Skupinová akce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. dubna 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Působení grupy na určitou množinu objektů umožňuje studovat symetrie těchto objektů pomocí aparátu teorie grup .

Definice

Akce vlevo

O skupině se říká, že jedná zleva na množině , je -li dán homomorfismus ze skupiny k symetrické grupě množiny . Pro stručnost se často píše jako , nebo . Prvky skupiny se v tomto případě nazývají transformace a samotná skupina se nazývá množinová transformační skupina . $G$ $M$ $\Phi \colon G\to S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g)) (m)$ $gm$ $g\cdot m$ $g{.}m$ $G$ $G$ $M$

Jinými slovy, skupina působí na množině zleva, pokud je dáno mapování , označené , takže $G$ $M$ $G\krát M\to M$ $(g,m)=gm$

$(gh) m = g (hm)$ pro všechny a $g,\;h\v G$ $m\in M$
$em=m$ , kde je neutrální prvek skupiny . Můžeme říci, že jednotce skupiny odpovídá každý její vlastní prvek; taková transformace se nazývá identická . $E$ $G$ $M$

Akce právo

Podobně je správné působení grupy na dáno homomorfismem , kde je inverzní grupa grupy . V tomto případě se často používá zkratka: . V tomto případě jsou axiomy homomorfismu zapsány takto: $G$ $M$ $\rho :G^{op}\to S(M)$ $G^{{op}}$ $G$ $\rho (g)(m)=:mg$

$m(gh)=(mg)h,$
$já=m.$

Komentáře

Jakákoli pravá akce skupiny je levá akce . Také, protože každá grupa je izomorfní ke své inverzní grupě (například zobrazení je izomorfismus ), pak z každé pravé akce je možné získat levou akci pomocí takového izomorfismu. Proto se zpravidla studují pouze levé akce. $G$ $G^{{op}}$ $g\mapsto g^{-1}$
Pokud je množina opatřena nějakou další strukturou, pak se obvykle předpokládá, že mapování tuto strukturu zachovává. $M$ $m\mapto gm$
- Například, jestliže je topologický prostor , pak se předpokládá, že je spojitý (proto homeomorfismus). Taková skupinová akce se přesněji nazývá kontinuální akce . $M$ $m\mapto gm$

Typy akcí

Zdarma , pokud pro jiné a kdokoli je spokojen . $g,\;h\v G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Tranzitivní jestliže pro nějaký existuje takový, že . Jinými slovy, akce je tranzitivní, pokud pro jakýkoli prvek . $m,\;n\v M$ $g\in G$ $gm=n$ $Gm=M$ $m\in M$
- Primitivní akce je tranzitivní a nezachovává netriviální podmnožiny . $M$
Efektivní , pokud pro jakékoli dva prvky existuje takové , že . $g\neq h$ $G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Zcela nespojitá , je -li pro jakoukoli kompaktní množinu množina všech, pro které je průsečík neprázdný, konečná. $K$ $g\in G$ $K\cap gK$

Na topologických prostorech a hladkých varietách jsou také speciálně zvažovány akce skupin vybavených odpovídajícími dodatečnými strukturami: topologické skupiny a Lieovy grupy . O akci topologické skupiny na topologickém prostoru se říká , že je spojitá , pokud je spojitá jako mapování mezi topologickými prostory. Hladká akce Lieovy grupy na hladkou varietu je definována podobně . $\rho :G\to \mathrm {X}$

Nepřetržité působení skupiny na prostor je rigidní (nebo kvazianalytické ), pokud ze skutečnosti, že některý prvek skupiny působí jako identické zobrazení na nějaké otevřené podmnožině prostoru, vyplývá, že se jedná o prvek identity skupiny.
- Jakékoli efektivní spojité působení izometrií na připojenou Riemannovu varietu je nutně rigidní, což nelze říci o obecných metrických prostorech. Například působení cyklické grupy řádu 2 permutací dvou hran na grafu tvořeném třemi hranami pocházejícími ze stejného bodu je efektivní, ale ne rigidní.
Spojitá akce skupiny se nazývá kokompaktní , pokud je kvocientový prostor této akce kompaktní.

Orbity

Podmnožina

Gm=\{gm\mid g\in G\}\podmnožina M

se nazývá orbita prvku (někdy označovaná jako ). $m\in M$ $\mathrm {Orb} (m)$

Působení grupy na množinu definuje na ní vztah ekvivalence $G$ $M$

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\existuje g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow ( Gn=Gm).

V tomto případě jsou třídy ekvivalence oběžné dráhy prvků. Pokud je tedy celkový počet tříd ekvivalence , pak $k$

M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},

kde jsou párově neekvivalentní. Pro přechodnou akci . $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ $k=1$

Stabilizátory

Podmnožina

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\podmnožina G

je podskupina skupiny a nazývá se stabilizátor , nebo stacionární podskupina prvku (někdy se označuje jako ). $G$ $m\in M$ $\mathrm {Stab} (m)$

Stabilizátory prvků jedné oběžné dráhy jsou konjugované, to znamená, že pokud , pak existuje prvek takový, že $n\,\sim _{_{G}}\,m$ $g\in G$

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Počet prvků na oběžné dráze

|Gm|=[G:G_{m}]

, je stabilizátorem prvku a je indexem podgrupy , v případě konečných grup je roven .

G_{m}

m

[G:G_{m}]

G_{m}\podmnožina G

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

Rozměr oběžné dráhy lze vypočítat takto:

\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|

, kde

$\dim |Gm|$ rozměr jednotlivé oběžné dráhy,

\dim |G_{m}|

rozměr stabilizátoru, rozměr Lieovy grupy.

\dim |G|

Pokud , pak $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$

|M|=\součet _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

je expanzní vzorec na oběžné dráhy .

Tento vzorec také zahrnuje následující identity:

$\forall m\in M\;\součet _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\součet _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
Burnsideovo lemma .

Příklady akcí

Vlastní akce

Vlevo

Akce na sebe vlevo je nejjednodušším příkladem akce. V tomto případě a homomorfismus je dán jako . $M=G$ $\Phi :G\to S(G)$ $(\Phi (g)) (h) = gh$

Vpravo

Působení na sebe na pravé straně je definováno podobně: . $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$

Vlevo a vpravo

Tyto dvě akce jsou akcemi podgrup přímého součinu na s homomorfismem daným . $G\krát G$ $M=G$ $\Phi :G\krát G\to S(G)$ $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$

Konjugace

Nechť , a homomorfismus je uveden jako . Navíc pro každý prvek se stabilizátor shoduje s centralizérem : $M=G$ $\Phi :G\to S(G)$ $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ $h\v G$ $G_{h}$ $C(h)$

G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

Například pro prvek ze středu skupiny (tj. ) máme a . $h$ $G$ $h\in Z(G)$ $C(h)=G$ $G_{h}=G$

Variace a zobecnění

Transformace Pseudoskupiny

Viz také

Skupinový pohled

Literatura

Vinberg, E. B. Kurz algebry. - 3. vyd. - M . : Nakladatelství Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-0607 . .
Kostrikin, A. I. Úvod do algebry. Část III. Základní struktury. - 3. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 s. - ISBN 5-9221-0489-6 . .