Dostředivé zrychlení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. dubna 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Centripetální (normální) zrychlení - složka zrychlení tělesa, charakterizující rychlost změny směru vektoru rychlosti (druhá složka, tečné zrychlení , charakterizuje změnu modulu rychlosti). Nasměrováno ke středu zakřivení trajektorie, se kterou je termín spojen. Označeno symbolem vybraným pro zrychlení s přidáním ikony „normální“: (méně často ); v soustavě SI se měří v m/s 2 . ${\vec {a}}_{n}$ ${\vec {w}}_{n}$

Příkladem pohybu s nenulovým dostředivým zrychlením je pohyb po kružnici (v tomto případě směřuje ke středu kružnice). ${\vec {a}}_{n}$

V klasické mechanice je normální zrychlení způsobeno silovými složkami nasměrovanými ortogonálně k vektoru rychlosti. Například pohyb vesmírného objektu na oběžné dráze je charakterizován dostředivým zrychlením způsobeným gravitací . Složka součtu sil, která určuje přítomnost normálového zrychlení, se nazývá dostředivá síla . Související koncept pro neinerciální vztažné soustavy je odstředivá síla .

Kmitavé zrychlení, uvažované v případech rotace tělesa kolem osy, se v průmětu do roviny kolmé k ose jeví jako dostředivé.

Obecný vzorec

Normální zrychlení se vypočítá podle vzorce $a_n$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

nebo (pomocí vztahu ) $v=\omega R$

a_n = \omega^2 R

kde je (okamžitá) lineární rychlost pohybu po trajektorii, je (okamžitá) úhlová rychlost pohybu vzhledem ke středu zakřivení trajektorie, je poloměr zakřivení trajektorie v daném bodě. $proti$ $\omega$ $R$

Výrazy lze přepsat do vektorového tvaru:

\mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} =\omega ^{2}R\mathbf {n}

Zde je jednotkový vektor nasměrovaný z daného bodu trajektorie do středu zakřivení trajektorie. $\mathbf n$

Tyto vzorce jsou použitelné jak pro konkrétní situaci rovnoměrného pohybu ( const ), tak pro libovolný případ. V jednotném případě se normální zrychlení shoduje s plným. V obecném případě je normálové zrychlení pouze složkou vektoru kolmého na trajektorii pohybu (vektor ) a vektor plného zrychlení obsahuje také tečnou složku , spoluřízenou tečnou k trajektorii pohybu [1] . $|{\vec {v}}|=\,$ ${\vec {a}}$ $\vec{v}$ $a_{\tau }=dv/dt$

Odvození vzorce

Pro rozložení zrychlení na tečné a normálové je možné diferencovat vektor rychlosti v čase , reprezentovaný jako jednotkový tečný vektor : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt))={\frac {\ mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}=\mathbf {a} _{\ tau }+v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl)){\frac {dl}{dt)))=\mathbf {a} _{\tau }+v^{2}{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}{\frac {d\mathbf {\tau } }{d\varphi }}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\,\mathbf {n}

Zde je první člen tečné zrychlení a druhý je normální zrychlení. V značí jednotkový normálový vektor, značí poloměr zakřivení trajektorie v uvažovaném bodě a značí prvek délky trajektorie. Malý úsek jakékoli křivky lze považovat za oblouk kruhu a jeho poloměr je poloměrem zakřivení . Řetězec transformací využívá zřejmé vztahy a (kde je malý úhel rotace kolem středu křivosti). $\mathbf n$ $R$ $dl$ $R$ $dl/dt=v$ $dl=R\,d\varphi$ $d\varphi$

Rovnost vyplývá z geometrických úvah. Rozdíl mezi jednotkovými tečnými vektory v uvažovaných ( ) a blízkých ( ) bodech trajektorie je , kde je úhel mezi a . Tento rozdíl je směrován pod úhlem k normále v uvažovaném bodě. Je-li malý , bude shoda s normálním vektorem . Také s malostí je možné rozšířit sinus na Taylorovu řadu . V důsledku toho dospějeme k nebo, pro nekonečná malá, . $d\mathbf {\tau } /d\varphi =\mathbf {n}$ $\Delta \mathbf {\tau } =\mathbf {\tau } '-\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$ $\mathbf {\tau } '$ $2\sin(\Delta \varphi /2)$ $\Delta \varphi$ $\mathbf {\tau } '$ ${\mathbf \tau }$ $\Delta \varphi /2$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\Delta \mathbf {\tau } =\Delta \varphi \,\mathbf {n}$ $d\mathbf {\tau } /d\varphi =d\varphi /d\varphi \,\mathbf {n}$

Na poloměru křivosti

Výpočet poloměru křivosti a souřadnic středu křivosti cesty je matematický problém (viz Zakřivení ). Je-li křivka dána rovnicí , pak poloměr její křivosti v bodě ( , ) najdeme jako [2] $y = f(x)$ $X$ $y$

R={\frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}

a poloha středu křivosti - podle vzorců [2]

\xi =x-{\frac {f'(1+f'^{2})}{f'')),\qquad \eta =y+{\frac {1+f'^{2} }{F''}}}

Jednotkový normální vektor v tomto případě bude ( , -orts ) $\vec{i}$ $\vec{j}$

{\vec {n}}={\frac {\xi -x}{R}}\,{\vec {i}}+{\frac {\eta -y}{R}}\,{ \vec {j}}

Pokud je známa závislost vektoru poloměru hmotného bodu na čase (z matematického hlediska to znamená nastavit trajektorii v parametrickém tvaru), pak lze poloměr křivosti zjistit pomocí zrychlení: ${\vec {r}}(t)$

R={\frac {v^{2}}{\sqrt {a^{2}-a_{\tau }^{2}}}}

kde a ; dříve našel rychlost jako . Střed křivosti se v obecném případě nebude shodovat s počátkem vektoru poloměru. ${\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt$ $a_{\tau }=dv/dt$ ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt$

Motivace, poznámky

Že rozklad vektoru zrychlení na složky - jednu podél tečny k trajektorii (tangenciální zrychlení) a druhou k ní ortogonální (normální zrychlení) - může být pohodlný a užitečný, je samo o sobě celkem zřejmé. Při pohybu konstantní rychlostí modulo se tangenciální složka rovná nule, to znamená, že v tomto důležitém konkrétním případě zůstane pouze normální složka. Kromě toho má každá z těchto složek své vlastní výrazné vlastnosti a strukturu a normální zrychlení obsahuje ve struktuře svého vzorce poměrně důležitý a netriviální geometrický obsah. Mimořádně důležitý je také speciální případ pohybu v kruhu.

Absolutní hodnota tečného zrychlení závisí pouze na zrychlení země, shoduje se s jeho absolutní hodnotou, na rozdíl od absolutní hodnoty normálního zrychlení, které nezávisí na zrychlení země, ale závisí na rychlosti země.

Historie konceptu

Huygens byl zřejmě první, kdo získal správné vzorce pro dostředivé zrychlení (neboli odstředivou sílu) . Prakticky od té doby je úvaha o dostředivém zrychlení běžnou technikou pro řešení mechanických problémů.

O něco později sehrály tyto vzorce významnou roli při objevu zákona univerzální gravitace (vzorec dostředivého zrychlení byl použit k získání zákona o závislosti gravitační síly na vzdálenosti zdroje gravitace na základě třetího Keplerova zákona odvozeno z pozorování ).

V 19. století se úvahy o dostředivém zrychlení již staly zcela rutinní pro čistě vědecké i technické aplikace.

Viz také

Poznámky

↑ Jak je vidět ze vzorce, při pohybu konstantní rychlostí vůči zemi je tangenciální zrychlení jednoduše nulové.
↑ 1 2 Schneider V. E. et al. Krátký kurz vyšší matematiky. Proč. příspěvek na vysoké školy. M., "Vyšší. škola", c. 368-370.

mechanický pohyb
referenční systém	inerciální vztažná soustava Neinerciální vztažná soustava Složený pohyb Princip relativity
Materiální bod	Jednotný pohyb Přímočarý pohyb Pohybová rovnice Pohybové rovnice v neinerciální vztažné soustavě Trajektorie (cesta) pohybující se Rychlost Zrychlení ( centripetální zrychlení tečné zrychlení ) pomlčka
Fyzické tělo	translační pohyb Rovinně-paralelní pohyb ( paralelní překlad ) Kulový pohyb ( Rotační pohyb Kruhový pohyb Precese nutace )
kontinuum	laminární proudění turbulentní proudění
Související pojmy	Plán rychlosti Trakce vlaku Šest stupňů volnosti