Mechanická práce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Práce
$A,W$
Dimenze	L 2 MT -2
Jednotky
SI	J
GHS	erg
Poznámky
skalární

Mechanická práce - fyzikální veličina - je skalární kvantitativní míra působení síly (výsledné síly) na těleso nebo sil na soustavu těles. Závisí na číselné hodnotě a směru síly (síly) a na posunu tělesa (soustavy těles) [1] .

Při konstantní síle a přímočarém pohybu hmotného bodu se práce vypočítá jako součin velikosti síly a posunutí a kosinusu úhlu mezi vektory posunutí a síly: . Ve složitějších případech (nekonstantní síla, křivočarý pohyb) je tento poměr použitelný pro malý časový interval a pro výpočet celkové práce je nutná sumace přes všechny tyto intervaly. $A=Fs\cos(F,s)$

V mechanice je vykonávání práce na tělese jediným důvodem pro změnu jeho energie ; v jiných oblastech fyziky se energie mění také v důsledku jiných faktorů (například v termodynamice , přenosu tepla).

Definice práce

Podle definice je „elementární“ (vykonaná v nekonečně krátkém čase) práce skalárním součinem síly působící na hmotný bod a posunutí , tj . $\vec{F}$ $d{\vec {s))$

\delta A={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

Použití symbolu δ (spíše než ) je způsobeno skutečností, že pracovní rozdíl nemusí být nutně úplný. Práce v omezeném časovém období je integrálem elementární práce: $d$

A=\int \delta A

Pokud existuje systém hmotných bodů, provádí se sčítání přes všechny body. Za přítomnosti více sil je jejich práce definována jako práce výslednice (vektorového součtu) těchto sil.

Zápis, rozměr

Práce se obvykle označuje velkým písmenem (z němčiny A rbeit - práce, práce) nebo velkým písmenem (z angličtiny w ork - práce, práce). $A$ $W$

Jednotkou měření (dimenze) práce v Mezinárodní soustavě jednotek (SI) je joule , v ČGS - erg . V čem

1 J = 1 kg m2 / s2 = 1 Nm ; 1 erg \u003d 1 g cm ² / s ² \ u003d 1 dyne cm ; 1 erg \ u003d 10-7 J.

Výpočet práce

Případ jednoho hmotného bodu

Při přímočarém pohybu hmotného bodu a konstantní hodnotě síly , která na něj působí , je práce (této síly) rovna součinu průmětu vektoru síly na směr pohybu a délky vektoru posunutí. vytvořeno podle bodu:

A=F_{s}s=Fs\ {\mathrm {cos))(F,s)={\vec F}\cdot {\vec s}

Zde " " označuje skalární součin , je vektor posunutí . $\,\cdot \,$ ${\vec s}$

Pokud je směr působící síly kolmý k posunutí tělesa nebo posunutí je nulové, pak je práce této síly nulová.

V obecném případě, kdy síla není konstantní a pohyb není přímočarý, se práce vypočítá jako křivočarý integrál druhého druhu podél trajektorie bodu [2] :

A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

(součet je implikován podél křivky, což je limit přerušované čáry složené z posunutí , pokud je nejprve považujeme za konečné a pak necháme délku každého jít na nulu). $d{\vec {s))$

Pokud existuje závislost síly na souřadnicích [3] , je integrál definován [4] takto:

A=\int \limits _({\vec {r}}_{0}}^({\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)\cdot d{\vec {r}}

kde a jsou poloměrové vektory počáteční a koncové polohy tělesa. Pokud například k pohybu dochází v rovině , a a ( , - orts ), pak poslední integrál bude mít tvar , kde derivace je vzata pro křivku, po které se bod pohybuje. ${\vec r}_{0}$ ${\vec r}_{1}$ $xy$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {e}}_{x}+F_{y}{\vec {e}}_{y}$ $d{\vec {r}}=dx{\vec {e}}_{x}+dy{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $A=\int (F_{x}+F_{y}|dy/dx|)dx$ $dy/dx$ $y(x)$

Pokud je síla konzervativní (potenciální) , bude výsledek výpočtu práce záviset pouze na počáteční a konečné poloze bodu, nikoli však na trajektorii, po které se pohyboval. $\vec{F}$

Případ soustavy bodů nebo tělesa

Práce sil k pohybu systému z hmotných bodů je definována jako součet práce těchto sil k pohybu každého bodu (práce vykonaná na každém bodě systému se sčítá do práce těchto sil na systému): $N$

A=\sum A_{n},\quad n=1,2,..,N

Není-li těleso soustavou diskrétních bodů, lze jej rozdělit (mentálně) na množinu nekonečně malých prvků (kusů), z nichž každý lze považovat za hmotný bod, a práci vypočítat v souladu s definicí výše. V tomto případě je diskrétní součet nahrazen integrálem:

A=\int \delta A({\vec {r}}')=\iint {\frac {d{\vec {F}}({\vec {r}}')}{dV'} }\cdot d{\vec {r}}({\vec {r}}')dV'

kde je práce při pohybu nekonečně malého fragmentu objemu tělesa , lokalizovaného v blízkosti souřadnice (v vztažné soustavě tělesa), z počáteční do konečné polohy, (N/m 3 ) je hustota působící síla a integrace se provádí po celém objemu těla. $dA({\vec {r))')$ $dV'$ ${\vec {r))'$ $d{\vec {F}}/dV'$

Tyto vzorce lze použít jak k výpočtu práce určité síly nebo třídy sil, tak k výpočtu celkové práce vykonané všemi silami působícími na systém.

Práce a kinetická energie

Kinetická energie se v mechanice zavádí v přímé souvislosti s pojmem práce.

Pomocí druhého Newtonova zákona , který umožňuje vyjádřit sílu jako zrychlení jako (kde je hmotnost hmotného bodu), stejně jako vztahy a lze elementární práci přepsat jako ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $m$ $d{\vec {s}}=d{\vec {r}}={\vec {v}}dt$ $d(v^{2})/dt=d({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/dt=2{\vec {a}}\cdot {\vec { proti}}$

\delta A=m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt={\frac {d}{dt}}\left({\frac {mv^{2}}{ 2}}\right)dt

Při integraci od počátečního do konečného okamžiku dostaneme

A=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k}

kde je kinetická energie . Pro hmotný bod je definován jako polovina součinu hmotnosti tohoto bodu a druhé mocniny jeho rychlosti a je vyjádřen [5] jako . U složitých objektů sestávajících z mnoha částic je kinetická energie tělesa rovna součtu kinetických energií částic. $E_k$ $E_{k}=mv^{2}/2$

Práce a potenciální energie

Síla se nazývá potenciál , pokud existuje skalární funkce souřadnic, známá jako potenciální energie a označovaná , takže $E_{p}$

{\vec {F}}=-\nabla E_{p}

Zde je operátor nabla . Pokud jsou všechny síly působící na částici konzervativní a jedná se o celkovou potenciální energii získanou součtem potenciálních energií odpovídajících každé síle, pak $\nabla$ $E_{p}$

{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-\nabla E_{p}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\Rightarrow -dE_{p }=dE_{k}\Šipka doprava d(E_{k}+E_{p})=0

Tento výsledek je známý jako zákon zachování mechanické energie a uvádí, že celková mechanická energie

{\displaystyle E=E_{k}+E_{p))

v uzavřeném systému, ve kterém působí konzervativní síly, je konstantní v čase. Tento zákon je široce používán při řešení problémů klasické mechaniky .

Práce síly v teoretické mechanice

Nechť se hmotný bod pohybuje po spojitě diferencovatelné křivce , kde s je proměnná délka oblouku, , a působí na něj síla směřující tečně k trajektorii ve směru pohybu (pokud síla nesměřuje tečně, pak budeme rozumět promítání síly na kladnou tečnu křivky, čímž se tento případ redukuje na níže uvedený případ). $M$ $G=\{r=r(s)\}$ $0\leq s\leq S$ $F(s)$ $F(s)$

Tato hodnota se nazývá elementární práce síly na místě a je brána jako přibližná hodnota práce, kterou síla produkuje , působící na hmotný bod, když tento prochází křivkou . Součet všech elementárních prací je Riemannův integrální součet funkce . $F(\xi _{i})\trojúhelník s_{i},\trojúhelník s_{i}=s_{i}-s_{{i-1}},i=1,2,...,i_{{ \tau}}$ $F$ $G_{i}$ $F$ $G_{i}$ $\sum _{{i=1}}^{{i_{\tau }}}}F(\xi _{i})\trojúhelník s_{i}$ $F(s)$

V souladu s definicí Riemannova integrálu můžeme definovat práci:

Hranice, ke které se součet všech elementárních prací blíží, když jemnost rozdělení směřuje k nule, se nazývá práce síly podél křivky . $\sum _{{i=1}}^{{i_{\tau }}}}F(\xi _{i})\trojúhelník s_{i}$ $|\tau |$ $\tau$ $F$ $G$

Pokud tedy toto dílo označíme písmenem , pak na základě této definice, $A$

A=\lim _{|\tau |\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\trojúhelník s_{i}=\ int \limits _{0}^{s}F(s)ds

Pokud je poloha bodu na trajektorii jeho pohybu popsána pomocí nějakého jiného parametru (například času) a pokud je ujetá vzdálenost plynule diferencovatelnou funkcí, pak poslední vzorec poskytne $t$ $s=s(t)$ $a\leq t\leq b$

A=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt

Práce v termodynamice

V termodynamice se práce plynu během expanze [6] vypočítá jako integrál tlaku k objemu:

A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV

Práce vykonaná na plynu se shoduje s tímto výrazem v absolutní hodnotě, ale má opačné znaménko.

Přirozené zobecnění tohoto vzorce je použitelné nejen pro procesy, kde tlak je jednohodnotovou funkcí objemu, ale také pro jakýkoli proces (znázorněný libovolnou křivkou v rovině ), zejména pro cyklické procesy. $PV$
Vzorec je v zásadě použitelný nejen na plyn, ale i na vše, co je schopné vyvinout tlak (je pouze nutné, aby tlak v nádobě byl všude stejný, což je ve vzorci implicitně zahrnuto).

Tento vzorec přímo souvisí s mechanickou prací, i když by se zdálo, že patří do jiné části fyziky. Tlaková síla plynu směřuje ortogonálně ke každé elementární ploše a je rovna součinu tlaku a plochy plochy. Když se nádoba roztáhne, práce, kterou plyn vykoná, aby vytlačil jednu takovou elementární oblast, bude $P$ $dS$ $h$

dA=PdSh

Jedná se o součin přírůstku tlaku a objemu v blízkosti elementární oblasti. Po sečtení všech , bude získán výsledek, kde již dojde k plnému nárůstu objemu, jako v hlavním vzorci sekce. $dS$

Viz také

Poznámky

↑ Targ S. M. Práce síly // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 s. - 40 000 výtisků. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ To se děje na základě toho, že je možné rozdělit celkové konečné posunutí na malé postupné posuny , z nichž na každém bude síla téměř konstantní, což znamená, že bude možné použít definici pro konstantní sílu zavedenou výše. . Poté se práce na všech těchto pohybech sečte, což ve výsledku dá integrál . $d{\vec {s))$ $d{\vec {s))$
↑ Jak to často bývá. Například v případě Coulombova pole, natahovací pružiny, gravitační síly planety atd.
↑ V podstatě přes předchozí, protože zde ; malý vektor posunutí se shoduje s . ${\vec F}(t)={\vec F}({\vec r}(t))$ $d{\vec {s))$ $d{\vec {r}}$
↑ Targ S. M. Kinetická energie // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie , 1990. - T. 2. - S. 360. - 704 s. — 100 000 výtisků. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Práce vykonaná plynem při jeho stlačení je zjevně záporná, ale vypočítává se pomocí stejného vzorce. Práci vykonanou plynem (nebo na plynu) bez jeho rozpínání nebo stlačování (například při procesu míchání míchadlem) lze v zásadě vyjádřit podobným vzorcem, ale stále ne přímo tímto vzorcem, protože vyžaduje zobecnění: faktem je, že ve vzorci se předpokládá, že tlak je v celém objemu stejný (což se často dělá v termodynamice, protože se často zabývá procesy blízkými rovnováze), což vede k nejjednoduššímu vzorci (v případě např. rotačního míchadla bude rozdílný tlak na přední a zadní straně lopatky, což povede k nutné komplikaci vzorce, pokud jej chceme aplikovat na takový případ; tyto úvahy platí pro všechny ostatní nerovnovážné případy, kdy tlak není v různých částech systému stejný). $\int PDF$

Literatura

Historie mechaniky od starověku do konce 18. století. Ve 2 dílech M.: Nauka, 1972.
Kirpichev VL Rozhovory o mechanice. M.-L.: Gostekhizdat, 1950.
Gliozzi M. Dějiny fyziky. M.: Mir, 1970.
Mach, E. Princip uchování díla: Historie a její kořen. SPb., 1909.
Mach E. Mechanika. Historicko-kritický nástin jeho vývoje. Iževsk: RHD, 2000.
Tyulina I. A. Historie a metodologie mechaniky. M.: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1979.