Vyhlazovací operátor

Vyhlazovací operátory jsou hladké funkce se speciálními vlastnostmi používanými v teorii distribuce ke konstrukci sekvence hladkých funkcí, které aproximují nehladkou (zobecněnou) funkci pomocí konvoluce . Intuitivně, když máme funkci se singularitami a konvolujeme ji s vyhlazovací funkcí, dostaneme "vyhlazenou funkci", ve které jsou rysy původní funkce vyhlazeny, ačkoli funkce zůstává blízká původní funkci [1] . Operátoři jsou také známí jako operátory vyhlazování Friedrichs pod jménem Kurt Otto Friedrichs , který o nich pojednával v dokumentu z roku 1944 [2] .

Historické poznámky

Vyhlazovací operátory představil Kurt Otto Friedrichs v dokumentu z roku 1944 [2] , který je nyní považován za předěl v moderní teorii parciálních diferenciálních rovnic [3] .

Před tímto článkem používal vyhlazovací operátory Sergej L'vovič Sobolev ve svém klíčovém článku z roku 1938 [4] , který obsahuje důkaz Sobolevova teorému o vkládání , a Friedrichs [5] sám uznal Sobolevovu práci na vyhlazovacích operátorech, napsal : " Tyto vyhlazovací operátory představil Sobolev a autor... ".

Je třeba zdůraznit, že existuje určitá neshoda ohledně konceptu vyhlazovacího operátoru – Friedrichs definuje jako „ vyhlazovací operátor “ integrální operátor, jehož jádro je jednou z funkcí, které se nyní nazývají vyhlazovací operátory. Protože však vlastnosti lineárního integrálního operátoru jsou zcela určeny jeho jádrem, název „vyhlazovací operátor“ zdědilo samotné jádro.

Definice

Moderní (distribuční) definice

If je hladká funkce na , n ≥ 1, splňující následující tři požadavky $\varphi$ $\mathbb {R} ^{n}$

(1) Funkce má kompaktní podporu [6] (2)

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1

(3)

\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )= \delta(x)

kde je Diracova delta funkce a limita musí být chápána ve Schwartzově prostoru distribucí , pak je vyhlazovací operátor . Funkce může splňovat další podmínky [7] . Pokud například vyhovuje $\delta(x)$ $\varphi$ $\varphi$

(4) pro všechny , pak se funkce nazývá pozitivní vyhlazovací operátor

\varphi (x)\geqslant 0

x \in \mathbb{R}^n

(5) pro nějakou nekonečně diferencovatelnou funkci , pak se funkce nazývá symetrický vyhlazovací operátor .

\varphi (x)=\mu (|x|)

\mu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R}

Poznámky k definici Friedrichse

Poznámka 1 . Když teorie distribucí ještě nebyla rozšířena [8], vlastnost (3) výše byla formulována následovně: konvoluce funkce s danou funkcí patřící do vhodného Hilbertova nebo Banachova prostoru konverguje jako ε → 0 k delta funkci [9 ] , přesně to napsal Friedrichs [10] . To také vysvětluje, proč jsou vyhlazovací operátory spojeny s aproximativními jednotkami . [jedenáct] $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }$

Poznámka 2 . Jak je stručně uvedeno v části "Historické poznámky" , termín "vyhlazovací operátor" původně označoval následující operátor konvoluce [11] [12] :

\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n))\varphi _{\epsilon }(xy)f(y)\mathrm {d} y

kde a je hladká funkce splňující první tři výše uvedené podmínky a jednu nebo více dalších podmínek, jako je pozitivita a symetrie. $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ $\varphi$

Příklad

Uvažujme funkci proměnné od _ $\varphi$ $(X)$ $\mathbb {R} ^{n}$

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&|x|<1\\0&|x| \geqslant 1\end{cases}}$ ,

kde konstanta poskytuje normalizaci. Je snadné vidět, že tato funkce je nekonečně diferencovatelná neanalytická funkce s mizející derivací pro | x | = 1 . Funkci lze tedy použít jako vyhlazovací operátor, jak je popsáno výše – je snadné vidět, co definuje kladně symetrický vyhlazovací operátor [13] . $I_{n}$ $\varphi$ $\varphi$ $(X)$

Vlastnosti

Všechny vlastnosti vyhlazovacího operátoru souvisejí s jeho chováním během konvoluční operace – uvádíme ty, jejichž důkaz lze nalézt v jakékoli knize o teorii rozdělení [14] .

Anti-Aliasing Vlastnosti

Pro libovolnou distribuci platí následující rodina konvolucí, indexovaná reálným číslem , $T$ $\epsilon$

{\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon ))

kde znamená konvoluce , je rodina hladkých funkcí . $\ast$

Přibližná jednotka

Pro jakoukoli distribuci konverguje následující rodina konvolucí, indexovaná reálným číslem $T$ $\epsilon$ $T$

\lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }( \mathbb {R} ^{n})

Convolution Carrier

Pro jakoukoli distribuci , $T$

\mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }

kde je nositel distribuce a je Minkowského součet . $\mathrm {supp}$ $+$

Aplikace

Hlavní aplikací vyhlazovacích operátorů je dokázat platnost vlastností nehladkých funkcí, které platí pro hladké funkce :

Součin distribucí

V některých zobecněných teoriích funkcí se k určení součinu distribucí používají vyhlazovací operátoři . Konkrétně, pokud jsou dána dvě rozdělení a , limita součinu hladké funkce a rozdělení $S$ $T$

\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} } {=}}S\cdot T

určuje (pokud existuje) součin distribucí v různých zobecněných teoriích funkcí .

Slabé=silné věty

Velmi neformálně - vyhlazovací operátory se používají k prokázání rovnosti dvou různých druhů rozšíření diferenciálních operátorů - silného rozšíření a slabého rozšíření . Friedrichsův článek [15] ilustruje tento koncept docela dobře, ale velké množství technických detailů, které bude třeba odhalit, nám nedovoluje tento koncept v našem stručném popisu plně představit.

Funkce hladkého řezání

Konvolucí charakteristické funkce jednotkové koule s hladkou funkcí (definovanou jako v rovnici (3) s ), získáme funkci $B_{1}=\{x:|x|<1\}$ $\varphi _{1/2}$ $\scriptstyle \epsilon =1/2$

\chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1))\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb { R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1 /2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\protože supp(\varphi _ {1/2})=B_{1/2})

který je hladký , rovná se , s a jehož podpora je obsažena v . To lze snadno zjistit, pokud vezmeme v úvahu, že pro ≤ a ≤ ≤ platí . Proto pro ≤ , $jeden$ ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\))$ $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$ $|x|$ $1/2$ $|y|$ $1/2$ $|xy|$ $jeden$ $|x|$ $1/2$

\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y= \int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1

Je snadné vidět, jak lze tuto konstrukci zobecnit, abychom získali hladkou funkci rovnou jedné v okolí dané kompaktní množiny a rovnou nule v libovolném bodě, přičemž vzdálenost od této množiny je větší než daná [16 ] . Taková funkce se nazývá (hladká) funkce řezání - takové funkce se používají k vyříznutí vlastností dané ( zobecněné ) funkce násobením . Násobení takovou funkcí nezmění hodnotu ( zobecněné ) funkce pouze na dané množině , ale změní podporu funkce. $\scriptstyle \epsilon$

Viz také

Přibližná jednotka
Neanalytická hladká funkce
Funkce vyrovnávací paměti
Konvoluce
Weierstrassova transformace
Generická funkce, distribuce
Kurt Otto Friedrichs
Sergej Lvovič Sobolev

Poznámky

↑ V nějakém topologickém prostoru zobecněných funkcí.
↑ 1 2 Friedrichs, 1944 , s. 136–139.
↑ Viz komentář Petera Laxe k článku Friedrichse ( Friedrichs 1944 ) v knize ( Friedrichs 1986 , svazek 1, s. 117). V angličtině má název tohoto matematického objektu „mollifier“ kuriózní původ. Peter Laks uvádí úplnou historii tohoto jména ve svém komentáři ( Friedrichs 1986 , svazek 1, str. 117). Podle Laxe byl v té době matematik Donald Alexander Flanders Archived 8. června 2017 na Wayback Machine Friedrichsovým kolegou a rád radil kolegům ohledně používání angličtiny. Friedrichs požádal Fluderse, aby vymyslel název pro operátory vyhlazování. Flanders byl puritán a jeho přátelé se nazývali Moll, podle pikareskního románu Moll Flenders, jako uznání jeho morálních kvalit. Flanders navrhl nový matematický název, mollifier , což je hra se jménem Moll a slovesem to mollify , což znamená přeneseně vyhlazení . Friedrichs tento vtip v článku rád použil.
↑ Sobolev, 1938 .
↑ Friedrichs, 1953 , str. 196.
↑ Co jsou funkce vyrovnávací paměti
↑ Giusti 1984 , str. jedenáct.
↑ Friedrichsův článek ( Friedrichs 1944 ), byl publikován několik let před vydáním Laurenta Schwartze , po kterém se Friedrichsova práce stala široce známou.
↑ Je zřejmé, že topologie bude konvergovat, pokud vezmeme v úvahu Hilberta nebo Banacha .
↑ Viz Friedrichs 1944 , s. 136–138, vlastnosti PI , PII , PIII a jejich důsledek PIII 0 .
↑ 1 2 Friedrichs v této souvislosti píše ( Friedrichs 1944 , s. 132): " Hlavním důkazním prostředkem je určitá třída hladkých operátorů aproximativních jednotek, 'vyhlazovacích operátorů' ."
↑ Viz Friedrichs 1944 , str. 137, odstavec 2, „ Integrální operátoři “.
↑ Viz Hörmander 1990 , s. 14, Lemma 1.2.3. — příklad je formulován explicitně tak, že nejprve definujeme f ( t ) = exp(-1/ t ) pro t ∈ ℝ + a poté uvažujme f ( x ) = f (1-| x | 2 ) = exp(-1/ (1-| x | 2 )) pro x ∈ ℝ n .
↑ Hörmander, 1990 .
↑ Friedrichs, 1944 .
↑ Důkaz této skutečnosti lze nalézt v Hörmanderově práci ( Hörmander 1990 , s. 25), Věta 1.4.1.

Literatura

Kurt Otto Friedrichs . Identita slabých a silných rozšíření diferenciálních operátorů // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Leden ( sv. 55 , 1. vydání ). - S. 132-151 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0 . — . . První článek, kde byly představeny vyhlazovací operátory.
Kurt Otto Friedrichs . O diferencovatelnosti řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic // Communications on Pure and Applied Mathematics . - 1953. - Sv. VI , iss. 3 . — S. 299–326 . - doi : 10.1002/cpa.3160060301 . (nedostupný odkaz). Článek, ve kterémje pomocí vyhlazovacích operátorů zkoumánadiferencovatelnost
Kurt Otto Friedrichs . Selecta / Cathleen S. Morawetz. — Boston- Basel - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , 1986. — Sv. 1, 2, - 427 (vol. 1); 608 (sv. 2) str. — (Současní matematici). - ISBN 0-8176-3270-0 . . Výběr z Friedrichsových děl s biografií a komentářem Davida Isaacsona, Fritze Johna, Toshia Kata,Petera Laxe, Louise Nirenberga, Wolfgaga Vasowa, Harolda Weitzera.
Enrico Giusti. Minimální plochy a funkce ohraničených variací . - Basilej - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag, 1984. - Sv. 80.-xii+240 str. — (Monografie z matematiky). - ISBN 0-8176-3153-4 3-7643-3153-4.
Lars Hormander . Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I. - Berlín - Heidelberg - New York : Springer-Verlag , 1990. - Sv. 256. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft). - ISBN 0-387-52343-X 3-540-52343-X.
Sergej L. Sobolev . K teorému funkcionální analýzy // Matematická sbírka . - 1938. - T. 4 (46) , č.p. 3 . — S. 471–497 . . Článek, ve kterém Sergej Sobolev podává důkaz svého teorému o vkládání zavádí a používáintegrální operátory, které jsou velmi podobné operátorům vyhlazování, ale nejmenuje je.