Lebrun, Claude

Claude Lebrun
Angličtina Claude R. LeBrun Jr.
v Oberwolfachu v roce 2012
Datum narození	26. listopadu 1956( 1956-11-26 ) (ve věku 65 let)
Místo narození	Dallas , Texas
Země	USA
Vědecká sféra	diferenciální geometrie
Místo výkonu práce	State University of New York ve Stony Brook
Alma mater	Oxfordská univerzita
vědecký poradce	Roger Penrose
Studenti	Massimiliano Pontecorvo , Michael Albanese
Ocenění a ceny	Člen Americké matematické společnosti
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Claude LeBrun ( anglicky Claude LeBrun , nar. 26. listopadu 1956 v Dallasu , Texas ) je severoamerický geometr, specialista na komplexní a diferenciální geometrii , především čtyřrozměrné variety, a také na teorii relativity . SUNY Významná profesorka na State University of New York ve Stony Brook .

Životopis

V roce 1977 absolvent Rice University 's Hansen College [1] , postgraduální studium absolvoval na Oxfordu pod Penrosem a v roce 1980 dokončil svou práci Spaces of Complex Geodesics and Related Structures [2] , po které získal místo ve Stony Brook. [3] .

V roce 1994 byl pozvaným řečníkem na Mezinárodním matematickém kongresu v Curychu , tématem zprávy byla Anti-self-duální metrika a Kählerova geometrie . V roce 2012 byl zvolen členem Americké matematické společnosti . V roce 2016 byly Lebrunovy 60. narozeniny oslaveny konferencí v Montrealu. [4] V roce 2018 Lebrune obdržel cenu Simons Foundation Award [ 5] a v roce 2020 byl jmenován SUNY Distinguished Professor na Stony Brook University .

Disertační práce

Lebrunova disertační práce prohlubuje práci jeho velkého učitele v oboru teorie twistorů . Jmenovitě uvažuje o -rozměrných komplexních varietách obdařených holomorfním projektivním spojením ; lokální geodetika s ohledem na takové spojení může být parametrizována pomocí -dimenzionální komplexní variety. Každý bod původní variety definuje subvarietu v prostoru geodetiky, protože každý komplexní tečný směr v bodě připouští jedinečnou geodetiku, ke které je tečnou. Z této mřížky dílčích variet v prostoru geodetiky lze získat holomorfní projektivní spojení na původním manifoldu a malé deformace komplexní struktury na něm odpovídají malým variacím projektivního spojení. Pro triviální případ projektivní roviny jsou geodetiky projektivní přímky a jejich duální projektivní rovina je parametrizuje; tak lze Lebrunovu disertaci brát jako dalekosáhlé zobecnění projektivní duality . $n$ $(2n-2)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{2))$

Podobný výsledek získal Lebrun pro komplexní varietu s konformním spojením, tedy holomorfní konformní strukturu (nebo pole kvadratických kuželů) spolu s torzním tenzorem a prostorem lokální izotropní geodetiky na ní (tj. geodetiky tečné k tomuto poli kuželů - jinak se nazývají světelné nebo nulové geodetiky). V případě zániku torzního tenzoru, jak dokázal Lebrun, prostor izotropních geodetik připouští holomorfní kontaktní strukturu a naopak přítomnost holomorfní kontaktní struktury na prostoru izotropních geodetik vynucuje torzi konformní struktury. na původním prostoru zmizet. Tento výsledek platí pouze tehdy, je-li rozměr komplexního potrubí 4 nebo vyšší; pro trojrozměrné manifoldy zkonstruoval Lebrun kanonickou vložku do čtyřrozměrného manifoldu s konformním spojením, jehož zakřivení je samoduální, pod nímž je torze původní konstrukce vyjádřena formou vnějšího zakřivení tohoto vložení.

RC-twistory 3-rozdělovačů

V roce 1984 v Trans. Dopoledne. Matematika. soc. Vyšel Lebrunův článek Twistor CR Manifolds and Three-Dimensional Conformal Geometry , ve kterém rozšířil teorii twistorů také na reálné trojrozměrné variety s konformní strukturou - tedy takové, na kterých lze hovořit o vzájemné kolmosti vektorů, ale ne jejich absolutní délka (pokud si představíte, že neexistuje čas, takový je v podstatě náš trojrozměrný prostor: jednotku délky volíme zcela libovolně a do jisté míry je to, že jednotka délky na Zemi a jednotku délky na Plutu lze smysluplně porovnat je akt víry). Je spojen se skutečným pětirozměrným rozdělovačem s RC strukturou , tedy čtyřrozměrným kontaktním rozložením vybaveným polem 90° rotačních operátorů, čímž se mění na dvourozměrné komplexní rozložení a navíc vyhovuje podmínka integrovatelnosti a rodina holomorfních racionálních křivek tečných k této komplexní distribuci. Podmínka integrovatelnosti se redukuje na skutečnost, že na úrovni Taylorovy řady lze pětirozměrnou varietu v každém bodě realizovat jako Taylorovu řadu reálné hyperplochy tak, že kontaktní podprostor je přesně komplexní dvourozměrná rovina ležící v reálném pětirozměrném prostoru tečny k hyperpovrchu a operátor rotace o 90° bude přesně operátorem vektorového násobení v by . A naopak, vzhledem k pětirozměrnému RC rozdělovači s rodinou racionálních křivek je původní trojrozměrný rozdělovač s konformní strukturou jedinečně obnoven. $\mathbb {C} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$ ${\sqrt {-1}}$

Všimněte si, že existence skutečných místních map s hodnotami na Lebrunových twistorech by automaticky implikovala analytičnost přelepovacích funkcí (kvůli analytičnosti komplexně diferencovatelných mapování), a tudíž přítomnost analytické struktury na původním 3-variole. . $\mathbb {C} ^{3}$

Lebrun tuto strukturu získal důmyslnou geometrickou konstrukcí, ze které byla zřejmá integrovatelnost této RC struktury (jmenovitě uvažováním vektorů při komplexifikaci kotangentního svazku, které jsou izotropní vzhledem ke konformní struktuře). Misha Verbitsky podal mnohem jednodušší popis Lebrunových KR-twistorů. Konkrétně, pokud zafixujeme Riemannovu metriku definující konformní strukturu na trojrozměrné varietě , pak lze Lebrunovy RC-twistory identifikovat s celkovým prostorem pomocí svazku tečných vektorů jednotkové délky. Svazek tečny k se rozloží spojením Levi-Civita na ortogonální přímý součet , kde je prostor tečny k jednotkové kouli v , a je izomorfně promítán na . Kontaktní rovina v bodě (kde je jednotkový vektor) je definována jako lineární rozpětí a kolmý podprostor a operátor rotace o 90° je definován jako standardní komplexní struktura na Riemannově kouli vertikálně a jako vektorové násobení horizontálně (tj . je v rámci ; připomeňme, že v dimenzi tři je určení euklidovské struktury stejné jako zadání křížového součinu). [6] $X$ $UTX$ $UTX$ $T(UTX)=Ver\oplus Hor$ $Ver_{v,x}=T_{v}(UT_{x})$ $T_{x}X$ $Hor_{v,x}$ $T_{x}X$ $(v,x)$ $v\in T_{x}$ $Ver_{v,x}$ $v^{\perp }\subset T_{x}\cong Hor_{v,x}$ $proti$ $v^{\perp }$

Z toho lze například odvodit výslovný popis Lebrunových twistorů pro kulatou kouli . Uvědomujeme si to totiž jako rovníkovou sféru v . Jednotkový vektor tečny k bodu lze vnímat jako dvojici svislých jednotkových vektorů , kde je jednotka kolmá k bodu . Definují ortogonální komplexní strukturu na prostoru , definovanou podmínkou . Naopak jakákoliv ortogonální komplexní struktura na definuje jednotkový tečný vektor k jako obraz jednotkové normály pod otočením o 90°. Svazek přes , visící nad každým bodem kulaté koule množina ortogonálních komplexních struktur na tečném prostoru k ní, to jsou klasické twistory , twistorový prostor je v tomto případě biholomorfní a projekce na něj je kvaternion Hopfův svazek . V souladu s tím jsou Lebrunovy twistory kruhové koule inverzním obrazem rovníkové koule pod Hopfovou fibrací, a tedy skutečnou hyperplochou v , hranici trubkového okolí normálního svazku k projektivní čáře . $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $e\in T_{x}S^{3}$ $S^{3}$ $x\in S^{3}$ $\{e,n\}\in T_{x}S^{4}$ ${\displaystyle n_{x))$ $S^{3}\subset S^{4}$ $X$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ $I(n)=e$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$ ${\displaystyle S^{4))$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}=\mathbf {P} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{4})\cong \mathbf {P} _ {\mathbb {C} }(\mathbb {H} ^{2})\mapsto \mathbf {P} _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{2})=\mathbb {H} \mathbf {P} ^{1}\cong S^{4}$ $S^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}\subset \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$

Verbitského definice je dobrá v tom, že se přenáší na další důležitý případ, kdy existuje pole vektorových součinů na Riemannově varietě – jmenovitě a – varieta ; navíc umožňuje definovat Gaussovo zobrazení v abstraktní situaci povrchu ležícího v trojrozměrné varietě (sdružující bod povrchu s jednotkovou normálou v něm). Z této definice však není zřejmá ani integrovatelnost této twistorové struktury, ani její konformní invariance. To druhé lze však dokázat elegantním výpočtem; to zejména znamená, že Gaussova mapa povrchu do Lebrunových twistorů je holomorfní právě tehdy, když je tento povrch zcela pupeční . Zejména z konformní invariance struktury RC na Lebrunových twistorech vyplývá, že konformní transformace transformují zcela pupeční povrchy na zcela pupeční. Protože takové jsou pouze koule a roviny, implikuje to klasický Liouvilleův teorém o konformních zobrazeních . Podmínku, aby Gaussova mapa byla holomorfní pro umbilikální povrchy, lze brát jako definici RC-struktury na Lebrunových twistorech. Pro srovnání, pokud bychom požadovali, aby Gaussova mapa byla holomorfní pro minimální povrchy , skončili bychom u Eales-Salamonových twistorů, které se liší od Lebrunových twistorů v tom, že mají 90° rotaci ve vodorovném směru s opačným znaménkem. Protože dokonce místní pupeční povrchy jsou vzácné v obecné Riemannově varietě, zatímco minimální povrchy jsou hojné, existuje mnoho holomorfních křivek na Eales-Salamonových twistorech; přitom téměř KP-struktura na nich není nikdy integrovatelná, což znamená, že neexistují ani lokální holomorfní funkce, které jsou naopak na Lebrunových twistorech hojné díky jejich lokální KP-holomorfní vnořitelnosti v . [7] ${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$

Lempertovy twistory byly použity Lempertem k prokázání formální integrovatelnosti komplexní struktury na uzlovém prostoru ve 3-manifoldu s konformní strukturou. [osm]

Ortogonální komplexní struktury na $S^{6}$

Dimenze dva a šest jsou jediné, ve kterých není topologickými úvahami zakázána existence téměř složité struktury na kouli. V dimenzi dvě je to jen složitá struktura na racionální křivce; v dimenzi šest je téměř složitá struktura získaná vektorovým násobením jednotkou kolmou ke kruhové kouli (složitá struktura na je však popsána stejným způsobem ). Otázka existence integrovatelné komplexní struktury – tedy lokálně biholomorfní k kouli v – je však velmi vágní. V článku Orthogonal Complex Structures on z roku 1987 Lebrun ukázal, že taková struktura nemůže být ortogonální ve standardní kruhové metrice na . Uvažoval o mapování, které spojuje komplexní strukturu v libovolném bodě s vlastním podprostorem s vlastní hodnotou , uvažovanou jako trojrozměrný podprostor při komplexizaci okolního prostoru . Pokud by byla integrovatelná téměř složitá struktura, pak by tato mapa byla holomorfním vnořením do Grassmannianu . To by dalo kählerovskou formu vzhledem k tomu, že Grassmannovu lze realizovat v projektivním prostoru; ale , což vede k rozporu. ${\displaystyle S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7))$ $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $S^{6}$ $S^{6}$ $-{\sqrt {-1))$ $\mathbb {C} ^{7}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $S^{6}$ $\mathrm {gr} (3,7)$ $S^{6}$ $H^{2}(S^{6})=0$

Další články

Lebrun je autorem asi 100 prací v různých odvětvích geometrie a matematické fyziky. [9]

Odkazy

Domovská stránka profesora Lebruna
Claude Lebrun na webu " Mathematical Genealogie " .

Poznámky

↑ Bývalý profesor Riceové získal Nobelovu cenu za fyziku . Staženo 2. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 28. listopadu 2020. (neurčitý)
↑ Prostory složitých geodetek a souvisejících struktur . Staženo 2. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 20. ledna 2021. (neurčitý)
↑ Adresář oddělení | Katedra matematiky a Ústav pro matematické vědy . Staženo 2. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 21. října 2020. (neurčitý)
↑ Konference o diferenciální geometrii . Získáno 2. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 10. května 2021. (neurčitý)
↑ 2018 Simons Fellows in Mathematics and Theoretical Physics oznámen . Staženo 2. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 28. listopadu 2020. (neurčitý)
↑ CR twistorový prostor rozdělovače G2
↑ Liouville—Arnold spojení pro Lefschetz—Kovalev tužky a Eells—Salamon CR twistory . Staženo 2. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 3. října 2021. (neurčitý)
↑ Lempert, Lászlo. Prostory smyček jako složité manifoldy. J. Diferenciální geom. 38 (1993), No. 3, 519-543.
↑ Výzkumné články Clauda LeBruna . Staženo 2. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 13. května 2021. (neurčitý)