Kinematika tuhého tělesa

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Kinematika tuhého tělesa (z jiného řeckého κίνημα - pohyb) - část kinematiky , která studuje pohyb absolutně tuhého tělesa (systém hmotných bodů s konstantními vzdálenostmi), aniž by se zabývalo příčinami, které jej způsobují. Vzhledem k relativitě pohybu je povinné uvádět vztažnou soustavu, vůči níž je pohyb popsán.

Popis pohybu

Vlastnost tuhého tělesa nám umožňuje zavést s ním spojený ortonormální souřadnicový systém se středem v bodě (libovolný bod spojený s tímto tělesem). Pak v absolutním ortonormálním systému může být vyjádřena souřadnice libovolného bodu tuhého tělesa: $({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$ $S$ $Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi }(t)+\eta { \vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)$ , a od té doby tělo je absolutně tuhé: , ale . ${\tečka {\xi }}={\tečka {\eta }}={\tečka {\zeta }}=0$ ${\tečka {\vec {e))}_{i}\neq 0\,(i=\xi ,\eta ,\zeta )$

Nechte _ Transformaci lze specifikovat zejména pomocí Eulerových úhlů . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\ end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e }}_{z}\end{pmatrix}}$

Protože základy jsou ortonormální, je ortogonální k , v důsledku čehož . ${\klobouk {A}}$ ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$

S rychlostí libovolného bodu těla pak:

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\tečka {\ vec {e}}}_{\xi }\\{\tečka {\vec {e}}}_{\eta }\\{\tečka {\vec {e}}}_{\zeta }\end{ pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\tečka {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec { e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S }(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\tečka {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}} _{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}

Výsledkem derivace , což znamená antisymetrie , kterou lze zapsat ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$ ${\tečka {\hat {A}}}{\klobouček {A}}^{T}=-{\klobouček {A}}{\tečka {\klobouček {A}}}^{T}$ ${\tečka {\klobouček {A}}}{\klobouček {A}}^{T}={\klobouček {\Omega }}$

{\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta }&0&\omega _{ \xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatrix}}

Zápis je motivován zavedením ( vektoru úhlové rychlosti ). Pak: ${\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }$

{\begin{cases}{\tečka {\vec {e))}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e))_{\eta }-\omega _{ \eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\tečka {\vec { e))_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta } = [{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\tečka {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\ eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec { e }}_{\zeta }];\end{cases}}

Výsledné výrazy se jinak nazývají Poissonovy vzorce.

Eulerův vzorec

Eulerův vzorec určuje vztah mezi rychlostmi různých bodů tuhého tělesa: $A,B$

{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]

Důkaz

${\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{ \zeta }\end{pmatrix)),\\{\vec {v))_{B}={\vec {v))_{S}+(\xi _{B},\eta _{B} ,\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e} }_{\zeta }\end{pmatrix));\\\end{cases))\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A} =(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{ pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}\; \Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

Pokud , tak . ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}$ ${\vec {\omega }}\paralelní {\overrightarrow {AB}}$
${\vec {\omega ))$ je invariantní s ohledem na volbu pohyblivého souřadnicového systému.
Vektor úhlové rychlosti souvisí s rychlostním polem bodů těla . ${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}$

Formule soupeře

Rivalův vzorec uvádí do vztahu zrychlení různých bodů tuhého tělesa. $A,B$

For (vektor úhlového zrychlení ), vzhledem k tomu , že diferenciace Eulerova vzorce vede k: ${\vec {\varepsilon }}={\tečka {\vec {\omega }}}$ ${\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

{\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}

Poslední člen ve vzorci Rivals určuje prudké zrychlení .

Složený pohyb

Pro případy obtížného popisu pohybu tuhého tělesa vzhledem k pevnému CO se zavádějí vzorce komplexního pohybu (tj. popisující pohyb vzhledem k pohybujícímu se CO).

Pro absolutní referenční systém a pohyb . $Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$ $P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$

{\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}

Vektor poloměru k bodu v absolutní FR se rovná součtu vektoru relativního poloměru a přenosky $S$

Vzorec sčítání rychlosti

Časová diferenciace vzorce pro vektor poloměru vede ke vzorci pro sčítání rychlostí

{\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec { \omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]

, kde je úhlová rychlost rotace mobilního CO.

{\vec {\omega ))

${\vec {v}}_{S/O}$ je absolutní rychlost bodu , $S$
${\vec {v}}_{S/P}={\tečka {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\tečka {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\tečka {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relativní rychlost,
Termín se nazývá přenosná rychlost, která je spojena se změnou polohy mobilního CO. ${\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]$

Vzorec sčítání zrychlení

Opakovaná diferenciace dává

{\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec { \varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{ \big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]

, kde je úhlové zrychlení pohybujícího se CO.

{\vec \varepsilon }

${\vec {a}}_{S/O}$ je absolutní zrychlení,
${\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\ddot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relativní zrychlení,
${\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }} \times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}$ - přenosná akcelerace,
$2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]$ je Coriolisovo zrychlení.

Sčítání úhlových rychlostí

Zápis Eulerova vzorce do pohybujícího se CO rotujícího úhlovou rychlostí (samotné těleso zde rotuje s ) vede k: ${\vec {\omega }}_{P/O}$ ${\vec {\omega }}_{S/P}$

{\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\ overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]

, což platí pro libovolný výběr bodů , odkud

A,B

{\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}

Jinak je absolutní úhlová rychlost rovna součtu relativní a translační.

Kvalitativní analýza možných pohybů

Okamžitý šroubovitý pohyb , charakterizovaný tím, co se nalézá (okamžitě spirálová osa), takový, že pro jakýkoli bod . V každém časovém okamžiku může být jakýkoli pohyb reprezentován jako okamžitý-šroubovicový. $l\paralelní {\vec {\omega ))$ $S\in l:{\vec {v}}_{S}\paralelní l$
Okamžitý translační pohyb je charakteristický tím, že v tomto případě jsou rychlosti všech bodů tělesa stejné (v daném okamžiku). ${\vec {\omega }}=0$
Okamžitý rotační pohyb , speciální případ mžikového šroubu, tzn. existuje taková, že všechny body na ní jsou pevné. Přímka je v tomto případě okamžitá osa rotace. $l$ $l$
Rovinně-paralelní pohyb se provádí, pokud se každý bod tělesa pohybuje rovnoběžně s pevnou rovinou (let ), pak . Analogicky s okamžitou spirálovou osou můžete pro planparalelní pohyb zvolit okamžitý střed rychlostí - okamžitě pevný bod . Poloha se mění jak v pevném, tak v pohyblivém (s tělem spojeném) souřadnicovém systému. Pro těžiště bodů okamžitého středu rychlostí v pevném rámu se používá termín pevné těžiště, zatímco v pohyblivém rámu, respektive pohyblivé těžiště. $Oxy$ ${\vec {\omega }}\perp Oxy$ $C$ $C$
Rotace kolem pevného bodu. Podle Eulerova vzorce, pokud je pevný, pak pevný a (okamžitá osa rotace). Geometrické umístění os rotace se nazývá pevné a pohyblivé axoidy (v závislosti na uvažovaném CO) $Ó$ $l=O\omega$

Eulerovy kinematické vzorce

Pokud je přechod na mobilní CO proveden pomocí Eulerových úhlů , platí následující vzorce pro složky úhlové rychlosti:

\omega _{\xi }={\tečka {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\tečka {\theta }}\cos \psi

\omega _{\eta }={\tečka {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\tečka {\theta }}\sin \psi

\omega _{\zeta }={\tečka {\psi }}+{\tečka {\varphi }}\cos \theta

$\psi$ je úhel precese, je úhel nutace, je úhel správné rotace. $\theta$ $\varphi$

Viz také

Literatura

Teoretická mechanika / Bolotin S.V., Karapetyan A.V., Kugushev E.I., Treschev D.V. - M., 2010.
Obecný kurz fyziky T.I. Mechanika/Sivukhin D.V. - M., 1979. - 7 $, str. 45-47