Třída Todd

Toddova třída je konstrukce, která je nyní považována za součást teorie charakteristických tříd v algebraické topologii . Toddova třída vektorového svazku může být definována pomocí teorie Chernových tříd a vyskytují se všude tam, kde existují Chernovy třídy – především v diferenciální topologii , teorii komplexních variet a algebraické geometrii . Zhruba řečeno, třída Todd působí opačným způsobem než třída Chern a je s ní příbuzná, jako je konormální svazek příbuzný normálnímu svazku .

Toddovy třídy hrají zásadní roli při zobecňování klasické Riemann-Rochovy věty na prostory vyšších dimenzí až po Hirzebruch-Riemann-Rochovu větu a Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Rochův teorém .

Historie

Třída je pojmenována po J. A. Toddovi který zavedl speciální případ konceptu v algebraické geometrii v roce 1937 předtím, než byly definovány Chernovy třídy. Použitý geometrický nápad se někdy nazývá třída Todd-Eger .

Obecná definice ve vyšších dimenzích je způsobena Hirzebruchem .

Definice

Pro definování Toddovy třídy td ( E ), kde E je komplexní vektorový svazek na topologickém prostoru X , obvykle stačí omezit se na definování svazků čar v případě Whitneyho součtu pomocí obecných pojmů teorie charakteristických tříd, použití Chernových kořenů (aka princip štěpení ). Nechat

Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i }B_{i}}{i!}}x^{i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x ^{4}}{720}}+\cdots

je formální mocninná řada s vlastností, že koeficienty x n v Q ( x ) n +1 jsou rovny 1 (zde B i jsou Bernoulliho čísla ). Uvažujme koeficient x j v součinu

\prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\

pro libovolné m > j . Tento koeficient je symetrický v β i a homogenní ve vahách j , takže jej lze vyjádřit jako polynom v elementárních symetrických funkcích p β. Poté jsou definovány Toddovy polynomy a tvoří multiplikativní posloupnost s Q jako charakteristickou mocninnou řadou. $td_{j}(p_{1},\tečky ,p_{j})$ ${\displaystyle td_{j))$

Jestliže E má α i jako Chernovy kořeny , pak Toddova třída

td(E)=\prod Q(\alpha _{i})

který by měl být vypočten v kohomologickém kruhu topologického prostoru X (nebo v jeho doplňku, pokud jsou uvažovány nekonečně-dimenzionální variety).

Třídu Todd lze explicitně definovat jako formální mocninnou řadu ve třídách Chern takto:

td(E)=1+c_{1}/2+(c_{1}^{2}+c_{2})/12+c_{1}c_{2}/24+(-c_{ 1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}/720+\dots

kde kohomologické třídy c i jsou Chernovy třídy na E a leží v kohomologické skupině . Pokud má X konečný rozměr, pak je většina členů nula a td ( E ) je polynom v Chernových třídách. $\mathrm {H} ^{2i}(X)$

Vlastnosti třídy Todd

Třída Todd je multiplikativní:

Td^{*}(E\oplus F)=Td^{*}(E)\cdot Td^{*}(F).

Nechť je základní třída nadrovinného řezu. Z multipliativity a Eulerovy přesné posloupnosti pro tečný svazek $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ ${\mathbb {C} }P^{n}$

0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,

dostaneme [1]

Td^{*}(T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^ {n+1}.

Hirzebruch-Riemann-Rochův vzorec

Pro jakýkoli koherentní svazek F na hladké projektivní komplexní manifoldu M máme

\chi (F)=\int _{M}Ch^{*}(F)\wedge Td^{*}(TM),

kde je jeho holomorfní Eulerova charakteristika , $\chi (F)$

\chi (F):=\sum _{i=0}^({\text{dim))_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim ))_{\mathbb {C} }H^{i}(F),

a Ch * (F) je jeho znak Zhen .

Viz také

Rod multiplikativní sekvence

Poznámky

↑ INTERSECTION THEORY CLASS 18 Archivováno 11. prosince 2018 na Wayback Machine od Ravi Vakila

Literatura

Todd JA Aritmetické invarianty algebraických lokusů // Proc. Londýnská matematika. Soc .. - 1937. - T. 43 , čís. 1 . - S. 190-225 . - doi : 10.1112/plms/s2-43.3.190 .
Hirzebruch F. Topologické metody v algebraické geometrii. - Springer, 1978. - ISBN 3-540-035250-7 . — ISBN 0-387-035250-7 .
Třída Voitsekhovskii MI Todd // Encyklopedie matematiky / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .