-li v úvahu , pravda: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=1}$ $A$

A=\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT}}}\right)^{-1}

Tedy vyjádřeno jako: $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }n\hbar \omega e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT)) }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT))))}=\hbar \omega {\frac {\sum _{ n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }}{\součet _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }}}

Zde . Jmenovatel je rozšířen podle vzorce pro součet geometrické posloupnosti a čitatel je reprezentován jako derivace jmenovatele s ohledem na : ${\textstyle \xi ={\frac {\hbar \omega }{kT))}$ ${\textstyle \xi }$

{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }={\frac {1}{1-e^{-\xi ))))

\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }=-{\frac {dS}{d\xi }}={\frac {e^{-\xi } }{(1-e^{-\xi })^{2}}}

Vyjádření pro průměrnou energii se získá:

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT))-1))

Dosadíme-li do vzorce pro spektrální hustotu energie záření, dostaneme jednu z konečných verzí Planckova vzorce: $\langle \varepsilon \rangle$

u_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {\ hbar \omega }{kT}}-1}}

Poměr umožňuje získat vzorec pro emisivitu [6] : ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

\varepsilon _{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\ frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Pokud vydělíme , dostaneme výraz pro spektrální hustotu jasu [23] : $\pi$

B_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac { \hbar \omega }{kT}}-1}}

Tyto veličiny lze vyjádřit pomocí dalších parametrů, jako je cyklická frekvence nebo vlnová délka . K tomu je třeba vzít v úvahu, že z definice jsou vztahy splněny ( mínus se objevuje kvůli skutečnosti, že frekvence klesá s rostoucí vlnovou délkou) a podobné vzorce pro emisivitu a hustotu energie. Takže, abyste přešli na cyklické frekvence, musíte nahradit (v tomto případě tak ) a vynásobit , pak vzorce budou mít tvar [3] [23] : $\nu$ $\lambda$ $B_{\omega }d\omega =B_{\nu }d\nu$ $B_{\nu }d\nu =-B_{\lambda }d\lambda$ $\omega =2\pi \nu$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $h\nu =\hbar \omega$ ${\textstyle {\frac {d\omega }{d\nu }}=2\pi }$

u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{ kT}}-1}}}

\varepsilon _{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

B_{\nu }={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}} -jeden}}

Podobným způsobem se získají vzorce pro vlnové délky. Po nahrazení a vynásobení [3] [23] : ${\textstyle \nu ={\frac {c}{\lambda ))}$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}=-{\frac {c}{\lambda ^{2))))$

u_{\lambda }={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1 }}

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}}

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}- jeden}}

Odvození pomocí Bose-Einsteinovy statistiky

Pokud je rovnovážné záření považováno za fotonový plyn, lze na něj aplikovat Bose-Einsteinovu statistiku . Určuje průměrný počet částic v kvantovém stavu s energií [24] : $\langle n_{i}\rangle$ $i$ $E_{i}$

\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{kT}}-1}}

Tento vzorec je chemický potenciál plynu. Pro fotonový plyn se rovná nule, takže vzorec pro něj může být reprezentován v následujícím tvaru [24] : $\mu$

\langle n\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Vynásobíme-li průměrný počet fotonů jejich energií , dostaneme stejnou průměrnou energii , jaká je odvozena z Boltzmannova rozdělení. Při dosazení do vzorce pro spektrální hustotu energie získáme Planckův zákon [24] . $\langle n\rangle$ $\hbar \omega$ $\langle \varepsilon \rangle$ ${\textstyle u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle }$

Závěr prostřednictvím spontánní a stimulované emise

Planckův vzorec lze také odvodit z úvahy o mechanismech spontánní a stimulované emise atomů [25] .

Toto odvození, navržené Einsteinem v roce 1916, také uvažuje atomy na energetických úrovních , resp. Potom je počet přechodů z nejvyšší úrovně na nejnižší za jednotku času úměrný a lze jej zapsat jako . Při stimulované emisi je počet přechodů za jednotku času úměrný spektrální hustotě záření na přechodové frekvenci , to znamená, že to lze zapsat jako . Počet přechodů za jednotku času v důsledku absorpce je úměrný a a je zapsán jako [25] . $N_{m}$ $N_{n}$ $E_m$ $E_{n}$ $E_{n}$ $E_m$ $N_{n}$ $A_{n}^{m}N_{n}$ $N_{n}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})$ $N_{m}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{m}^{n}N_{m}u(\omega _{mn})$

Veličiny jsou charakteristikami pouze atomu samotného a vybraných energetických hladin, nazývaných Einsteinovy koeficienty . Pokud je pole záření v rovnováze a má teplotu , pak jsou podmínky podrobné rovnováhy následující [25] : ${\displaystyle A_{n}^{m},B_{n}^{m},B_{m}^{n))$ $T$

A_{n}^{m}N_{n}+B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})=B_{m}^{n}N_{m} u(\omega _{mn})

V limitu lze spontánní emisi zanedbat ve srovnání se stimulovanou emisí a pak rovnovážná podmínka nabude tvaru . Protože kdy bude splněno a Einsteinovy koeficienty nezávisí na teplotě, bude rovnost true , což platí pro jednoduché úrovně; pro více úrovní je třeba dodatečně zohlednit koeficienty násobnosti. V budoucnu lze uvažovat pouze o jednoduchých úrovních, protože hustota energie záření nezávisí na detailech struktury hmoty [25] . $T\rightarrow\infty$ ${\displaystyle B_{n}^{m}N_{n}=B_{m}^{n}N_{m))$ $T\rightarrow\infty$ ${\displaystyle N_{n}=N_{m))$ ${\displaystyle B_{n}^{m}=B_{m}^{n))$

Můžete použít Boltzmannovu distribuci [25] :

{\displaystyle {\frac {N_{n}}{N_{m}}}=e^{\left({\frac {E_{n}-E_{m}}{kT}}\right)))

Při aplikaci na podmínku rovnováhy se ukáže [25] :

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})}{e^{\left({\frac {\hbar \omega _{mn)){kT }}\right)}-1}},

kde . Tato hodnota nezávisí na teplotě a lze ji zjistit z podmínky, že Rayleigh-Jeansův vzorec [25] by měl platit pro vysoké teploty : ${\textstyle \alpha (\omega _{mn})={\frac {A_{n}^{m}}{B_{n}^{m))))$

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})kT}{\hbar {\omega _{mn))))

\alpha (\omega _{mn})={\frac {\hbar \omega _{mn}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}

Energetické hladiny mohou být brány libovolně, takže indexy a mohou být odstraněny a může být použit vzorec pro libovolné frekvence. Při dosazení do původního vzorce za , se získá Planckův vzorec. Důležitým důsledkem platnosti Planckova vzorce je tedy existence vynucených přechodů, které jsou nezbytné pro realizaci generování laseru [25] . $m$ $n$ $\alpha (\omega )$ $u(\omega )$

Vztah k jiným vzorcům

Rayleigh-Jeansův zákon

Rayleigh-Jeansův zákon je aproximací Planckova zákona, který funguje dobře při (to znamená v rozsahu velkých vlnových délek a nízkých frekvencí), ale silně se od něj odchyluje při , srovnatelné nebo velké . Rayleigh-Jeansův zákon používá aproximaci , která platí pro malé , takže aproximace vypadá takto [26] [27] : $hc\ll \lambda kT$ $h.c.$ $\lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT))\cca 1+{\frac {hc}{\lambda kT))}$ ${\textstyle {\frac {hc}{\lambda kT))}$

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {\lambda kT}{hc}}={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}

V rámci klasické fyziky se v důsledku odvození radiačního zákona získá Rayleigh-Jeansův zákon. Avšak na krátkých vlnových délkách Rayleigh-Jeansův zákon nejen nesouhlasí s experimentem, ale také předpovídá neomezený nárůst síly záření, když se vlnová délka blíží nule. Tento paradox se nazývá ultrafialová katastrofa (viz výše ) [6] [27] .

Wienův radiační zákon

Wienův zákon vyzařování je aproximací Planckova zákona, který funguje dobře v - v oblasti malých vlnových délek a vysokých frekvencí. Wienův zákon záření naznačuje, že když lze jednotku ve jmenovateli Planckova vzorce zanedbat a zvážit . Pak má vzorec tvar [26] [27] : $hc\gg \lambda kT$ $hc\gg \lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\přibližně e^{\frac {hc}{\lambda kT}}}$

{\displaystyle B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT))))

Stefan-Boltzmannův zákon

Stefan-Boltzmannův zákon je výraz popisující záření absolutně černého tělesa v celém elektromagnetickém rozsahu. Je odvozen z Planckova zákona integrací přes frekvenci nebo, v závislosti na formě záznamu, přes vlnovou délku [28] :

B(T)=\int _{0}^{\infty }{B_{\nu }}d\nu =\int _{0}^{\infty }{B_{\lambda }}d\ lambda

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}d\nu }{e^ {\frac {h\nu }{kT}}-1}}

Nahradit a poté [28] : ${\textstyle x={\frac {h\nu }{kT))}$ ${\textstyle d\nu ={\frac {kT}{h}}dx}$

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}{\frac {k^{4}}{h^{4}}}T^{4}\int _{0 }^{\infty }{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}

Tento určitý integrál je . Můžeme vyjádřit , kde je konstanta [28] : ${\textstyle {\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ ${\displaystyle B(T)=AT^{4))$ $A$

A={\frac {2k^{4}}{c^{2}h^{3}}}{\frac {\pi ^{4}}{15}}

V tomto případě je hustota toku energie několikanásobně větší než jas energie , proto se pro výpočet prvního z nich použije koeficient , nazývaný Stefan-Boltzmannova konstanta , rovný 5,67⋅10 −8 W m −2 · K −4 . Výkon záření z jednotky plochy lze v tomto případě vyjádřit jako . Tento výraz se nazývá Stefan-Boltzmannův zákon [28] . $\pi$ $\sigma =\pi A$ $F$ $F=\sigma T^{4}$

Wienův posunovací zákon

Wienův posunový zákon dává do souvislosti vlnovou délku, při které je emisivita černého tělesa maximální, k jeho teplotě. Odvozuje se z Planckova zákona tak, že se diferencuje podle frekvence nebo vlnové délky v závislosti na formě záznamu a derivace se přirovnává k nule, které je dosaženo při maximu funkce. Z toho vyplývá vztah , kde je konstanta rovna 0,0029 m K . S rostoucí teplotou se tedy vlnová délka maxima zmenšuje [29] . $\lambda _{max}T=b$ $b$

Ačkoli podobný postup lze provést pro frekvence, frekvenci maximální spektrální hustoty nelze vypočítat pomocí vzorce , protože vztah mezi frekvencí a vlnovou délkou je nelineární a emisivita se vypočítává ze záření v jediném intervalu frekvencí nebo vlnových délek [ 29] . ${\textstyle \nu _{max}={\frac {c}{\lambda _{max))))$

Aplikace

U absolutně černého tělesa je spektrum popsané Planckovým zákonem jednoznačně spojeno s jeho teplotou. Proto zákon nachází uplatnění v pyrometrii , tedy dálkovém určování teploty horkých těles. Pokud se spektrum tělesa liší od záření absolutně černého tělesa, změří pyrometr efektivní teplotu, která se nazývá záření . Při znalosti poměru emisivity studovaného tělesa k emisivitě absolutně černého tělesa , který ukazuje rozdíl od Planckova vzorce, lze zjistit skutečnou teplotu . U mnoha prakticky důležitých materiálů jsou hodnoty známé [30] . $T_{r}$ $Q_{T}=E_{T}/\varepsilon _{T}<1$ ${\displaystyle T=T_{r}/(Q_{T})^{1/4))$ $Q_{T}$

Poznámky

↑ 1 2 3 Planckův zákon záření . Encyklopedie Britannica . Staženo 18. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 13. prosince 2020.
↑ 1 2 3 4 5 Masalov A. V. Planckův zákon záření // Velká ruská encyklopedie . - Nakladatelství BRE , 2014. - T. 26. - 767 s. — ISBN 978-5-85270-363-7 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Karttunen a kol., 2007 , str. 103.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , str. 170.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , str. 181.
↑ 1 2 3 4 5 6 1.2. Kvantová teorie záření . Katedra fyziky Moskevské státní technické univerzity. Bauman . Získáno 18. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 28. září 2015. (neurčitý)
↑ Juan Carlos Cuevas. Tepelné záření z objektů pod vlnovou délkou a porušení Planckova zákona // Nature Communications . - Nature Research , 2019. - 26. července (vol. 10). - S. 3342. - ISSN 2041-1723 . - doi : 10.1038/s41467-019-11287-6 . Archivováno z originálu 12. března 2022.
↑ 1.1. Zákony tepelného záření . Katedra fyziky Moskevské státní technické univerzity. Bauman . Získáno 24. ledna 2021. Archivováno z originálu dne 8. srpna 2020. (neurčitý)
↑ Šedé tělo . Encyklopedie fyziky a techniky . Získáno 24. ledna 2021. Archivováno z originálu dne 17. dubna 2021. (neurčitý)
↑ Karttunen a kol., 2007 , s. 104.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , str. 193-194.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , str. 239-240.
↑ Jammer, 1985 , str. 14-16.
↑ Sivukhin, 2002 , str. 681-682.
↑ 1 2 3 4 Max Planck: neochotný revolucionář . Svět fyziky (1. prosince 2000). Získáno 19. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 6. července 2022.
↑ Jammer, 1985 , str. 21.
↑ Jammer, 1985 , str. 22-27.
↑ Jammer, 1985 , str. 27-30.
↑ Jammer, 1985 , str. 30-33.
↑ Jammer, 1985 , str. 30-34.
↑ Sivukhin, 2002 , str. 697.
↑ Nobelova cena za fyziku 1918 . NobelPrize.org . Nobelova nadace . Datum přístupu: 19. prosince 2020. Archivováno z originálu 7. června 2020.
↑ 1 2 3 Různé formulace Planckova zákona . www.physics-in-a-nutshell.com . Staženo 19. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 14. prosince 2020. (neurčitý)
↑ 1 2 3 Sivukhin, 2002 , str. 703-704.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Sivukhin, 2002 , str. 704-706.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , str. 182.
↑ 1 2 3 Karttunen a kol., 2007 , str. 105.
↑ 1 2 3 4 Karttunen a kol., 2007 , pp. 103-104.
↑ 1 2 Karttunen a kol., 2007 , pp. 104-105.
↑ Landsberg, 2003 , s. 639.

Literatura

E. V. Kononovič; Moroz V. I. Obecný kurz astronomie / Ed. V. V. Ivanova . - 2., správně. — M .: Editorial URSS , 2004. — 544 s. — ISBN 5-354-00866-2 .
Sivukhin DV Obecný kurz fyziky . - M . : Fizmatlit MIPT , 2002. - T. 4. Optika. — 792 s. — ISBN 5-9221-0228-1 .
Jammer M. Evoluce konceptů kvantové mechaniky. — M .: Nauka , 1985. — 384 s.
Eljaševič M. A. Planckův zákon záření // Fyzikální encyklopedie . - M .: BRE , 1992. - T. 3 . - S. 625-626 .
Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner KJ Fundamental Astronomy . — 5. vydání. - Berlin: Springer , 2007. - 510 s. — ISBN 978-3-540-34143-7 .
Optika Landsberg G.S .: učebnice pro vysoké školy. - 6. vyd. stereot.. - M. : Fizmatlit, 2003. - 848 s. — ISBN 5-9221-0314-8 .