Singulární bod křivky

Singulární bod křivky je bod, v jehož okolí neexistuje plynulá parametrizace. Přesná definice závisí na typu studované křivky.

Algebraické křivky v rovině

Algebraickou křivku v rovině lze definovat jako množinu bodů splňujících rovnici tvaru , kde je polynomiální funkce : $\left(x,y\right)$ $f\left(x,y\right)=0$ $f\left(x,y\right)$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots

Pokud počátek patří křivce, pak . Jestliže , pak věta o implicitní funkci zaručuje existenci hladké funkce , takže křivka má tvar blízko počátku. Podobně, jestliže , pak existuje funkce taková, že křivka vyhovuje rovnici v okolí počátku. V obou případech je hladké mapování , které definuje křivku v sousedství počátku. Všimněte si, že v blízkosti počátku souřadnic $\left(0,0\right)$ $a=0$ $b_{2}\not =0$ $G$ $y=g\left(x\right)$ $b_{1}\not=0$ $h$ $x=h\left(y\right)$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\partial f \over \partial y}.

Singulární body křivky jsou ty body křivky, ve kterých obě derivace mizí:

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

Pravidelné tečky

Nechte křivku procházet počátkem. Uvedením , může být reprezentován ve formě $y=mx$ $F$

f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\tečky

Jestliže , pak rovnice má řešení násobnosti 1 v bodě a počátkem je bod jediného dotyku křivky s přímkou . Jestliže , pak má v bodě řešení násobnosti 2 nebo vyšší a přímka je tečnou ke křivce. V tomto případě, if , má křivka dvojitý kontakt s čárou . Jestliže , a koeficient at není roven nule, pak počátkem je inflexní bod křivky. Tato úvaha může být aplikována na jakýkoli bod na křivce posunutím počátku do daného bodu. [jeden] $b_{1}+b_{2}m\not =0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $b_{1}+b_{2}m=0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $x^{3}$

Dvojité tečky

Pokud ve výše uvedené rovnici a , ale alespoň jedna z hodnot není rovna nule, pak se počátek nazývá dvojitý bod křivky . Zadejte znovu , pak bude mít tvar $b_{1}=0$ $b_{2}=0$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $y=mx$ $F$

f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m ^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\tečky .

Dvojité body lze klasifikovat podle kořenů rovnice . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$

Vlastní průsečíky

Pokud má rovnice dvě skutečná řešení v , tedy if , pak se počátek nazývá samoprůsečík . Křivka má v tomto případě dvě různé tečny odpovídající dvěma řešením rovnice . Funkce má v tomto případě sedlový bod na počátku. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $F$

Izolované body

Jestliže rovnice nemá žádná skutečná řešení v , to je, jestliže , pak počátek se nazývá izolovaný bod . V reálné rovině bude počátek souřadnic izolován od křivky, ale v komplexní rovině počátek souřadnic izolován nebude a bude mít dvě imaginární tečny odpovídající dvěma imaginárním řešením rovnice . Funkce má v tomto případě na počátku lokální extrém . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $F$

Casps

Pokud má rovnice jedno reálné řešení v násobku 2, tedy jestliže , pak se počátek nazývá cusp , nebo cusp . Křivka v tomto případě změní směr v singulárním bodě a vytvoří vrchol. Křivka v počátku má jedinou tečnu, kterou lze interpretovat jako dvě shodné tečny. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$

Další klasifikace

Pojem uzel ( anglicky node ) se používá jako obecný název pro izolované body a samoprůnikové body. Počet uzlů a počet vrcholů křivky jsou dva invarianty používané v Plückerových vzorcích .

Pokud je jedno z řešení rovnice zároveň řešením rovnice , pak má odpovídající větev křivky inflexi v počátku. V tomto případě se počátek souřadnic nazývá bod vlastní tečnosti . Pokud obě větve mají tuto vlastnost, pak je dělitel a počátek se nazývá biflektoidální bod (bod dvojího kontaktu). [2] $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}$ ${\displaystyle d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3))$

Více teček

V obecném případě, kdy jsou všechny členy se stupněm menším rovny nule a za předpokladu, že alespoň jeden člen se stupněm není roven nule, říkáme, že křivka má vícebodový řád k . V tomto případě má křivka v počátku tečny, ale některé z nich mohou být imaginární nebo shodné. [3] $k$ $k$ $k$

Parametrické křivky

Parametrická křivka v R 2 je definována jako obraz funkce g : R → R 2 , g ( t ) = ( g 1 ( t ), g 2 ( t )). Singulární body takové křivky jsou body, ve kterých

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

V obou pohledech lze zadat mnoho křivek, ale ne vždy se obě přiřazení shodují. Například vrchol lze nalézt jak pro algebraickou křivku x 3 − y 2 = 0, tak pro parametrickou křivku g ( t ) = ( t 2 , t 3 ). Obě definice křivky poskytují singulární bod v počátku. Avšak bod vlastního průsečíku křivky y 2 − x 3 − x 2 = 0 v počátku je pro algebraickou křivku singulární, ale když g ( t ) = ( t 2 −1, t ( t 2 −1)) je parametricky specifikován, párové derivace g ′( t ) nikdy nezanikají, a proto bod není singulární ve výše uvedeném smyslu.

Při volbě parametrizace je třeba dávat pozor. Například přímka y = 0 může být parametricky definována jako g ( t ) = ( t 3 , 0) a bude mít singulární bod v počátku. Pokud je však parametrizován jako g ( t ) = ( t , 0), nebude mít singulární body. Je tedy technicky správnější mluvit o singulárních bodech hladkého zobrazení spíše než o singulárních bodech křivky.

Výše uvedené definice lze rozšířit na implicitní křivky , které lze definovat jako množinu nul f −1 (0) libovolné hladké funkce . Definice lze také rozšířit na křivky v prostorech vyšších dimenzí.

Podle Hassler Whitneyho věty [ 4] [5] je jakákoliv uzavřená množina v R n množinou řešení f −1 (0) pro nějakou hladkou funkci f : R n → R . Proto lze jakoukoli parametrickou křivku definovat jako implicitní křivku.

Typy singulárních bodů

Příklady singulárních bodů různých typů:

Izolovaný bod : x 2 + y 2 \u003d 0,
Průsečík dvou přímek : x 2 − y 2 = 0,
Casp ( vrchol ): x 3 − y 2 = 0,
Hrot ve tvaru zobáku: x 5 − y 2 = 0.

Viz také

Poznámky

↑ Hilton Kapitola II § 1
↑ Hilton Kapitola II § 2
↑ Hilton Kapitola II § 3
↑ Brooker a Larden. Diferenciální zárodky a katastrofy. — London Mathematical Society. Poznámky z přednášek 17. Cambridge. — 1975.
↑ Bruce a Giblin, Křivky a singularity , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (brožováno)

Literatura

Harold Hilton. Rovinné algebraické křivky . - Oxford, 1920.