Křivočarý integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. července 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Křivočarý integrál je integrál vypočítaný podél křivky .

Rozlišuje se mezi křivočarým integrálem prvního druhu , ve kterém je skalární funkce násobena nekonečně malou délkou oblasti křivky, a druhým druhem , kde je vektorová funkce skalárně násobena nekonečně malým vektorem ležícím podél křivka, která je obdařena směrem .

Definice

Počáteční podmínky

Křivka

Nechť je hladká ( souvisle diferencovatelná ) křivka bez singulárních bodů a vlastních průniků (je povolen jeden průnik - případ uzavřené křivky), daná parametricky : $l$

l\colon ~\mathbf {r} (t),

kde r je vektor poloměru , jehož konec popisuje křivku a parametr t směřuje od nějaké počáteční hodnoty a ke konečné hodnotě b . U integrálu druhého druhu určuje směr, kterým se parametr pohybuje, směr samotné křivky , nezáleží na tom, co je větší - b nebo a . [jeden] $l.$

Integrovatelná funkce

Nechť je dána skalární nebo vektorová funkce, z níž integrál po křivce resp $l\colon$ $f(\mathbf {r} )$ $\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$

Členění

Rozdělení segmentu parametrizace

Nechť je dán oddíl segmentu (nebo ), tedy množina , kde: $[a,b]$ $[b,a]$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$
- $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ -li $a<b;$
- nebo jestli $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ $a>b.$

Jemnost tohoto oddílu je číslo označující maximální možnou vzdálenost mezi všemi sousedními hodnotami tohoto oddílu. $\max _{k={\overline {1,n))}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$

Představme si sadu mezilehlých rozdělovacích bodů — bodů , z nichž každý leží mezi a ( ). $\xi _{k},$ ${\displaystyle t_{k-1))$ $t_k$ $k=\overline {1,n}$

Prolomení křivky

Definujme část křivky , která odpovídá části parametrizačního segmentu. $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$

Pro označte část křivky od hodnoty parametru k hodnotě kde ${\displaystyle l_{k))$ $\mathbf {r} (t)$ ${\displaystyle t=t_{k-1))$ $t=t_{k},$ $k={\overline {1,n)).$

Definujme množinu mezilehlých bodů rozdělení křivky — bodů , z nichž každý leží na ( ). $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle l_{k))$ $k=\overline {1,n}$

Integrální součty

Níže jsou k určení integrálních součtů použity mezilehlé body, rozdělení a úseky křivky . Uvažujme dva integrální součty : $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$ ${\displaystyle l_{k))$ $l.$

integrální součet pro integrál prvního druhu: $\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ kde | lk | _ — délka úseku l k ;

integrální součet pro integrál druhého druhu: $\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$

kde vektorová funkce f je skalární násobená přírůstkem r ( t k ) − r ( t k −1 ).

Křivočarý integrál

Jestliže se v integrálních součtech n neomezeně zvětšuje tak, že jemnost tíhne k nule, pak v limitě dostaneme křivočarý integrál funkce ( ) podél křivky.Pokud tato limita skutečně existuje, pak říkáme, že funkce ( ) je integrovatelné podél křivky . Potom integrály prvního a druhého druhu jsou : $F$ $\mathbf {f}$ $l.$ $F$ $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,

kde dr je diferenciální vektor podél křivky. V případě integrálu druhého druhu je důležitý směr křivky: na tom závisí směr samotného diferenciálu dr .

Pokud je křivka uzavřená (začátek se shoduje s koncem), pak místo ikony je zvykem psát $l$ $\textstyle \int$ $\textstyle \oint .$

Křivočarý integrál prvního druhu

Vlastnosti

Linearita: $\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l} f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Aditivita: pokud a protínají se v jednom bodě, pak $l_{1}$ $l_{2}$ $\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_ {2}}f\mathbf {|dr|} .$
Monotónnost: pokud je zapnuto , pak $f\leqslant g$ $l$ $\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Věta o střední hodnotě: pokud je funkce na spojitá , je možné , aby si integrál zvolil takový bod, že $F$ $l$ $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ $\xi \in l,$ $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ nebo, což je totéž, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$
Změna směru obcházení integrační křivky nemá vliv na znaménko integrálu: $\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot | \mathbf {dr} |.$
Křivočarý integrál prvního druhu nezávisí na parametrizaci křivky.

Výpočet

Nechť je hladká, rektifikovatelná (konečné délky) křivka daná parametricky (jako v definici ). Nechť je funkce definovaná a integrovatelná podél křivky .Pak v obecném případě $l$ $f(\mathbf {r} )$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,

nebo, pokud rozšíříme modul diferenciálu d t ,

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf { r} )\cdot |\mathbf {\tečka {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\tečka { r}} (t)|(-dt),&{\text{if}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot | \mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\tečka {r}} (t)|dt,&{\text{if}}~a>b.\end{cases}}

kde tečka označuje derivaci vzhledem k t .

Křivočarý integrál druhého druhu

Vlastnosti

1. Linearita:

\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .

2. Aditivita:

\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .

3. $\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf { f\cdot dr} .$

Komentář. Pro křivočaré integrály druhého druhu neplatí vlastnost monotonie, odhad modulu a věta o střední hodnotě.

Výpočet

Nechť AB je hladká křivka daná parametricky (jako v definici ) a opatřená směrem z A do B . Nechť je funkce definovaná a integrovatelná podél křivky Then $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt,

a při změně průběhu křivky:

\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t)dt.

Vztah křivočarých integrálů

Označíme-li jako jednotkový vektor tečnu ke křivce , která má stejný směr jako samotná křivka, je parametrizovaná, pak vztah mezi křivočarými integrály je následující: ${{\vec {\tau}}}$ $l,$

\mathbf {\color {Green}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Green}|dr|} .

Pokud jde o samotné integrály, vypadá to takto:

\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green} |dr|} ,

kde je hladká rektifikovatelná křivka opatřená směrem a vektorová funkce je na ní integrovatelná. $l$ $\mathbf {f}$

Trojrozměrný euklidovský prostor

V trojrozměrném euklidovském prostoru jsou diferenciály souřadnic vektoru nasměrovaného podél orientované křivky vyjádřeny pomocí směrových kosinů pomocí definice bodového součinu :

dx=\cos \angle ({\vec {i)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dy=\cos \angle ({\vec {j)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dz=\cos \angle ({\vec {k)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Poté rozšířením skalárního součinu v souřadnicích lze vztah křivočarých integrálů vyjádřit následovně: $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color { Zelená}|dr|}$