Frobenius normální forma

V lineární algebře je Frobeniova normální forma lineárního operátoru A kanonický tvar jeho matice, odpovídající minimálnímu rozkladu lineárního prostoru na přímý součet podprostorů invariantních pod A, který lze získat jako lineární rozpětí nějakého vektor a jeho obrazy za působení A. Bude to blokově diagonální matrice skládající se z Frobeniových buněk druhu

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

Taková matice se nazývá doprovodný polynom . ${\displaystyle x^{n}+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots +a_{0))$

Prohlášení věty

Nechť V je konečnorozměrný vektorový prostor nad polem k , A je lineární operátor na tomto prostoru. Pak existuje báze V taková, že matice A v této bázi je blokově diagonální , její bloky jsou doprovodnými maticemi pro unitární polynomy , které jsou dělitelné . Polynomy jsou jednoznačně definovány. $f_{i}$ $f_{{i+1}}$ $f_{i}$ $f_{i}$

Důkaz

Lineární operátor na vektorovém prostoru dělá z tohoto prostoru modul nad polynomiálním kruhem k [ x ] (vynásobení x odpovídá použití lineárního operátoru). Polynomiální kruh je euklidovský , tedy hlavní ideální doména , takže můžeme aplikovat větu o struktuře pro finitely generované moduly na hlavní ideální kruhy . Jmenovitě využíváme rozklad prostoru na přímý součet invariantních faktorů. Individuální faktor má tvar k[x]/f(x) , nechť stupeň f je n . Základ v tomto podprostoru volíme jako obrazy polynomů 1, x, x 2 ... x n-1 v faktorizačním zobrazení, je snadné vidět, že matice operátoru „násobit x“ v tomto základu se shoduje s doprovodnou maticí polynomu f(x) . Výběrem bází tohoto typu v každém faktoru získáme matici požadovaného typu. Invariance polynomů vyplývá z invariance faktorů ve větě o struktuře. $f_{i}$

Příklady

Příklad obecného postoje.

Pokud jsou všechna vlastní čísla matice různá, pak její Frobeniova normální forma bude matice skládající se z přesně jednoho bloku:

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

a čísla jsou koeficienty charakteristického polynomu. $a_{{i}}$

Více bloků se může objevit pouze v případě, že jsou vlastní hodnoty matice stejné.

extrémní příklad.

Uvažujme skalární matici, tedy diagonální matici takovou, že všechna čísla na diagonále jsou rovna stejnému číslu . Pro takovou matici bude její Frobeniova normální forma sama sebou. To znamená, že každá hodnota na diagonále je Frobeniův podblok 1 x 1. A všechny polynomy jsou si navzájem rovny a rovny se . Všimněte si, že když je konjugována jakoukoli maticí, skalární matice zůstává sama sebou, to znamená, že konjugace v zásadě nemůže změnit svou formu, což odpovídá skutečnosti, že sama je její Frobeniova normální forma. $\lambda$ $f_{i}$ $x-\lambda$

Pro matici 2x2, která je Jordanovou buňkou:

${\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix))$ jeho Frobeniova normální forma je matice: . To znamená jeden blok 2 krát 2. Zejména je snadné vidět, že stopy a determinanty těchto matic jsou stejné. ${\begin{pmatrix}0&-\lambda ^{2}\\1&2\lambda \end{pmatrix}}$

Pro matici 3 x 3, která je Jordanovou buňkou:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end{pmatrix))

jeho Frobeniova normální forma je matice:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda ^{3}\\1&0&-3\lambda ^{2}\\0&1&3\lambda \end{pmatrix}}

Tyto příklady ukazují, že shoda vlastních hodnot není dostatečnou podmínkou pro vznik několika bloků. (I když je to nutné - jak je uvedeno výše).

Tyto příklady jsou zobecněny na případ matic libovolné velikosti - pro Jordanovu buňku plné velikosti má její Frobeniova normální forma jeden blok a poslední sloupec je dán koeficienty polynomu braného se znaménkem mínus. (Tento polynom je pro tuto matici charakteristický a minimální). ${\displaystyle (x-\lambda )^{n))$

Matice, která má Jordanovu normální formu:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&1&0\\0&\lambda _{1}&\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(pro ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

má Frobeniovu normální formu sestávající z jednoho bloku 3 x 3:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}\\1&0&-\lambda _{1}^{2}-2\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&2\lambda _{1}+\lambda _{1}\end{pmatrix}}

Polynom je , je to charakteristický a minimální polynom. $f_{1}$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

Příklady se dvěma bloky.

Uvažujme matici, která má Jordanovu normální formu:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{1}&0\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(pro ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

jeho Frobeniova normální forma je matice sestávající ze dvou podbloků, prvního 1 x 1 a druhého 2 x 2:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&0&-\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&(\lambda _{1}+\lambda _{2}) \end{pmatrix}}

Polynomy jsou dány vzorci a je snadné vidět, že (to znamená, že polynom rozděluje polynom ) . Polynom je minimální polynom. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})$ $f_{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

Matice, která má Jordanovu normální formu:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}

jeho Frobeniova normální forma je matice sestávající ze dvou podbloků, prvního 1 x 1 a druhého 2 x 2:

{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&0&-\lambda ^{2}\\0&1&2\lambda \end{pmatrix))

Polynomy jsou dány vzorci , a to je snadné vidět (to znamená, že polynom dělí polynom ). Polynom je minimální polynom. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda )$ ${\displaystyle f_{2}=(x-\lambda )^{2))$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

Další příklady. Pokud je matice nilpotentní, pak se její jordánská a frobeniova normální forma shodují (až do transpozice). Vlastní čísla nulpotentní matice se skutečně rovnají nule, stejně jako koeficienty charakteristického polynomu, to znamená, že netriviální prvky obou forem mizí a jednotky se až do transpozice nacházejí v obou formách v stejně.

Vlastnosti

Nejvyšší z polynomů se shoduje s minimálním polynomem matice. Součin všech polynomů je roven charakteristickému polynomu matice. Velikosti bloků ve Frobeniově normálním tvaru jsou stejné jako mocniny polynomů . Vlastnost samozřejmě znamená identickou shodu polynomů , pokud mají stejný stupeň. Pokud tedy mají bloky ve Frobeniově normální formě stejnou velikost, shodují se identicky. ${\displaystyle f_{i))$ ${\displaystyle f_{i))$ $f_{i}|f_{i+1}$ $f_{i},f_{i+1}$

Literatura

Gantmakher F. R. teorie matice. - 5. vyd. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 s. — ISBN 5-9221-0524-8 .
Milovanov M. V., Tolkachev M. M., Tyshkevich R. I., Fedenko A. S. Ch . 83. — 269 s.
David S. Dummit a Richard M. Foote. Abstraktní algebra. 2. vydání, John Wiley & Sons. str. 442, 446, 452-458. - ISBN 0-471-36857-1 .