Keplerovy zákony

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. června 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Keplerovy zákony jsou tři empirické vztahy stanovené Johannesem Keplerem na základě dlouhodobých astronomických pozorování Tycha Brahe [1] . Vyložil Kepler v pracích publikovaných mezi 1609 [2] a 1619 [3] lety. Popište idealizovanou heliocentrickou dráhu planety.

Keplerovy vztahy umožnily Newtonovi postulovat zákon univerzální gravitace , který se stal základním v klasické mechanice. V jejím rámci jsou Keplerovy zákony řešením problému dvou těles v případě zanedbatelně malé hmotnosti planety, tedy v mezním přechodu , kde , jsou hmotnosti planety, respektive hvězdy. $m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$ $m_{p}$ $slečna}$

Formulace

První Keplerov zákon (zákon elips)

Každá planeta ve sluneční soustavě se pohybuje po elipse se Sluncem v jednom ze svých ohnisek .

Tvar elipsy a míra její podobnosti s kružnicí je charakterizována poměrem , kde je vzdálenost od středu elipsy k jejímu ohnisku (ohnisková vzdálenost), je polohlavní osa . Veličina se nazývá excentricita elipsy. Když , a tedy se elipsa změní na kruh. $e=\frac{c}{a}$ $C$ ${A}$ $E$ $c=0$ $e=0,$

Druhý Keplerov zákon (zákon oblastí)

Každá planeta se pohybuje v rovině procházející středem Slunce a po stejnou dobu popisuje vektor poloměru spojující Slunce a planetu stejné oblasti.

Ve vztahu k naší sluneční soustavě jsou s tímto zákonem spojeny dva pojmy: perihélium – bod dráhy nejblíže Slunci a afélium – nejvzdálenější bod dráhy. Z druhého Keplerova zákona tedy vyplývá, že planeta se pohybuje kolem Slunce nerovnoměrně a má větší lineární rychlost v perihelu než v aféliu.

Každý rok na začátku ledna se Země při průchodu perihéliem pohybuje rychleji, takže zdánlivý pohyb Slunce na východ podél ekliptiky je také rychlejší než roční průměr. Začátkem července se Země, procházející aphelionem, pohybuje pomaleji, proto se pohyb Slunce podél ekliptiky zpomaluje. Zákon oblastí také naznačuje, že síla, která řídí orbitální pohyb planet, směřuje ke Slunci.

Třetí Keplerov zákon (harmonický zákon)

Kvadráty period rotace planet kolem Slunce spolu souvisí jako krychle hlavních poloos oběžných drah planet.

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$

kde a jsou periody rotace dvou planet kolem Slunce a a jsou délky hlavních poloos jejich drah. Toto tvrzení platí i pro satelity. $T_{1}$ $T_{2}$ $a_{1}$ $a_{2}$

Newton zjistil, že gravitační síla planety o určité hmotnosti závisí pouze na její vzdálenosti, a nikoli na jiných vlastnostech, jako je složení nebo teplota. Ukázal také, že třetí Keplerov zákon není zcela přesný – ve skutečnosti zahrnuje i hmotnost planety:

\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

kde je hmotnost Slunce a a jsou hmotnosti planet. $M$ $m_1$ $m_2$

Protože pohyb a hmotnost spolu souvisí, používá se tato kombinace Keplerova harmonického zákona a Newtonova gravitačního zákona k určení hmotností planet a satelitů, pokud jsou známy jejich oběžné dráhy a oběžné doby.

Odvození Keplerových zákonů ze zákonů klasické mechaniky

Odvození prvního Keplerova zákona

Uvažujme pohyb v polárních souřadnicích , jejichž střed se shoduje s těžištěm systému (přibližně se shoduje se Sluncem). $(r,\theta)$

Nechť je vektor poloměru k planetě, označme jednotkový vektor udávající její směr. Podobně zavedeme — jednotkový vektor, kolmý na , směrovaný ve směru rostoucího polárního úhlu . Časové derivace zapíšeme a označíme je tečkami: $\mathbf {r}$ ${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r$ ${\displaystyle {\klobouček {\tučný symbol {\theta ))))$ $\mathbf {r}$ $\theta$

{\dot {\mathbf {r} }}={\tečka {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\tečka {\theta }}{\hat {\boldsymbol { \theta }}}

{\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+ (r{\ddot {\theta }}+2{\tečka {r}}{\tečka {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}

Newtonův zákon univerzální gravitace říká, že „každý objekt ve vesmíru přitahuje každý jiný objekt podél čáry spojující těžiště objektů, úměrné hmotnosti každého objektu a nepřímo úměrné druhé mocnině vzdálenosti mezi objekty“. Takže zrychlení vypadá takto:

\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

Nebo v souřadnicovém tvaru:

{\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\tečka {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{ \dot {r}}{\tečka {\theta }}=0;\end{cases}}

Do druhé rovnice zapíšeme a : ${\ddot {\theta ))$ $\tečka-r$

r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

Když se zbavíme času a oddělíme proměnné, dostaneme:

\frac{d\tečka\theta}{\tečka\theta} = -2\frac{dr}{r}.

Jejich integrace poskytne:

\ln {\tečka {\theta ))=-2\ln r+C,

Za předpokladu a zjednodušení logaritmů konečně máme $C=\ln \ell$

r^{2}{\tečka {\theta }}=\ell

Význam konstanty je specifický moment hybnosti ( ). Ukázali jsme, že v oblasti centrálních sil je zachována. $\ell$ $\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$

Pro práci s první rovnicí je vhodné provést substituci:

r = \frac{1}{u},

A přepsat deriváty a zároveň se zbavit času

{\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{ \frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}= -\ell {\frac {du}{d\theta )),

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u }{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{ d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.

Pohybová rovnice ve směru pak bude zapsána: $\hat{\mathbf{r}}$

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).

Newtonův zákon univerzální gravitace dává do vztahu sílu na jednotku hmotnosti a vzdálenost jako

f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2

kde je univerzální gravitační konstanta a hmotnost hvězdy. $G$ $M$

Jako výsledek:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Tuto diferenciální rovnici lze přepsat na totální derivace:

{\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{ \frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)

Zbavíme se toho, co získáme:

\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C

A nakonec:

{\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}uu^{2}}}

Rozdělením proměnných a provedením elementární integrace získáme obecné řešení:

u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .

pro integrační konstanty a v závislosti na počátečních podmínkách. $E$ $\theta _{0}$

Nahrazení za 1/ a zavedení , konečně máme: $u$ $r$ $p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}$

p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))

Získali jsme rovnici kuželosečky s parametrem a excentricitou a počátkem souřadného systému v jednom z ohnisek. První Keplerův zákon tedy vyplývá přímo z Newtonova zákona univerzální gravitace a druhého Newtonova zákona. $p$ $E$

Odvození druhého Keplerova zákona

Podle definice je moment hybnosti bodového tělesa s hmotností a rychlostí zapsán jako: $\mathbf{L}$ $m$ $\mathbf{v}$

\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )

kde je vektor poloměru tělesa a jeho hybnost. Plocha přenesená vektorem poloměru během doby z geometrických úvah je rovna $\mathbf {r}$ $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $dt$

dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\ frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt

kde je úhel mezi vektory a . $\phi$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{v}$

Při odvozování prvního zákona se ukázalo, že . Totéž lze získat jednoduchým rozlišením momentu hybnosti: $\ell =const$

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac {d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0

Poslední přechod je vysvětlen rovností k nule vektorového součinu kolineárních vektorů. Síla je zde skutečně vždy směrována podél vektoru poloměru, zatímco hybnost je podle definice směrována podél rychlosti.

Zjistili jsme, že nezáleží na čase. To znamená , že je konstantní, a proto je rychlost zametání plochy úměrná tomu konstantní. $\mathbf L$ $|\mathbf{L}|$ $\frac{dS}{dt}$

Odvození třetího Keplerova zákona

Druhý Keplerov zákon říká, že vektor poloměru obíhajícího tělesa zametá stejné oblasti ve stejných časových intervalech. Pokud nyní vezmeme velmi malé časové úseky v okamžiku, kdy je planeta v bodech ( perihelium ) a ( aphelion ), pak můžeme plochu aproximovat trojúhelníky s výškami rovnými vzdálenosti od planety ke Slunci, a základna se rovná součinu rychlosti a času planety. $P$ $A$

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt

(1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}

V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}

Pomocí zákona zachování energie pro celkovou energii planety v bodech a píšeme $A$ $B$

\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a }

\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a }

{\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{( 1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )))\right)

\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right )

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac { 2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))\vpravo)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2} }}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1- \varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+ \varepsilon)}}

V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.

Nyní, když jsme našli , můžeme najít rychlost sektoru. Protože je konstantní, můžeme si vybrat libovolný bod elipsy: například pro bod B dostaneme $V_B$

\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1} {2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1- \varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot ( 1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

Celková plocha elipsy je však (což se rovná protože ). Nastal tedy čas úplné revoluce $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ $\pi ab$ $b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$

T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2}})))a

T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )} }=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}

T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2 \pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

Všimněte si, že pokud hmotnost není zanedbatelná ve srovnání s , pak se planeta bude otáčet kolem Slunce stejnou rychlostí a na stejné oběžné dráze jako hmotný bod obíhající kolem hmoty (viz snížená hmotnost ). V tomto případě musí být hmotnost v posledním vzorci nahrazena : $m$ $M$ $M+m$ $M$ $M+m$

T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

Alternativní výpočet Uvažujme planetu jako hmotný bod rotující po eliptické dráze ve dvou polohách:

m

perihelium s poloměrovým vektorem , rychlost ; $r_{1}=ac$ $V_{1}$
aphelion s rádiusovým vektorem , rychlostí . $r_{2}=c+a$ $V_{2}$

Napište zákon zachování momentu hybnosti

{\displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2))

a zákon zachování energie

{\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2 ))-{\frac {GmM}{r_{2))))

kde M je hmotnost Slunce.

Při řešení systému je snadné získat poměr rychlosti planety v bodě „perihelion“:

V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}

Vyjádříme sektorovou rychlost (která je podle druhého Keplerova zákona konstantní hodnotou):

V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{ 2})}}}}

Vypočítejme plochu elipsy, po které se planeta pohybuje. Jedna strana:

S_{ellipse}=\pi ab

kde je délka hlavní poloosy, je délka vedlejší poloosy oběžné dráhy. $A$ $b$

Na druhou stranu, s využitím skutečnosti, že pro výpočet plochy sektoru můžete vynásobit rychlost sektoru dobou obratu:

S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1)){2(r_{1}+r_{2)))) ) }

Tudíž,

T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})))}=\pi ab

Pro další transformace využíváme geometrické vlastnosti elipsy. Máme vztahy

{\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2))

r_{1}+r_{2}=2a

{\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2))

Dosaďte ve vzorci oblast elipsy:

T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab

Odkud se nakonec dostaneme:

{\frac {T}{a^{3/2}}}=const

nebo tradičním způsobem

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=konst.

Poznámky

↑ Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — 3. brož. - Piscataway, NJ: Rutgers University Press, 2001. - S. 40-41. - ISBN 978-0-8135-2908-0 . Archivováno 12. prosince 2021 na Wayback Machine
↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex pozorovatelibus GV Tychnonis. Praha 1609.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [Harmonie světa] (Linz, (Rakousko): Johann Planck, 1619), kniha 5, kapitola 3, s. 189.

Viz také

Literatura

Keplerovy zákony // Encyklopedický slovník mladého astronoma / komp. N. P. Erpylev . - 2. vyd. - M . : Pedagogika, 1986. - S. 121 -122. — 336 s.
Smorodinsky Ya. A. Planety se pohybují po elipsách // Kvant . - 1979. - č. 12 . - S. 13-19 .
Trefil, J. Keplerovy zákony : [ arch. 28. března 2016 ] // Elements. - Z knihy. Trefil J. Povaha vědy. 200 zákonů vesmíru. (Geleos, 2007.) = Povaha vědy. (2003) = James Trefil. Casselovy přírodní zákony: A–Z zákonů a principů, kterými se řídí fungování našeho vesmíru. (2002).

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština velká čínština Skvělý norský Velký Rus okolo světa Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	BNF : 12445155q GND : 4365820-9 J9U : 987007537148305171 LCCN : sh94003544 SUDOC : 033600619

Nebeská mechanika

Zákony a úkoly	Newtonovy zákony Zákon gravitace Keplerovy zákony Problém dvou těl Problém tří těl Problém gravitačního N-tělesa Bertrandův problém Keplerova rovnice
Nebeská sféra	Nebeský souřadnicový systém galaktický horizontální rovníkový ekliptický Mezinárodní nebeský souřadnicový systém Sférický souřadnicový systém světová osa Nebeský rovník rektascenzi deklinace Ekliptický Rovnodennost Slunovrat základní rovina
Parametry oběžné dráhy	Kepleriánské prvky oběžné dráhy excentricita hlavní poloosa střední anomálie zeměpisná délka vzestupného uzlu argument periapse Apocentrum a periapse Orbitální rychlost Orbitální uzel Epocha
Pohyb nebeských těles	Pohyb Slunce a planet v nebeské sféře Ephemeris Konfigurace planet konfrontace sloučenina kvadratura prodloužení přehlídka planet Zatmění zatmění Slunce zatmění měsíce saros Metonický cyklus Povlak Návod vyvrcholení hvězdné období synodické období Doba střídání orbitální rezonance Předehra rovnodennosti Sblížení librace Rozsah gravitace Kozaiův efekt Yarkovského efekt Džanibekovův efekt

Astrodynamika

Vesmírný let	vesmírná rychlost první (kruhový) druhý (parabolický) Třetí Čtvrtý Ciolkovského vzorec Gravitační manévr Hohmannova trajektorie Metoda oskulačních elementů Slapové zrychlení Změna sklonu oběžné dráhy Meziplanetární dopravní síť Dokování Lagrangeovy body Pionýrský efekt
SC oběžné dráhy	geostacionární oběžná dráha Heliocentrická oběžná dráha geosynchronní oběžná dráha geocentrická dráha geotransferová dráha Nízká oběžná dráha Země polární oběžná dráha Orbit "Tundra" Slunečně synchronní oběžná dráha Orbit "blesk" Oskulační oběžná dráha

Historie astronomie
starověké období	Babylon Starověký Egypt Starověká Čína Indie Inkové Mayský Aztékové australští domorodci Starověké Řecko
Středověk	Indie islámský východ Středověká Evropa Kosmologie v judaismu
Vznik teoretické astronomie	Heliocentrický systém světa Keplerovy zákony
17. století	Zákon gravitace
18. století	Edmund Halley William Herschel
19. století	Objev Neptunu
20. století	Hubbleův dalekohled

Johannes Kepler
Vědecké úspěchy	Keplerova hypotéza Keplerovy zákony Kepleriánské prvky oběžné dráhy Keplerův trojúhelník Keplerova rovnice Tělo Kepler-Poinsot Supernova Kepler
Publikace	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–1621) Harmonices Mundi (1619) Rudolfínské stoly (1627) somnium (1634)
Rodina	Katharina Kepler (matka) Jacob Barch (zeť)