Feigenbaumova všestrannost

Feigenbaumova univerzalita nebo Feigenbaumova-Kulle-Tresserova univerzalita je efekt v teorii bifurkací , který spočívá v tom, že určité numerické charakteristiky kaskády periodicky se zdvojujících bifurkací v jednoparametrové rodině unimodálních zobrazení se ukazují jako nezávislé. výběru konkrétní rodiny při přechodu od pravidelného k chaotickému chování (a jsou tedy univerzálními konstantami). Tyto charakteristiky se ukázaly být zejména limitem poměrů sousedních segmentů parametrů mezi dvěma bifurkacemi zdvojení periody (nazývanými Feigenbaumova konstanta $\delta$ ) a Hausdorffovou dimenzí atraktoru v koncovém bodě kaskády.

Efekt byl objeven v numerických experimentech M. Feigenbaum a současně a nezávisle P. Kulle a C. Tresser; jak Feigenbaum, tak Kulle a Tresser nabídli vysvětlení tohoto efektu ve smyslu popisu chování renormalizačního operátora. Ospravedlnění tohoto chování v případě unimodálních mapování bylo nejprve získáno v (přísné, ale na počítačově podporovaných výpočtech) práci O. Lanforda a poté v pracích D. Sullivana , C. McMullen a M. Lubitsch pomocí složité techniky .

Popis efektu

Feigenbaumova-Kulle-Tresserova univerzalita je efekt, který byl objeven při studiu přechodu od pravidelného k chaotickému chování v jednoparametrových rodinách zobrazení zejména při studiu rodiny mapování .

f_{\lambda }:[0,1]\to [0,1],\quad x\mapsto \lambda x(1-x)

a rodiny

g_{\mu }:[0,1]\to [0,1],x\mapsto \mu \sin \pi x.

Konkrétně v logistické rodině mapování je pro malé atraktor mapování jediným přitahujícím pevným bodem . V první periodě dochází ke zdvojení bifurkace, v důsledku čehož pevný bod ztrácí stabilitu a místo ní se atraktorem stává přitahující periodická oběžná dráha periody 2, která se v tomto okamžiku objevuje. Tato oběžná dráha zůstává stabilní s dalším nárůstem parametr až do , po kterém nastane další perioda zdvojující bifurkace a atraktor se stane periodickou oběžnou dráhou periody 4 zrozené v. Tato orbita v zase ztratí stabilitu a zrozená orbita periody 8 se stane atraktorem atd. . $\lambda$ $\lambda _{1}=3$ $\lambda _{2}\cca 3{,}449$ ${\displaystyle \lambda =\lambda _{2))$ $\lambda =\lambda _{3}\cca 3{,}544$

Tyto hodnoty jsou akumulovány na určitou hodnotu - koncový bod kaskády bifurkací. Provedením numerických experimentů Feigenbaum zjistil, že jejich akumulace asymptoticky vypadá jako geometrická progrese: ${\displaystyle \lambda _{*}=\lim _{n}\lambda _{n))$

\lambda _{*}-\lambda _{n}\sim C\delta ^{-n}.

Podobný scénář přechodu od pravidelného k chaotickému chování prostřednictvím kaskády bifurkací zdvojení periody se odehrává pro jakoukoli rodinu unimodálních zobrazení s negativní Schwartzovou derivací ; po nastavení experimentů pro další jednoparametrovou rodinu unimodálních zobrazení Feigenbaum zjistil [1] , že v tomto případě se bifurkační momenty hromadí k limitu asymptoticky jako geometrická progrese, $g_{\mu }:x\mapsto \mu \sin \pi x,$ $\mu _{n}$ $\mu _{*}$

\mu _{*}-\mu _{n}\sim C'\delta ^{-n},

navíc se stejným jmenovatelem jako u logistické rodiny . V tomto ohledu vyslovil hypotézu, že takové chování bifurkačních momentů je univerzální – nezávisí na volbě konkrétní jednoparametrové rodiny; konstanta se nazývala Feigenbaumova konstanta . $\delta ^{-1}$ $\delta \approx 4{,}669...$

Vysvětlení: renormalizace

Zdůvodnění efektu univerzality je založeno na popisu dynamiky renormalizační transformace na prostoru unimodálních zobrazení intervalu do sebe. Totiž za určitých podmínek na unimodálním zobrazení f lze vyčlenit interval, který se do sebe namapuje po dvou iteracích, a zobrazení prvního návratu ke kterému bude také unimodální. Lineární změna měřítka po tomto nám umožňuje považovat mapu prvního návratu opět za mapu původního intervalu do sebe; taková transformace, která porovnává původní iterované mapování se změnou měřítka, se nazývá renormalizace. $\mathcal{R}$ $[-1,\;1]$ $[-1,\;1]$

Vysvětlení efektu univerzality navržené Feigenbaumem a Kulle-Tresserem bylo založeno na skutečnosti, že renormalizační transformace má jeden pevný bod , čímž splňuje Feigenbaum-Tsitanovitchovu rovnici. $G$

g(x)=-{\frac {1}{\alpha }}g(g(\alpha x)),

kde je konstanta změny měřítka. $\alpha$

Tento pevný bod je hyperbolický a jeho nestabilní varieta je jednorozměrná a protíná povrch v mapovacím prostoru odpovídajícím periodickému zdvojení bifurkace. Naopak stabilní varieta tohoto bodu má kodimenzi jedna (v nekonečně dimenzionálním prostoru unimodálních zobrazení) a příčně ji protíná typická rodina zobrazení s jedním parametrem – konkrétně kvadratická rodina.

Potom je asymptotická rychlost, se kterou se momenty bifurkací zdvojení periody blíží limitu, exponenciální, se jmenovatelem reciprokým k vlastnímu číslu linearizace většímu než 1 v bodě . Z toho plyne zejména fenomén univerzálnosti: tato rychlost je určena velkou vlastní hodnotou 1 a nezávisí na volbě jednotlivé rodiny. $\lambda_n$ $\lambda _{*}$ $\mathcal{R}$ $G$

Důkaz Feigenbaum-Kulle-Tresserovy domněnky

Důsledky

Otevřené problémy

Historie

V roce 1976 vyšla práce R. M. Maye, jejímž východiskem byly otázky populační dynamiky; Jako matematický model jsme uvažovali dynamické systémy na segmentu odpovídajícím několika různým unimodálním zobrazením, včetně toho logistického. Motivovalo to zájem o studium takových zobrazení a bifurkací v jejich jednoparametrových rodinách a v roce 1978 M. Feigenbaum a současně a nezávisle P. Kulle a C. Tresser objevili efekt univerzálnosti v numerických experimentech a navrhli jeho vysvětlení prostřednictvím popisu dynamika renormalizačního operátoru.

Brzy, v roce 1984, O. Lanford tuto vlastnost důsledně prokazuje, ale jeho důkaz se do značné míry opírá o počítačové výpočty.

Odkazy

Univerzální chování v dynamických systémech , Springerova encyklopedie matematiky .
Anotace kurzu M. Yampolského
Weisstein, Eric W. Feigenbaum Constant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Videozáznam přednášky A. Avily na Mezinárodním kongresu matematiků , Hyderabad, 2010.

Literatura

↑ E. B. Vul, Ya. G. Sinai, K. M. Khanin, Feigenbaumova univerzalita a termodynamický formalismus, Uspekhi Mat. Nauk, 39:3 (237) (1984), str. 3-37 - str.4.

RM May, Jednoduché matematické modely s velmi komplikovanou dynamikou, Nature 261 (1976), 459-467.
P. Coullet, C. Tresser, Itérations d'endomorphismes et groupe de rénormalisation , Journal de Physique Colloques 39:C5 (1978), str. 25-28.
C. Tresser a P. Coullet, Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation, ČR Acad. sci. Paris 287A (1978), str. 577-580.
MJ Feigenbaum, Kvantitativní univerzalita pro třídu nelineárních transformací, J. Statist. Phys. 19 (1978), 25-52.
MJ Ferigenbaum, Univerzální metrické vlastnosti nelineárních transformací, J. Statist. Phys. 21 (1979), 669-706.
OE Lanford III, Počítačem podporovaný důkaz Feigenbaumových dohadů , Bull. AMS. 6 :3 (1984), str. 427-434
J.P. Eckmann Mechanism of Feigenbaum Universality , Sborník příspěvků z Mezinárodního kongresu matematiků , Berkeley, Kalifornie, USA, 1986.
M. Lyubich, Feigenbaum-Coullet-Tresser Universality and Milnor's Hairiness Conjecture , Annals of Mathematics , 149 (1999), str. 319-420.
J. Milnor , Sebepodobnost a chlupatost v Mandelbrotově sadě, v Computers in Geometry and Topology, Lect. Poznámky v Pure a Appl Math. 114 (1989), 211-257
E. B. Vul, Ya. G. Sinai a K. M. Khanin, Feigenbaumova univerzalita a termodynamický formalismus , Ruská matematika .
V. I. Arnol'd , Další kapitoly z teorie obyčejných diferenciálních rovnic, ed. 2.