Hermitovská konjugovaná matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hermitova konjugovaná matice nebo konjugátově transponovaná matice je matice * s komplexními prvky získanými z původní matice transpozicí a nahrazením každého prvku jeho komplexním konjugátem . $A$ $A$

Hermitovské konjugované matice hrají při studiu komplexních vektorových prostorů téměř stejnou roli jako transponované matice v případě reálných prostorů.

Definice a zápis

Pokud má původní matice velikost , pak hermitovský konjugát k bude mít velikost a jeho tý prvek se bude rovnat: $A$ $m\krát n$ $A$ $A^{*}$ $n \krát m,$ $(i, j)$

\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},

kde označuje komplexně sdružené číslo k (sdružené číslo k je , kde a jsou reálná čísla ). $\overline{z}$ $z$ $a+bi$ $a-bi$ $A$ $b$

Jinak lze tuto definici přepsat takto:

$A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}.$

Hermitovská konjugovaná matice se obvykle označuje jako nebo ( H z anglického Hermitian - Hermitian), ale někdy se používají i jiné zápisy: $A^{*}$ $A^H$

$A^{\dagger}$ - v kvantové mechanice ;
$A^+$ - ale tento zápis lze zaměnit se zápisem pro pseudoinverzní matici .

Příklad

Pokud

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}

pak

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.

Související definice

Pokud se matice skládá z reálných čísel , pak její hermitovská konjugovaná matice je pouze transponovaná matice : $A$

A^* = A^T,

-li

a_{ij} \in \mathbb{R}.

Čtvercová matice se nazývá: $A$

Hermitian if ; $A^*=A$
anti- hermitic nebo šikmo-hermitic jestliže ; $A^* = -A$
normální jestliže ; $A^*A = AA^*$
unitární if , kde je matice identity . $A^*A = AA^* = I$ $já$

Vlastnosti

$(A + B)^* = A^* + B^*$ pro libovolné dvě matice a stejné rozměry. $A$ $B$
$(cA)^* = \overline{c} A^*$ pro jakýkoli složitý skalár . $c \in \mathbb{C}$
$(AB)^* = B^* A^*$ pro všechny matice a , takže jejich součin je definován . Všimněte si, že na pravé straně rovnosti je pořadí násobení matic obrácené. $A$ $B$ $AB$
$(A^*)^* = A$ pro jakoukoli matrici . $A$
Vlastní čísla , determinant a stopa se ve srovnání s originálem změní na konjugát hermitovské konjugované matice.
$A$ je invertibilní právě tehdy, když je matice invertibilní . kde: $A^{*}$ $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$
$\langle Axe, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle$ pro libovolnou matici velikosti a libovolné vektory a . Notace označuje standardní bodový součin vektorů v komplexním vektorovém prostoru. $A$ $m\krát n$ $x \in \mathbb{C}^n$ $y \in \mathbb{C}^m$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$
Matice a jsou hermitovské a kladně polodefinitivní pro jakoukoli matici (ne nutně čtvercovou). Pokud jsou čtvercové a nedegenerované, pak tyto dvě matice budou pozitivně určité. $AA^*$ $A^*A$ $A$ $A$

Viz také

Adjoint operátor je zobecněním konceptu hermitovské konjugované matice pro nekonečněrozměrné prostory.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný