Anti-hermitovská matrice

V matematice je anti- hermitovská nebo šikmo- hermitovská matice čtvercová matice A , jejíž hermitovská konjugace mění znaménko původní matice:

A^{\dagger }=-A,

nebo prvek po prvku:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i))},

kde označuje komplexní konjugaci čísla . $\overline{x}$ $X$

Vlastnosti

Matice B je hermitovská právě tehdy, když je matice i B antihermitovská. To znamená, že pokud je A anti-hermitovské, pak matice ±iA jsou hermitovské. Také jakákoli anti-hermitovská matice A může být reprezentována jako A = iB , kde B je hermitovská. Vlastnosti antihermitovských matric lze tedy vyjádřit pomocí vlastností hermitovských a naopak.
Matice A je anti-hermitovská právě tehdy, když pro jakýkoli vektor a (forma je anti-hermitovská). $X^{\dagger }A^{\dagger }Y=-X^{\dagger }AY$ $X$ $Y$ $X^{\dagger }AY$
Anti-hermitovské matice jsou uzavřeny při sčítání, násobení reálným číslem, zvyšování na lichou mocninu, inverzi (nesingulární matice).
Anti-hermitovské matrice jsou normální .
Rovnoměrná síla anti-hermitovské matrice je hermitovská matrice. Zejména, pokud je antihermitovský, pak je hermitovský. $A$ $A^{2}$
Vlastní hodnoty anti-hermitovské matice jsou buď nulové, nebo čistě imaginární .
Jakákoli čtvercová matice může být reprezentována jako součet hermitovské a antihermitovské:

M=M_{h}+M_{a}

, kde

M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{\dagger })

— Hermitian,

M_{a}={\frac {1}{2}}(MM^{\dagger })

- anti-poustevník.

Matice je anti-hermitovská právě tehdy, když je její exponent jednotný . $A$ $e^{A}$

Anti-hermitovské matice tvoří Lieovu algebru Lieovy grupy . ${\mathfrak {u}}(n)$ $U(n)$

Pro jakékoli komplexní číslo takové, že existuje korespondence jedna ku jedné mezi unitárními maticemi , které nemají vlastní čísla rovnající se , a anti-hermitovskými maticemi , danými Cayleyovými vzorci: $\lambda$ $|\lambda |=1$ $U$ $A$ $A$

U=\lambda (AI)(A+I)^{-1},

A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},

já

Zejména když :

\lambda =-1

U=(IA)(I+A)^{-1},

A=(IU)(I+U)^{-1}.